一个基本图形的代数解题功能

“数”与“形”是数学中的两大基石，支撑着数学的演变和发展．以“形”助“数”，直观、巧妙，用“数”攻“形”，简捷、明了，因此“数形结合”思想在解决数学问题的过程中被得到了极为广泛的应用．然而总结一些基本图形的代数解题功能或归纳一些典型代数问题在几何中的应用，还不多见，笔尝试运用一个基本图形，探索它在代数方面的解题功能，期能为引玉之砖．     

两圆外切的一个基本图形及其应用

学习平面几何,如果能积累一些重要的、常见的基本图形,熟悉它们的有关性质,对开拓解题思路,提高证题技巧是大有益处的.初中几何(人教版)第三册有这样一道题:题目如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC.证明过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC     

一个章头图形的探究用其应用

现行高中数学教材 (试验修订本 ·必修第二册上 )第六章不等式中有一个章头图 ,它是不等式的一个基础图形 .本文对此图形给予解释并作进一步探究 ,然后适当推广运用 ,仅供教学参考 .为行文方便 ,图形字母略有变动 .1　章头图形的几何意义如右图所示 ,以AB为直径作⊙O ,作CD⊥AB ,OE ⊥AB ,且CF⊥OD .在Rt△OEC中 ,CE >OE ,在Rt△COD中OD >CD ,OE、OD为⊙O半径 ,故OE >CD .在Rt△FDC中 ,CD >DF ,综合起来有CE >OE >CD >DF . ①设b>a >0 ,在图中取AC=a ,BC=b ,于是有半径OE =a +b2 ,在⊙O中 ,根据圆的相交弦定理有C…     

几何证明中添加辅助线的途径

一、构造基本图形，添加辅助线 例 1.如图 1，过△ ABC的顶点 C任作一直线与边 AB及中线 AD交于 F、 E两点，求证 . 证明 1：过 D点作 DG∥ AB交 CF于 G点， 证明 2：如图 2，过 D点作 DG∥ CF交 AB于 G点，下略 . 这里通过构造平行线分线段成比例定理的原型图形，添加了辅助线，使问题得到证明 . 二、构造经验图形，添加辅助线 例 2.如图 3，已知：⊙ O1与⊙ O2外切于点 P，两圆的外公切线 AB切⊙ O1于 A，切⊙ O2于 B， AC是⊙ O1的直径， CD切⊙ O2于 D，求证： AC=CD。 (连云港市中考题 ) 证明：利用例题 (＊ )，…     

数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…     

让图形动起来

有几个基本图形构成的组合图形,如果让其中某一个图形的位置变动一下,所得新图形仍满足题目中的所有已知条件,那么这就找到了解决问题的新方法——平移、旋转、翻折、位似,而翻折法又是解题时防止漏解的有效方法.一、平移法例1!!如图1-1,CD是⊙O的直径,⊙O的弦AB与⊙O′相切,点     

从基础知识中寻思路

学习数学,离不开解题.我们通过两个例子来说明基础知识和基本图形在展开联想,探寻解题思路时的作用.例1 如图1,已知 AB 切⊙O 于 A 点,OB 交⊙O 于 C,AD⊥OB 于 D,求证:∠CAD=∠CAB.从直线与圆相切这一基础知识出发,自然联想到切线的性     

浅谈数形结合思想在求最值中的应用

在运用数形结合解题时，需注意两点：①“形”中觅“数”，很多数学问题需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解．②“数”上构“形”，很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察，可发现它具有某种几何特征，由这种几何特征可以发现数与形的新关系，从而将代数问题转化为几何问题，使问题获解。     

几何探究题

中考几何命题改变传统格局,努力降低论证难度,注重在图形的运动(变换)中考查探究能力,已成为近年来中考命题的新特点.我们把这类试题称作几何探究题.现举典型试题说明其解法.一、探求图形在平移变换中的规律例1如图1,已知AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,垂足为M,弦AE与CD交于F,则有结论AD2=AE·AF成立(不要求证明).(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B点时,如图2,则AE·AF(查题何.的直E成与AF是否等于AG2?如果不相等,请探求AE·AF等于哪两条线段的积?并给出证明.(2)当CD继续向下平移至与⊙O相离时,如图3,在(1)中探求的结论是否…     

