算术平均值代换法

例1.分解因式:(xZ一劣+15)(劣2一x一5)+51解令夕二忿念一劣十15+劣2一劣一5=劣名一劣+5.则原式=(夕+10)(夕一10)+51二夕2一49 =(军一7)(夕+7) =(劣一2)(劣+1)(劣2一2+12)。例,·求{劣‘+犷4”272’劣一歹二2的实数解. 解设:二宁,结合‘一;第1式化为(:2一9)(22+25)=o,=2,方程组士3.故得两组解:一2,一4;=4,=2。二X夕之了,、、例3.已知劣,+劣:十.)为实数。求证:==1,名2蕊劣万。劣护..、几+端‘专十十”·十吐(等式当且仅当::二‘二二劣.二告时成立,· ﹂贝1一扩 +1 .1 劣 一一解设劣‘…+:二二0.因此 十‘护全 劣 十I‘1 劣+:盖 . . .十名注 …     

初二“希望杯”训练题

L因式分解: (1)as十a+l; (2)(x+l)(x+3)(x+5)(x+7)+15; (3)2(xZ一sx+4)”+5(xZ十1)(xZ一sx+4)+2(xZ+l)2.2.黑是否一定可以表示成1 998个分母互不相同的真分数的和,并且每个真分数的分母不超过4 00。。。o?34.已知a+b+‘一O,试求 aZ .bZ二,二厂气一下一+二兀飞一下一一一乙a‘十口亡乙口“十aC+二二厂--万的值 乙‘--卜“D有1 998个互不相等的有理数,每1 997的和都是“分母为3 998的既约真分数”,求这1998个有理数的和.今天是星期日,若明天算第一天,问第1’+23+33十…+1 9983天是星期几?已知自然数m、、,在数轴上点登和点号哪个更靠近点…     

取倒数解题几例

取倒数解题技巧性强,在竞赛中经常用到.本文举几例说明之.例1 已知:1bc百’万干石。、b、‘为实数,且 召ba十b一奋于六一含,~_,abc刀卜饭久二万一下一又丁一不二二一 ‘‘心尹一「砚沪‘刁一‘4名一 (1997年“希望杯”数学邀请赛初二试题)对已知条件中各式取倒数得 1_1月一-下一-J,几尸 口O+工一4,工十工一5,‘口解1一a 1,1 .1 —州卜~下,州卜—~ “口Cab+bc十caabe1二一一b取倒数得abcab+bc+‘a例2设a- 工y+二 y二+x,‘一:共,二,且x十y+z半 ‘￡.牛.y ~二a .bU,纵U二,不一丁~卜夏卜不-下尸刊一 “甲尸1口门尸1 ‘‘+1(1996年“五羊杯”数…     

助你熟记英语单词

看图速记英语单词:、:冬左十乞十 州卜冲叼十州卜“神”咔一卜一十加冲~卜一十一十一刊卜”十”十.“十崎一十一十十时叫卜一神冲”~卜时叫卜一十~十~叫卜“十”一十①1十1一2②2一1~1③2火3一6④6分3一2⑤lal⑥二犷.打犷一~。1,(习O一兀不又a~f--口少n 一乙⑧aZ⑨a3⑩Zx+3一x一5⑩20%~1{这旦一下,一U. 乙4,卞丰+人了‘·十几+:吝去留甚甲忿十一5,‘二并V@⑩)二}一一势(仁‘颐@匆⑩颐O1,2,3,…一1,一2,一3,…@⑩⑩⑩音,O·‘,5,”‘厂·++·十。+名+‘++召+十十十:十干:十气·十二十+十一十一十一+一十一十二十二十一十十t.十一十一十~十…     

“华杯赛”训练题选(一)

1.2 000) 2.计算:(1+3十5+…+2001)一(2一卜4+6+…十1至100各数,所有不能被9整除的自然数的和是 3.盒子里放有三只乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球放回盒子里;第二次从盒子里拿出2只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里;……第10次从盒子里拿出1。只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里,这时,盒子里共有只乒乓球.4.计算迎匕6丫+入345345火+巡艺Z艺 5.1万’‘””‘将2。。:减去它的喜 乙,再减去余下的冬,再减去余下的 口依此类推,直至最后减去余下的兴只二,最后的结果是 ‘UUI6.计算:1十:粤+:典+: 勺1乙1._l__…     

