初中数学竞赛训练题

一．填空题1．完全数是一个数的所有因数之和（除该数本身外）等于该数本身的整数，它显示了整数的完满性。第1个完全数是6，它可以被1，2，3整除并且是1，2，3之和，那么第2个完全数是（ ）。2．2个整数相加时，所得的和是2个数字相同的两位数；它们相乘时，所得的积是3个数字相同的三位数，则这2个整数是（ ）。3.若S=1＋1/4＋1/9＋1/16＋…，则P=1＋1/9＋1/25＋1/49＋…=（ ）用S表示。4．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲地、乙地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）种。5．若从1，2，3，…，8这8个整数中同时取4个不同的数，其和为佴数，则不同的取法共有（ ）种。6．如图1，在棱长为1的正方体中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，那么把线段AE和D1F平移后，它们相交所得锐角的正弦值是（ ）。     

一个六阶图与路联图的交叉数

探讨一个六阶图与路的联图的交叉数．利用完全二部图k6,n的交叉数结果,证明了该六阶图与路的联图的交叉数为：Z（6,n）＋n＋1,n≥2．     

完全数问题的探讨

利用数的标准分解式给出了一个数为完全数的必要条件，以及若奇完全数存在，则a为（4n＋1）^4k＋1 a^2 1形式的数，其中4n＋l为素数，且a1不含4n＋1型的素因子。     

有趣的杨辉三角

“杨辉三角”是指如下一个表：0行 11行 1 12行 1 2 13行 1 3 3 14行 1 4 6 4 15行 1 5 10 10 5 16行 1 6 15 20 15 6 1… ……这个表是我国南宋数学家杨辉首先发现的.由于它的形状是一个三角形,因此叫它为“杨辉三角”.在国外,有人把它叫做“巴斯卡三角形”,他们认为这个表是英国的巴斯卡发现的.其实巴斯卡的发现比杨辉要晚三百多年.杨辉三角的结构特点是：每行首、尾的数字都是1,中间的每个数正好是该数两肩上的两数之和.根据这个特点,我们是容易记住这个表的.杨辉三角是数学之花.它有许多有趣的性质和用途.1“杨辉三角”与“11的方幂”仔细观察“杨辉三角”,不难发现,0行有1=110,1行有11=111,2行有121=112,3行有1331=113,……由此猜测：n行就是11n,这种猜想是正确的.不过要注意的一点是,对第5及以下的各行,要注意进位问题,凡大于或等于10的数必须逢十进一.例如116,第6行的数是1、6、15、20、15、6、1,第三、第四、第五个数进位以后,它就是1771561,而116=1771561.2“杨辉三角”与“2的方幂”现在我们把“杨辉三角”中各行的数分别加起来,得到0行为1.1行为1＋1=2.2行为1＋2＋1=4.3行为1＋3＋3＋1=8.4行为1＋4＋6＋6＋4＋1=16.……观察这组等式,我们发现各行的结果分别为20、21、22、23、24、…,由此我们可以猜想：“杨辉三角”中的第n行各数之和是2n.这是正确的.     

2005年7—8月号“数学潜能知识竞赛”参考答案

1．4（提示：设a=n-1，b=n，c=n＋1，n为正整数，则｛n-1＋n〉n＋1,n-1＋n＋n＋1〈19）2．C（提示：在剩下的18个商标牌中，背面有奖金额的商标牌还剩3个，因此，他第3次翻牌获奖的概率是3/18=1/6）     

整数的模n同因分类

在整数集Z上定义了模n同因关系,得到整数的模n同因分类Z（n）．证明了：Z（n）的元素个数是T（n）（其中T（n）是n的正因数个数）;Z（n）关予乘法[a][b]=[ab]作成以[0]为零元,[1]为单位元的交换半群,且除[1]外其余的元都没有逆元;在不等式T（n）＋φ（n）≤n＋1中,当且仅当n=1．4,p（p为素数）时等号成立,其中φ（n）是欧拉函数．     

有奖征解

<正>题目从1,2,3,…,n(n 6 N,t≥2)中任取k(k=1,2,…,n—1)个数相加,得到2n—2个和,试问:将这些和模n后可得多少个完全剩余系?在得到若干个完全剩余系后,若还有剩下的数的话.那么剩下的这些数分别是什么?例如:当n=4时,可得3个完全剩余系,同时还剩下两个数1和3;当n=5吋,则刚好可得6个完全剩余系.     

关于图的优美性的若干结果

研究非连通图CmUPn的优美性，证明了C2n＋1UPn．C4aU2n＋2，C4mUP2n＋3，C4a-1UP2n＋2，C4m-1UP2n＋1，C8n-1UP2m＋3,C8mP2m＋3,C8m＋1P4m。是优美图，还证明了一类细分图是优美图．得到了相应的优美标号．     

一个优美不等式的又一简证及探究

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3（1） 文[1][2][3]给出了不同的证明方法,笔者对这个优美的不等式再给出一个简单的初等证明,并对不等式（1）做一些探究．     

初中数学易解易错题举例

初中数学中有许多题目,其求解思路不难,但在解题时,很容易出现这样或那样的错误．下面举几个例子,剖析易错原因．例1已知2^6=a^2=4^b,求a＋b的值．错解∵2^6=64,∴2^6=8^2=4^3．∴a=8,b=3,∴a＋b=11．简析一个数的平方等于64,这个数应该是＋8或-8．     

一堂课后的反思

在课本上我们用数学归纳法证明了等式1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2=n（n＋1）（2n＋1）/6．然而n（n＋1）（2n＋1）/6是怎样得来的？1^3＋2^3＋…＋n^3又等于多少？下面通过几种不同的思路进行考虑．记S1（n）=1＋2＋3＋…＋n,S2（n）=1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2,S3（n）=1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3.     

