应用三角公式解题例谈

sin2α cos2α=1是一个十分有用的三角公式,灵活运用公式中1的特殊性,往往可以简化解题过程,使问题得以顺利解决. 　　1.正用 　　例1.若直角三角形的两个锐角A、B的正弦是方程x2 px q=0的两个根,那么实数p、q应满足哪些条件? 　　……     

“三和五两九通”速解高考数列

数列是高考的重点内容,一般有一道大题和一道小题,分值共20分左右.考生由于没有掌握好数列的解题规律,失掉了不该丢的分数.其实只要我们牢记“三和五两九通”,把握住数列常用的通性通法,拿下数列是不成问题的.一、“三和五两九通”“三和”指的是三种求和方法:倒序相加法、错项相消法、裂项相消法.“五两”指的是:(1)两个基础:等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式;(2)两个灵活:如果m n=p q(m、n、p、q∈N*),等差数列有am an=ap aq,等比数列有am·an=ap·aq;(3)两个分类:an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)和Sn=na1(q=1)a1(1-qn)1-q(q≠…     

电场公式讲解(高二)

电场这一章公式较多.如:E=F/q,E=kQ/r2,E=U/d以及F=kq1q1/r2.学习这些公式,要明确其由来及使用条件.E=kQ/r2是点电荷场强公式,它是由电场强度定义式E=F/q和库仑定律推导而来.对于E=U/d,则是利用功的定义式:W=Fd和电功W=qU,得到E=F/q=U/d,这个公式只适用于匀强电场.库仑定律F=kq1q2/r2只适用于真空中的点电荷.     

应用乘法公式求勾股数组

若正整数a、b、c满足a2 b2 =c2 ,我们就称(a,b,c)为一组勾股数 .关于求勾股数组的方法甚多 ,但都比较繁琐 ,且不易掌握 .本文独辟蹊径 ,介绍一种简单而又新颖的方法———应用乘法公式求勾股数组 .1　应用平方差公式的转化变换求勾股数由公式 (a b) (a -b) =a2 -b2 得 :a2 =b2 (a b) (a -b) (1 )令 (a b) (a-b) =n2 ,不妨设n2 =pq(p >q) ,这里 p、q分别为n2 的两个奇因数或偶因数 ,则有 :a b=pa-b =q 解得a =p q2b =p - q2当n为奇数时 ,取 p =n2 ,q =1得n,n2 - 12 ,n2 12 是一组勾股数 ;当n为偶数时 ,取p=n22 ,q= 2 ,得n ,(n2 ) 2 - 1…     

同一命题 不同呈现

<正>命题两个能够完全重合的图形,若有部分重合,则每个图形上不重合的部分的数量(线段的长度、角的度数、图形的面积)是相等的.简证因为两个图形能够完全重合,所以令两个图形的数量均为w,令重合部分的数量为p,两个图形上不重合部分的数量分别为q1和q2.∵p+q1=w,p+q2=w,∴p+q1=p+q2.∴q1=q2,问题得证.     

数列求和方法大全

<正>数列求和是数列的重要内容之一,除等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的方法和技巧。下面结合实例具体谈谈数列求和的基本方法和技巧。1.公式法例1在等比数列{a_n}中,公比为q,S_n是其前n项和,若a_1=2,a_3=a_2+4,求S_n。解析:由题得2q²=2q+4,即q2=2q+4,即q²-q-2=0,解得q=2或q=-1。     

一阶递推数列通项公式的推导及应用

设数列{an}满足一阶递推关系:an+1=pan+q.当P≠1且P≠0,q≠0时,数列{an)非等差、等比数列.其通项公式有两种求解思路. 思路1-转化为等比数列求其通项公式在an+1=pan+q中,两边同减去q/1-p得an+1-q/1-p=p(an-q/1-p).     

例谈非常规数列求和的方法

数列求和问题是高考的热点问题,它的基本求解方法是公式法,即利用公式(Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2d)和(Sn={na1,q=1,a1(1-qn)/1-9,q≠1)求等差数列、等比数列的前n项和.但针对一些非常规数列的求和问题,公式法不太适用,要通过其他方法进行针对性解题.     

数列自测题

一、填空题(每题3分,满分36分)1.已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=52,则a5=.2.已知{an}为等比数列,公比为q,且a5=8,q=2,则an=.3.已知{an}是等比数列,公比为q,前n项和为Sn,q=2,a1=7,Sn=217,则n=.4.在等差数列{an}中,若a3=6,且a3、a7、a10成等比数列,则公差d=.5.设已知{an}是单调递增的等比数列,若a1=-2,则公比q的取值范围为.6.根据下列4个图形及相应点个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.7.已知数列{an}为等差数列,a1 a3 … a2k 1=96,a2 a4 … a2k=80,则整数k=.8.已知数列{an}满足以下关系a1=3,an 1=a2n 1,则数列{an}的通项公式为an=.9.等…     

等比数列运算要慎重

一、慎选公式 等比数列的前n项和公式实际上是由两部分构成的，与q的取值有关，即Sn={na1(q=1) &;lt;{a1(a-q^n)}/1-q&;gt;(q≠1)。解题时易忽略q=1的情形．     

韦达定理的巧用

韦达定理,即一元二次方程中根与系数的关系,设x2-px+q=0的两个根为x1、x2,则x1+x2=p,x1·x2=q,是初等代数中的重要内容.     