带余除法的妙用

例1.已知a“十a一1=O,求“”+Za“+的值. 解:应用长除法,得 as+2a2+3=(。+1)(aZ+a一1)+4=4. 仁,!2。n为自然数,求证3“’‘干“一s;一9是4的倍数. 证:、“l时,命题显然成立,应用长除: 32(凡+1)十2一8仁无+l)一9 =3 Zk+4一8孟一17 =9(32人千2一8无一9)+64(忌+1). 故只要厅“h时命题成立,则。=k十1时命题成立.20x一29 4x一5.解:由带余除法得,1、气“十乏玉二丁少=(不匕简: 32坑玉二16)一(5一价、)(5一互坛生‘).二百妥万而+蓬至万弓·3一一 一为 + 1ZX一3 1O解之得x二一二一 ‘巾.求函数了(·卜釜资备袱的极值.甫夕:f(x)二1- 7xZ+:十1二‘…     

初三(上)数学期中测试题(满分100分)

一、填空题(每小题2分,共20分)1.一元二次方程尹一3x一1一。的两根为x,、二2,则 值为X IX2xl+了22.以1+、万和1一丫万为根的一元二次方程为3‘设a、月是方程2分一6二+3一。的两个根,利用根与系数关系, 求矿+尸的值为4.在△ABc中,若}SinA一:l十{立二二cosB{一。,贝。二c-已知方程2护一4mx十3(、“一1)一0有两个正根,则m的取值范围是、.~。___1__士十算:eos乙300一舟tan 45。+eot 600·sin 600一””.一4一’----—-若圆内接四边形ABCD的内角度数之比为乙A:艺B:匕C~2,3,4,则乙D一如图1,等腰三角形ABC内接于半径为5的圆O,月B一AC,~,…     

一题多解 各显特色

尸夕屯习‘Z雀沙门-z门声畏二. 已知正数a,b满足ab~a+b十3,求动的最小值. 一、配项法 解:已知条件可化为(a一1)(b一1)一4 又‘:a,b为正数,易知a>1,b>1,而 ab一a+b十3=(a一1)+(b一1)十5 )2了(a一1)(b一1)+5二9 当a一1一b一1时, 即a二b一3时,ab取得最小值9 二、直接运用均值不等式 解:‘:a,b都为正数, :.ab一a十b十3)2、/丽.十3 解得:斌丽)3或甲丽(一1(舍去) 当a一b二3时,ab取得最小值为9. 三、方程法 解:设ab二t,则a十b“‘一3 :.a,b是关于x方程尹一(t一3)x十t二O的两个实数根 .’.乙~(t一3)’一4t)o, 解之得t)9或t成一l(舍去) :.当a~b一3时…     

上海市第一届数学競赛复赛试题解答

1.(a)段。为正整数,征明1梦铭一1是168的倍数。 解:’:砂一1可以被a一1整除, 招,,一1=(13.)”一1可只被13,一1二168整除, 方例是知1沙”一1是168的倍数。(b)周具有那种性臂的自然数二,能使1+2+……十” 整除1·2·合‘·…铆解祛一:根据算尤粗数求和公式,知1+2+··…+”=铭(1+铭) 2又1.2·3.·… 件,”可以篇成件!。件(1十协) 2是否整数,可以分下列各种情形来研究:(1)当”是奇数时,如协~1,助件!“1,件(1十铭)—~-L 艺”(1+”) 2 1一1一1是整数。如朴势3,刻川__2·(牲一1)!钻(1+件) 21+扑__.。,.~一,、,。~~_二~~八、1+件加1十”是俩砚,月…     

三项式x~m+x~n+1的因式分解

定理若整数仍、.不是3的倍数,而拼+介是3的倍数时,xZ十:十1是三项式‘仍+‘”十1的因式. 证明记f(x)=x“+:”十1.不妨设。=3k+l,佗=31十2(沦、l任z),。为1的一个三次虚根.那么 f(。)=。“,+‘+。,‘+,+1 =。+。2+1=0, f(。“)=。。沁+“+。。‘+4+1 二。2+。+1=0。因此,f(x)含有形如(z一。)(x一。’)二工艺十:十1的因式. 例.分解::7十2:‘十x十2. 解x7十2:”‘卜z十2二(x7十x“+1) +(xs+劣+1)=(x“+劣+1) (劣‘一劣‘十Zx,一劣“一劣+2)。三项式x~m+x~n+1的因式分解@王起凤$湖南道县一中~~…     

绝对值的一组练习(初一、初二)

