集合{a^3＋2b^3＋4c^3—6abc｜a，b，c∈Z}关于乘法封闭

[问题314．1]令集合S={a^3＋2b^3＋4c^3-6abc｜a,b,c∈Z},求证：S关于乘法封闭,即任给x,y∈S。必有xy∈S．（本题是自编新题）     

集合{(a2+b1-c2-d2)2-4(ab-cd)2 |a,b,c, d∈Z}关于乘法封闭

[问题315.1]设集合S={(a2 b2-c2-d2)2-4(ab-cd)2| a,b,C,d∈Z}.求证:S关于乘法封闭,即任给X,y∈S,必有xy∈S.     

（a＋b）^2≠a^2＋b^2，为什么

上面这个错误的等式是显而易见的．但在学习了这部分知识后，在利用乘法公式的计算中，有些同学却屡改屡犯。这是为什么呢?可能是老师在给这部分学生纠正错误时，只注重了从表面或运算结果的角度去分析，而忽略了从“学生的学习心理”方面去分析问题．     

如何理解集合{x｜p（x,k）,k∈I}中的参数

在用描述法表示的集合中,有一类形如P＝{x｜p（x,k）,k∈I}的集合,其特征性质p（x,k）不仅包含了集合P的代表元素x,而且包含了参数k（k的取值范围是集合I）。对于这类集合的含义,教师对其存在着两种截然不同的理解。     

不等式a^2＋b^2/2≥{a＋b/2}^2的加强

a^2＋b^2/2≥{a＋b/2}^2（a,b∈R,当且仅当a=b时等号成立）是中学数学常用的不等式之一,本文将给出它的一个加强不等式．     

向量不等式｜a｜^2｜b｜^2≥（a·b）^2的巧用

由向量的数量积公式a·b=｜a｜｜b｜·cosθ（θ为向量a与b的夹角）,易知｜a^2｜·｜b｜^2≥（a·b）^2,当且仅当向量a与b共线时等号成立,别看这个不等式来得容易,它的作用却不可小瞧,用它处理某些数学问题比常规方法简单得多,请看下面的例子。     

不等式a^2＋b^2/2≥（a＋b/2）^2的应用及推广

在人教版《高中数学第二册》（上）中有这样一道习题，求证：^2＋b^2/2≥（a＋b/2）^2，利用该不等式可以简捷巧妙地解答一些不等式问题。本文简单介绍它的应用及推广，供大家参考。     

应用公式“a^2—b^2=（a＋b）（a—b）”解题

运用加法运算定律的原理,我们可以计算下面两道题:     

关于定积分∫0^2π 1/（a^2sin^2u＋b^2cos^2u）du（n∈N，a，b∈R^＋）的计算

提供一类含有三角函数的定积分的计算方法及计算公式。     

利用｜^→a｜^2｜^→b｜2≥（^→a·^→b）2解决条件最值（不等式）问题

文运用平均值不等式及柯西（Cauchy）不等式推导出了5个条件不等式,并举例说明它们在求条件最值及证明条件不等式方面的一些应用,读完文之后,笔者启发很大．但同时笔者也认为文在运用平均值不等式及柯西（Cauchy）不等式推导5个条件不等式时太繁,分类又太细,     

不等式“α^2/b≥2λα-λ^2b（α,b∈R^＋）”的应用

在数学竞赛和数学杂志中，常常可以看到一些高难度的分式不等式的证明问题．我们通常用柯西不等式推论证明，然而若用“α^2/b≥2λα-λ^2b（α,b∈R^＋）”来证明，则可以得到一种统一的解法且简单易行，还能解决更多的分式不等式的试题．下面举例说明．     

介绍公式asinθ＋bcosθ=√a^2＋b^2sin（θ＋arctan b/a）及其应用

有很多文献给出了下面的公式：asinθ＋bcosθ=√a^2＋b^2sin（θ＋arctan b/a）（ab≠0）实际上,此公式并不正确,反例：当a=-1,b=√3时。     

不等式（a＋b）^2-4ab≥0的应用

通过例题谈不等式(a b)^2-4ab≥0的应用，为叙述简捷，不妨记这个不等式为(※)。     

函数f（x）=ax＋x^-b（a,b∈R＋）教学设计

以江苏省丰县中学学生为教学对象,以函数f（x）=ax＋x^-b（a,b∈R＋）,为上课内容,进行了一节教学设计．分别从教学目标;教学任务;学习者;教学策略;教学过程;反思评价等六个方面对这节课进行了详细的预设分析解读,期望对课堂教学提供帮助．     

与时俱进 创立新解——利用↑→｜a｜^2↑→｜b｜^2≥（↑→a·↑→b）2和导数求最值

文[1]用权方和不等式求最值,一方面权方和不等式是高中数学没有介绍的不等式,另一方面技巧性太强,用了六种技巧解决了九个问题,故操作性不强．因此用权方和不等式求最值只是一种行得通的方法,在高中数学教学中并不值得提倡．向量和导数是高中数学必修内容,向量和导数的工具作用应得到充分发挥,下面就用向量和导数的有关知识来解决文[1]中9个例题．     

应用（α＋b）^2≥4αb解初中竞赛题

由完全平方公式（α-b）^2≥0知α^2＋b^2≥2αb从而有（α＋b）^2≥4αb,其中等号当且仅当α=6,利用（α＋b）^2≥4αb可以解决一些初中竞赛题．     

asin θ＋bcos θ=√a^2＋b^2 sin（θ＋arctan b/a）的推导——生成合适的教学表征的一个案例

公式asin θ＋bcos θ=√a^2＋b^2 sin（θ＋arctan b/a）俗称“二合一”公式,这个公式的地位有点尴尬．在人教版（2000年版）的教材中,这个公式是在阅读材料“以同频率正弦电流相加,频率不变”的物理背景下给出的,在人教版2000年版以前的教材中,在三角函数内容行将结束时,才以习题的形式给出这个公式;     

关于β2（T（1，b，c，d，1））

h（G,x）表示图G的伴随多项式,β2（G）表示h（G,x）的第二伴随最小负实根,探讨β2（T（1,b,c,d,1））的性质。