一题一议

【题目一】图1为12月22日南半球某地旗杆影子轨迹示意图。A、B、C、D表示不同时刻的影长。B、D影长为一天中的最大值．A与B、A与D两线间的夹角都是112－30’。A与C夹角为45°,虚曲线为杆影端点的轨迹。旗帜一年四季总是随风飘向东南。据此,完成下列各题。     

视图与投影应用题一例

题目某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米的竹竿竖直放置时影长1.5米,在同一时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一幢楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上.他测得落在地面上的影长为21米,落在墙上的影高为2米(如图1).求旗杆的高度.     

平面向量常见错误例析

初学平面向量这部分内容时,同学们常常会出现各种错误.现列举几种常见错误,供大家辨析.一、两向量夹角的意义不清例1△ABC三边长均为2,且BC=a,CA=b,AB=c,求a.b+b.c+c.a的值.错解:∵△ABC三边长均为2,∴∠A=∠B=∠C=60°,|a|=|b|=|c|=2.∴a.b=|a|.|b|cosC=2,同理可得b.c=c.a=2,∴a.b+b.c+c.a=6.图1评析:这里误认为a与b的夹角为∠BCA,两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,范围是[0,π].因此a与b的夹角应为π-∠BCA.正解:如图1,作CD=BC,a与b即向量BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°.∴a.b=|a|.|b|cos12…     

视图与投影应用题一例

题目 某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米的竹竿竖直放置时影长1.5米,在同一时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一幢楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影长为21米,落在墙上的影高为2米(如图1),求     

学习向量八注意

注意1 由a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c即消去律不成立.取 ,a与b的夹角为45°,|c|=1/2,a与c的夹角为0°.显然a·b=a·c=1/2,且a≠0,但b≠c.     

四边形边长与面积间的一个不等式

定理设凸四边形ABCD的边长和面积分别为a,b,c,d和△,则有(a2 b2)(c2 d2)(b2 c2)(d2 a2)≥16△4.(1) 证明设四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,AC,BD交于O,夹角为θ,则ac bd≥mn.     

用数量积证等腰三角形(高一)

题△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,若a·b=b·c,求证:△ABC为等腰三角形. 有以下证法: 1.定义解 a,b夹角为π-C;b,C夹角为π-A,所以 a·b=b·c,即|a||b|cos(π-C)=|b||c|cos(π-A), |a|cosC=|c|cosA,从而 |a|/|b=cosA/cosC,     

谈双圆四边形的一个性质

《数学教学》2001年第6期的数学问题548是设△ABC的三边长为a,b,c,求证:b c a c a b a b ca b c+?++?++?>22.①《中学数学月刊》在2002年第11期第29页用换元法给出了其一简证,并在2003年第7期又给出了其一个类似.在△ABC中,三边长为a,b,c,求证:c a b a b c b c aa b c+?++?++?≤3.②笔者发现,在双圆四边形中也有定理在双圆四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,R、r表示其外接圆半径、内切圆半径,则42b c d a a c d ba b≤++?+++?+a b d c a b c dc d++?+++?4r r24R2r2≤r+?③证明记1()s=2a+b+c+d,由文[1]得abcd=(s?a)(s?b)(s?c)(s?d).…     

视图与投影应用题—例

题目 某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米的竹竿竖直放置时影长1．5米．在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上．他测得落在地面上的影长为21米，落在墙上的影高为2米(如图1)．求旗杆的高度．     

一道高考试题的变形与延伸

原题如图1所示,ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,a、b、c、d位于同一圆周上,a点为圆周的最高点,d点为最低点.每根杆上都套着一个小滑杆(图中未画出),三个滑环a、b、c分别从处释放(初速为零),用t1、t2、t3依次表示滑环到达d所用图1的时间,则().A.t1t2>t3C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3分析:本题的特点是ad、bd、cd都是圆的弦,且连接ab、ac都构成直角三角形,每个直角三角形的斜边都是圆的直径.若设出圆的直径、弦与竖直直径的夹角就能表示出弦的长度和物体运动的加速度.解析:设圆的直径为d,弦与竖直直径间的夹角为θ,则斜面长s=dc…     

2009年北京市中学生数学竞赛复赛（高一）

一、填空题(每小题8分,共40分) 1.已知a和b都是单位向量,并且向量c=a+2b与d=5a-4b互相垂直.则a和b的夹角=_.     