已知三个数a,b,。满足a{+a=O,lab卜ab,{‘l一。=则}b{一}〔一bl一{a+b{+la一‘ b_.~__十下一二下小能寺丁一乙,U,1, }口{a一a,2.若ab并O,则2这四个数中的( (A)一2.(B)0.(C)(D)2.1镇二(2,则y的最大值与最小值之差是() (A)4.(B)3.(C)2.(D)1. 6.已知y一{2二+6】十】二一11一4}、十1{,求y的最大值. 7.二为任意有理数,则一x+1}+}二+21+}二+3!十}二+4}+}二十5}的最小值是_. 8.设a+b+‘一O,ab。>O,则3.若工一220042005,则{二}+1二一1}十}二一2一+b+c .c+aa十b,二,小二,—十甲万一下十下一一下四t巨,毛气一a}一o}}c}二一3{+},一41+}二一5}~ 4.…     

例谈解二元二次方程组的思想方法

解二元二次方程组除运用转化的思想方法外,还有:一 一、降次、消元的思想方法 例1解方程组①②x”一少二3x十3y尹一xy+少一27:由①有:(x+户(二一户一3(x+y)~。,仁l卜解:.(二+必(x一y一3)=o(降次)故原方程组可化为以下两个方程组:}‘+夕一o,_lx‘一习十y乙一27{’厂’一3一夕,Lx‘一秒十少一27用消元法可求得方程组的解为:一一3,二3; q口XyIJI.了l~3,y、一一3;J一3一6,y3一3;一一3,~一6.八为了.沪护、几!、了.1.‘es.二、整体思考的思想方法例2已知方程组{二+夕十少卜的两组解为lJ{互}一“曰一乞;了2一a,夕:一b:.则alb。十uZ乃的值为 分…     

巧求轮换对称式的值

例l已知歹牵夏一“窗子诬一‘,,求i译石十击+r认的值· 解根据已知条件,由合比性质,得 忍x+y一‘,x十y十二并①②③ X劣+y+艺 yx+y十二 之 二+y+之①十②十③,得 召1十a’ b1+b’ C1十c. 己1+a b .c州卜万-节产一下.十二一气下一,一1。 1.,we夕1.冲一‘~_一一.,_,,_~了1‘1),!Z匕‘为1口一卜口一卜c~V,a口c7:U,习陀al几歹.州一一丁{一卜 、口‘,州告十引+c暗+翻+3的值· 解将3写成号十会十含,则原式一誉十令+含+粤+含十冬+生十口口至b十三 1,,.、.1,:,.、,1,.;.、八一一仁ad一D月一‘户七卜下万戈“一卜o--t esc夕一r气、“月一o州一c夕…     

狗年趣题三则

1994年将至,以1994年为题材,编拟趣题三则,向《数学教学通讯分各编委及广大读者恭贺新年。 1 99毛:.甲}工一了 ‘.J 1…1一11一2}十12计“:认黑,一桨 1l一l”‘十J 1994一595~l一1_ 1 995一3.设非零复数x、y满足护+xy十犷 1 319941995 二Oy+并 yX+解:‘:1卜二1求:(‘,9‘+(,9,‘之值。J解:.11济石不:102”199) 9:令y一二x,切yl,代入了+二y十犷~ 22…2 1 994个2 原式-1电竺i二!) 90,则1+二+、2一0,…(1一w)(l+w+wZ一O,w,二1,1十切2一一叨.‘阮协蔽仁一2一1厕汤V甘一一:.原式一(__毛)‘9,‘+(: 沈门广y工y、z,,;令(1。,,,‘一1)一王(99…9…     

2006年高考数学模拟试题（三）

一、选择题:本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.定义运算式}。‘}=ad一*，定义复数二一。+。i的模为}二!二了丁下石1，若复数二满足}·‘}一1+i， 1 bd}1 11! 则1 21=() A .1十拒B.污C.乃D一1十泛 2.已知集合I=11，2，…，9}，A与B是I的子集.若A门B={1，2，3}，就称集合(A，B)是“好集”，那么好集的 个数是·() A .62 B.6!C.36、D.26 3·设函数f(二)(;。*)为奇函数，f(1)=告，f〔二+2)一f(二)十f〔2)，贝。f(5)- 。5 廿.气了 ‘ D .0 4.已知平面a及以下3个几何体:①长宽高皆…     

实数与四边形中考题练习(配合人教版)