应用等差数列的二个重要性质巧解数列问题

性质1 在等差数列{a_n}中,如果 p q=r s,那么 a_p a_q=a_r a_s.特别地,当 p q=2m 时,有 a_p a_q=2a_m.要证明性质1很简单.根据等差数列的通项公式得:a_p a_q=a_1 (p-1)d a_1 (q-1)d=2a_1 (p q*2)d,a_r a_s=a_1 (r-1)d a_1 (s-1)d=2a_1 (r s-2)d,因为 p q=r s,所以 a_p a_q=a_r a_s.显然,当 r=s=m,即 p q=2m 时,有 a_p     

安培力冲量及其应用

在电磁感应现象问题中,安培力的冲量是运用动量定理解题的基础和前提条件,是解决问题的关键.本文对安培力的冲量及其应用作一些讨论,以期对同学们学习有所帮助.把导体的运动分成无限等份,则每小段安培力可看成恒力,冲量可写成I=Ft,则每小段安培力冲量为I1=Bi1Lt1=BLq1,即I1=BLq1,i表电流.同理得:I2=BLq2,I3=BLq3,…,In=BLqn,各式相加可得:I1 I2 I3 …=BL(q1 q2 q3 …).根据电荷量的积累性和分段求冲量的方法可得安培力冲量公式为I=BLq(以下简称“公式”、q为通过导体横截面的电荷量).1单棒运动时的安培力的冲量1)只在安培力作用…     

递推数列a_(n+1)=qa_n+b_1p_1~n十b_2p_2~n+b_3的通项公式

我们考虑这样的数列:已知数列{a_n}的a_1,并且递推公式为a_(n+1)=qa_n+b_1P_1~n+b_2p_2~n+b_3,其中q,P_1,P_2,b_1,b_2,b_3为常数,且q≠0,P_1,P_2≠1,P_1≠P_2,这个数列的通项公式如何求法,我们分以下几种情况来讨论这种问题.一、q≠1的情况(一)当q≠pi(i=1,2)时,设a_n=u_n+a_1p_1~n+a_2p_2~n+a_3,其中a_1、a_2、a_3为待定系数.将此式代入上面的递推公式中,得     

谈谈韦达定理

一、教学中的一个问题己知方程x~2+px+q=0的两个根x_1、x_2,求以此两根的平方为两根的方程.解:∵x_1、x_2是方程x~2+px+q=0的根,由韦达定理,得     

逆用等比数列求和公式,巧解非等比数列问题

设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列, (1)若q≠1,则a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1(1-qn)/1-q (*) (2)若|q|<1,则a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+…=a1/1-q (**) 逆用上述等比数列求和公式,可巧解许多非等比数列问题.     

反证法经典两例

1.证明2~(1/2)是无理数. 证假设2~(1/2)是有理数p/q其中p、q为互质正整数,,即2~(1/2)=p/q.两边平方可得p~2=2q~2,可见p为偶数,设p=2n,则(2n)~2=2q~2,故q~2=2n~2,从而q也是偶数,所以p、q有公因数2,这与p、q互质矛盾。因此,2~(1/2)必为无理数.     

浅析一个公式的错误

腾发祥同志在《数学解题教学新探》一文(见《数学通报》88年第6期)中,提出了一个不正确的公式: 在等比数列中,由公比的意义q=(a_n)/(a_(n-1))=(a_n)/(qa_(n-2))=(a_n)/(q~2a_(n-3))=…=(a_n)/(q~(n-2)a_1)可得q=((a_n)/(a_1))~(1/(n-1))① a_n=a_1q~(n-1)②若a_k与a_r是等比数列的任意两项,类比公式①、②,又得: q=((a_k)/(a_r))~(1/(k-r))③ a_k=a_rq~(k-r)④显然,公式①、②是③、④当r=1时的特     

等比数列前n项和公式的教法

新教材对等比数列前n项和公式这节内容的处理较老教材要好些 ,在给出了S6 4=1+2 +4+8+… +2 6 2 +2 6 3的求法进行铺垫后 ,大家可能都知道只要在Sn =a1+a1q +q1q2 +… +a1qn- 2 +a1qn- 1的两边乘以 q ,得 q·Sn =a1q +a1q2 +… +a1qn- 1+a1qn,两式相减即可求出 q≠ 1时的Sn.但是 ,仍然没有解决为什么要在Sn 的两边同时乘以q这个问题 ,q的来龙去脉若不给学生讲清楚 ,也只能是给学生“注入”了一个“错位相减”法而已 .未展示出获取数学思想方法的过程 ,就体现不出新教材的“新” .对例题的处理 ,新教材删掉了老教材的例 6 ,用老教材习题十…     

不可忽视公比为-1的情形

在解与等比数列前 n项和有关习题时 ,教师经常向学生强调要注意对公比 q=1和q≠ 1两种情况讨论 ,但一般很少注意 q=- 1的情况 .而这时往往最容易出错 ,这种错误更隐蔽 ,不易察觉 .下面举例加以说明 ,从而引起大家的注意 ,使得解题更加严谨 .例　已知数列 {an}是等比数列 ,前 n项和为 Sn,前 2 n项和为 S2 n,前 3n项和为 S3n.求证 :Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n成等比数列 .此题为本刊文 [1 ]例 5.文 [1 ]将等比数列前 n项和公式 Sn=a1 ( 1 - qn)1 - q ( q≠ 1 )中a1 1 - q设为 - A,得 Sn=Aqn- A( A≠ 0 ,q≠ 1 ) ,利用这一结构形式进行证明 ,…