巧借影长测物高

影子天天伴随着我们,近两年它们已悄悄走进中学数学.巧借影长测量物体高度成为中考试题中一种较为常见的类型.例1(2005年,荆州市)赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,他在某一时刻立1米长的标杆,测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为米.分析:解决此问题要注意三点:(1)必须清楚在同一时刻物高与影长成正比例这一原理;(2)能够利用数形结合的思想作出示意图,建立数学模型;(3)正确理解物体的影长的意义.解:如图1,设AB表示旗杆,CD表示建筑物,当光…     

立体几何自我检测题

一、选择题(只有1个选项正确.每小题6分,共48分.) 1.3条直线a,b、c,两两互为异面直线,那么与a、b相交且与c平行的直线有( ). A 0条; B 1条; C 0条或1条; D无数条 2.空间4条直线a,b、c和d,其中a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么a与b和c与d( ).     

四面体的一个性质的巧证与应用

定理 如图，四面体4BCD中，各棱长依次为a,b,c,d,e,f，异面直线AD与BC的夹角为α，则cosα=|b^2 f^2-a^2-e^2|/2cd。     

可用向量证明不等式(高二、高三)

例1 设a、b、c、d∈R.求证: 证明令a1=ai+bj,a2=di+cj,其中i⊥j且|i|=|j|=1(以下各题同,略),a1、a2的夹角为θ(0≤θ≤π),则a1、a2的坐标分别为(a,b),(d,c),由向量数量积定义,得     

例析相似三角形测高的几类问题

<正>利用相似三角形测量物高,是相似三角形在实际生活中的一个具体应用,也是历年中考中的一个热点.下面结合几个实例分类介绍此类问题的解决方法.一、影子落在水平面上例1 (1)某班同学要测量学校国旗旗杆的高度,在同一时刻,量得某一同学的身高是1.5米,影子长是1米,旗杆影子长是8米,则旗杆的高度是多少?分析同学的身高是1.5米,影子长是1米,旗杆影子长是8米.因为同学和旗杆都垂直于地面,所以可以构成两个直角三角形,由于是在同一时刻测     

一文的补充

本刊1986年第2期发表了拙作《再论一个不等式》,此文主要给出了如下两个命题: 命题1 若①a,b,c,d为非负数,②a b=c d,③|a-b|>|c-d|,则 a~(1/n) b~(1/n)c~n d~n,(n≥2,n∈N) 命题2 若①a,b,c,d为正数②ab=cd,③Max{a/b,b/a}>Max{c/d,d/c}则a~n b~n>c~n d~n;a~(1/n) b~(1/n)>c~(1/n) d~(1/n),(n∈N)     

哪一种测量方法误差小

问题的提出： 在探究导体电阻与其影响因素的定量关系的实验中，有如下的器材：a、b、c、d四条不同的金属导体．在长度、横截面积、材料三个因素方面，b、c、d跟a相比分别只有一个因素不同，b与a长度不同；c与a横截面积不同，d与a材料不同，还有量程合适的相同电压表四只．有两位同学分别用两种不同的方法进行实验，如图所示：     

第五章 平面向量

[例26]｜a｜=1,｜b｜=2,c=a＋b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为（ ）     

奇妙的等时圆——2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用

试题　如图 1所示 ,ad、bd、cd是竖直平面内三图 1根固定的细杆 ,a、b、c、d位于同一圆周上 ,a点为圆周的最高点 ,d点为最低点 .每根杆上都套着一个小滑环 (图中未画出 ) .三个滑环分别从a、b、c处释放(初速为零 ) ,用t1、t2 、t3依次表示各滑环到达d所用的时间 ,则 (　　 )A .t1t2 >t3C .t3>t1>t2 　D .t1=t2 =t3解析　设弦bd与直径弦ad的夹角为α ,由几何知识可知bd =adcosα ,环在杆bd上下滑的加速度为 ,a =gcosα ,由s=12 at2 可得adcosα =12 gcosα·t2 ,由上式解得　t=2adg .由以上分析可得 ,时间t与夹角α无关 ,故…