运用数形结合思想解中考题

数和形是事物存在的两种表现方式，数形结合是一种非常重要的数学思想方法．依形想数，可使几何问题代数化；由数想形，可使代数问题几何化．即在解决数学问题时，将数(量)与图(形)结合起来分析．通过数的计算去找图形之间的联系；根据条件构造图形或结合已知图形去寻找数之间的联系．因此，运用数形结合思想，有利于拓宽解题思路．     

理解数学本质 捕捉基本图形

正《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确要求:"学生能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系,利用直观图形来进行思考."笔者认为引导学生理解数学问题的本质,掌握一些基本图形,对学生学会从复杂图形中分解出基本图形,并灵活运用基本图形解决有关问题,提高几何解题能力有较大帮助.如图1,梯形ABCD中,AB∥DC,对角线AC、BD交于点O,根据同底等高,可得S△ACD=S△BCD,同时减去△DOC的面积,     

让课本题目鲜活起来

“源于教材 ,活于教材”是数学中考题的显著特征 ,因此 ,在基础知识学习和基本技能的训练中 ,要善于对常规题作变式思维 ,以教材基本内容为背景 ,抓住典型题进行演变 ,从而让课本题目鲜活起来 .图 1题目　如图 1,已知⊙O1 、⊙O2 相切于点T ,直线AB、CD经过点T ,交⊙O1 于点A、C ,交⊙O2 于点B、D .求证 :AC∥BD .(人民教育出版社《几何》(第三册 ) 1994年 10月、2 0 0 0年 10月版P97)该题证明方法很多 ,如过点T作两圆的公切线 ,再由弦切角性质等获证 ,这里不再赘述 .本文介绍以此题为背景的几种变式题 .图 2　　变式 1　如图 2 ,⊙…     

“三点共线”了吗?(初三)

“三点共线”,在几何中经常遇到,在具体应用时,常犯的错误是将图形的直观当作条件. 题如图1,⊙O1和⊙O2内切于P点,l为两圆的公切线,大⊙O2的弦AB与小⊙O1相切于C点,延长BA与,交于D点,∠PDA=60°.     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

利用几何画板寻找解题思路一例

<正>几何画板的强大作图功能是我们学习数学的好帮手,能帮助我们寻找解题的思路,有利于我们对数学本质的理解.下面举一例来说明.题目如图1,在⊙O的内接ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过点C作AB的垂线)l交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是AC上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连结     

去掉“如图”,变化多(初三)

一个几何问题,如果给出了图形,那么除了直观这一功能之外,还可能限制人们更广泛的自由思考.下面就是一例: 如图1,⊙O1和⊙O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1交于C,与⊙O2交于点D.经过点B的图1直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.求     

构造几何图形巧解代数问题

“数”与“形”是数学研究的两大对象.在数学解题中以“形”研究“数”,会使问题直观形象,解法灵活简便.因此在解某些代数问题时,可根据题目的特征,构造出一些简单的几何图形,把所求的问题转化为几何问题,然后运用几何等知识去解决所求问题.本文通过例题谈谈数形结合的问题.     

循“勾股六线图”证题

如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.这个图形就是"勾股六线图".这个图形性质丰富,应用十分广泛.解题时,遇到这类题目的雏形,可以先添辅助线,把这个基本图形造出,再利用有关性质解题.     

让图“说话”

图形是数学体系中重要的组成部分,运用它不仅能发现一些列深奥的结论,也能解决很多代数中的问题．图形的运用可以将抽象的问题形象化,体现了“数”与“形”的紧密联系．本文通过基本图形的运用,让图“说话”,从中体会蕴含的智慧．     

关于一道课本例题的探索与引伸

问题 如图1,已知：AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,问：BD与CD的大小有什么关系？（北师大版九年级几何下册P106页例题）．