L已知一个梯形的面积为10 cm气高为2~,则该梯形的中位线长等于2.要使一个平行四边形成为企方形,则需增加的条件是_.(填上一个正确的结论即可)3.分解因式介j铲白护一3。一3几=黯聋悬薰下邵{锣不5.函数)=卫亘盈一中自变量,的取值范围肠l+2入’‘碱惠薰鞭瓢鹭鼎黝撇肇鹦溉J翩獭馨矍鳄曝黔掣‘糕翼默蕊奢价拍令夕一雳瑰的结果是(饥一3- 力乞3一力1冲育闰叶)卜韵索亨盆省忿宕岁鼎澡韶参考答案1.5(提示:S梯形城上底十下底)火高招,中位线长=(上底十下底)二2) 2.对角线相等且互相垂直3.(二+,;)(,n一n一3)4.:(提示:将不是阴影部分的面积分为四块,如…     

1989年上海市初三数学竞赛试题及解答

一、填空题 1.若存在实数a,A和正数x’使等式、侧一云二了月成立.则A”____。:.有一辆车,其前轮周长为。兵米, 1‘后轮周长为,1、,,b,布叫术 j贝巧前进米,才能使前轮回转次数比后轮回转次数多99次。 3.在梯形ABCD中,已知下底BC=1991,上底AD=1989夕M在下底BC上,且S△幼,,:S梯形AM。D=1:1989,则CM的长是_ 4。若关于x的二次方程护一Px十口二0的两根的差为1,用P来表示q,则q二_。.已知x=1092亿元一召丁 2,=l。92叼顽士述I,则(:一,) Z 侧牙厂分y一粉2 ,俩值是_. 6.已知三个非负数a,吞,c满足条件: 3a Zb c二5,2口 右一3c=1。记S=3a b一7…     

安徽省1978年中学生数学竞赛试题解答

I 的大焊J二一2十ZV X一3 十J M十I十4V X—S=,5闯估一.训*嘿玻篮虹JI一｝+2VX一S十1 令fi一3十4V X一3或者/(V。一3+”1)。十/(V。一3+2)‘。5‘即’wirtt+!十Vz二万+z=s’于是Vl:=v’=1”所以。=4-解法二:难Vx。3二+j 则X。r’+3,辰万租变为·V厂了了乃厂+灼可q一奴=6或I了+11+gy+2!。9,,一、.何因y》o…所以r+1+7+2刍5,即rR!,由p得x。乏.解j＄E。“把方程改写为/B一 5一/A,……(1)。甘巾A。X”～2+二IMH R.YB。Z十1+4/、二3.把(1)两边平方得芦,A—25—10y人,;厉B—A回 3+2V卜 s,代入上式得5Vk《11一V。一3,两边平万得…     

错在哪里

一、湖南省式冈二中钟介澎来稿 题已知:x、y〔R,且尸十犷蕊1,求之=!x+,}+}y+1}一卜12y一x一4}的最值。 解:由已知可得,一1‘x成1,一1(夕(1,所以万十1)O,2万一x一4<0,并且一2成x十y镇2。 :=l、+万!+万+1一(2夕一二一4) =lx+万卜x一y+弓当x十,)0时, 之二x十夕十x一y+弓二Zx十5镇7当x十对簇O时, 之二一(x+互)+x一y+5 =5一翔)3故z的最大值是7,最小值是3。 解答错了!错在哪里? 错误的原因是把正方形区城A二{(芜,,)l一l‘工毛1,且一1镇;簇1}看作与圆面区城‘B={(x,夕)1扩+犷(1,二、万〔R}是等价的,而实际上是姓。B。 正确的解法是:%+对)O尸+对…     

第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷（初一组）

填空(每题10分，共80分)限1.计算:!1一f具一(一。.:5)，飞火(一2)‘}冬「3x(一兽)+5* l‘10目J‘\01‘一2)3」一( 2.当m一27t时，多项式，“+俪+1的值是O，则多项式4a护+b二+ 3.将若干本书分给几名小朋友，如果每人分4本书，就还余下20本书，如果每人分8本书，就剩下1名小朋友虽然分到了一些书，但是不足8本，则共有()名小朋友. 4.图1中的长方形ABCD是由四个等腰三角形和一个正方形E FGH拼成，已知长方形ABCD的面积为120平方厘米，则正方形EFGH的面积等于()平方厘米. 5.满足方程}日x一20061一11+8}一2006的所有x的和为(). 6.一个存…