对一个猜想不等式的进一步探究

本刊文［1］提出了一个猜想：设a、b、c是正实数,m、n是正整数,且m≤n,则am（b＋c）n＋bm（c＋a）n＋cm（a＋b）n≤2n（a＋b＋c）m＋n3m＋n-1．
　　文中对以下几种特殊情况给出了证明：（1）m＝n＝1,（2）m＝k,n＝2k（k是正整数）,（3）m＝k＋1,n＝2k（k是正整数）,（4）m＝k,n＝2k＋1（k是正整数）,（5）m＝1,n＝4;m＝2,n＝3．
　　最后提出,对于所有的正整数m、n（m≤n）,猜想不等式是否完全成立？若成立,有无统一的证明？笔者经研究,进一步拓展了结论并证明了部分问题．     

对素数（质数）一些特性的探讨

为了区别于4、6、8等偶数合数,在这里我把为奇数的合数称为奇合数．我在学习过程中发现素数有一些特性,即（2n＋1）为素数时,（2^n＋1）或（2^n-1）能够被（2n＋1）整除．也可以说,（2^n＋1）或（2^n-1）能够被（2n＋1）整除时,（2n＋1）为素数．（以上的n为正整数,下同;素数“2”不具备以上特性）．     

求解平方数问题的金钥匙

平方数是指能表示成某整数平方的那些数，又称完全平方数．它是国内外数学竞赛中的一种重要题型．这类问题，立意新颖，构思精巧，颇富思考情趣．本文初探求解有关平方数问题的金钥匙．一、从数的因子入手任何平方数都能分解成偶数个相同素因子的积．抓住这一点，便能解决一些平方数问题．例1（1988年第2届国际中学生友谊赛题）求征：不存在这样的自然数n，使数n~6 3n~5-5n~4-15n~2 4n~2 12n 3是自然数的完全平方．能被6！整除．∴A无偶数个3的因子，故b不是完全平方数．例2（第16届加拿大中学生数学竞赛题）证明1984个连续正整数的平方和…     

探索型试题解法例析

一、探索规律型 例1 观察1＋2＋3＋…＋10=55,1＋2＋3＋…＋100=5050,1＋2＋3＋…＋1000=500500,……请你猜想1＋2＋3＋…＋10^n=（ ）（n为正整数,以下n相同）。解 观察其规律不难发现结果都是由2个5或若干个0组成,而0的个数与最后加数10^n中的n有关,两个5之间和最后都有（n－1）个0。     

从一道习题分析农村数学课堂阅读

在对一次校本课程研究课听课时,看到课堂上老师正让学生做一道数学阅读题：“古时候,自然数6是一个备受宠爱的数。有人认为,宇宙之所以这样完美,是因为上帝创造它时花了6天时间……”自然数6为什么倍受人们青睐呢？原来,6是一个非常“完善”的数,与它的因数之间有一种奇妙的联系。6的因数共有4个：1、2、3、6,除了6自身这个因数以外,还有1、2、3三个因数。6=1＋2＋3,恰好是所有因数之和,所以6是最理想、最完全的数。数学上,具有这种性质的自然数叫做“完全数”。     

完全数两个有趣性质的简证

一个正整数，若其全部因子的和等于该数的2倍，称为完全数．如2&#215;6=1＋2＋3＋6，     

《代数初步知识》自测题

一、判断题（对的打,错的划X）1．单独的一个数不是代数式．（）2．n是整数时,Zn＋l可表示任何一个奇数．（）3．a（＋c）＝ah＋ac是公式,不是代数式．（）4．代数式一一一二对一切X的数值都有意义．（）’5．方程3x＋9＝24与方程x＋3＝8的解相同．（）二、填史题1．用字母a、b表示加法的交换律是。2．被3一除商m余2的数是．．3．a与b的平方的和是．．－’4．．比数。大25％的数是．5．：的意义是一’ah”””—“———6。如果长方形的长为a,宽为b,那么的和2（a＋b）分别表示、．7．若方程3x＋m＝5的解为义二1,则m二8·当x＝一时,…     

雀舌草染色体的核型分析

对雀舌草体细胞染色体计数,并对其核型进行分析,结果表明：雀舌草的染色体数目为2n：24;核型公式为2n：2x：24=4m＋4sm＋12st＋4t,染色体相对长度组成为2n=24=4L＋6M2＋8M1＋6S,属于3B型．全组染色体总长144．25μm,长臂总长为108．90μm,核型不对称系数为74．93％．染色体总体积为641．45μm^3。     

对数列求和问题的探讨

在高中数学教学中对于1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^21/6n（n＋1）（2n＋1）这道题是用数学归纳法证明的,而用数学归纳法证明问题,必须已知问题的结果,若在结果未知的情况下,能否直接推导出这个结果呢？回答是肯定的,这里用组合数性质等有关知识来讨论这个问题．