向量题根之研究

求证:G是△ABC的重心的充要条件是(→GA) (→GB) (→GC)=0. 证明 (1)必要性:如图1,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点,G是△ABC的重心,所以(→GA)=(2/3)(→DA)=(2/3)((→DC) (→CA))=(2/3)((1/2)(→BC) (→CA)),同理可得:(→GB)=(2/3)((1/2)(→CA) (→AB)),(→GC)=(2/3)((1/2)(→AB) (→BC)),所以(→GA) (→GB) (→GC)=(2/3)((1/2)(→BC) (1/2)(→CA) (1/2)(→AB) (→CA) (→AB) (→BC))=(2/3)×(3/2)((→CA) (→AB) (→BC))=0.     

型如“■+■+■=■”问题的类比探究

定理点G是△ABC的重心的充要条件是GA GB GC=0.证明:若点G是△ABC的重心,O是任意一点,易得OG=31(OA OB OC),当O与G重合时得GA GB GC=0;另一方面,以GC,GB为边作平行四边形GBEC,则GB GC=CE=-GA,A,G,E三点共线,易知G必为△ABC的重心.例1△ABC的三边长BC=a,AC=b,AB=c,若满足a GA b     

第44届IMO越南国家队选拔考试第4题的简证

题目　M、N、P分别是△ABC的三边BC、CA、AB的中点 ,M1、N1、P1在△ABC的边上 ,且满足MM1、NN1、PP1分别平分△ABC的周长 .证明 :(1)MM1、NN1、PP1交于同一点K ;(2 ) KABC、KBCA、KCAB中必有一个不小于13[1].此题的证明见文 [1] .这里仅给出第 (2 )问的一个简证 .证明 :令△ABC的重心为G ,BC =a ,CA图 1=b ,AB =c ,AM为△ABC边BC上的中线 ,如图 1所示 .则有GA GB GC=0 .又KA =KG GA ,KB =KG GB ,KC =KG GC ,故KA2 KB2 KC2=3KG2 2KG·(GA GB GC) GA2 GB2 GC2=3KG2 GA2 GB2 …     

三角形界心、重心、和“切心”的共同性质

设G为△ABC的重心，AD，BE，CF为中线，则GA/DA＋GB/ED＋GC/FC=∑GA/CA=2．事实上，不仅重心有此性质，界心、“切心”（设△ABC内切圆⊙I切BC，CA，AB于点A＇，B＇，C’，则AA’，BB’，CC’交于Q，可叫做“切心”）也有此性质：     

2007年第5期问题解答

97.在△ABC中,G、O分别为其重心和内心.求证:GO∥BC的充分必要条件是AB AC=2BC.证明:如图,延长AG、AO交BC于M、T.连接CO、BO,则AM为中线.AO、BO、CO分别为∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.必要性:因为GO∥BC,所以AOOT=GAMG=12.又因为CO是∠ACB的平分线,所以CCAT=AOOT=2,则CA=2CT,同理可证AB=2BT,所以AB CA=2(BT CT)=2BC.充分性:因为CO、BO分别为∠ACB与∠ABC的平分线,所以ACCT=AOOT,ABTB=AOOT,即ACTC=ABTB=ACCT ABTB=AC ABBC=2,AOOT=2.又G为△ABC的重心,所以GAMG=2,AOOT=GAMG,…     

一道向量题的解法与推广

题目 已知G为△ABC的重心,求证：^→GA＋^→GB＋^→GC=0． 解法一 延长CG交AB于D,则D为AB的中点．     

一道向量题的推广

题目:设点G在△八刀C的内部，且GA十GB GC二0，则△〔粥C的面积与△八刀C的面积之比是剖析:由GA GB GC二0，可知G为△八BC的重心，易知△GBC的面积与△月BC的面积之比为1:3.把题中的条件6产十GB 一、一一盏~J‘一、一、‘C=0变为〔沮 ZGB GC=0结论又如何? l_成.，点.点戈，。点     

向量之题根

题根求证：G是△ABC的重心的充要条件是GA＋GB＋GC=0．     

型如“aα＋bβ＋cγ=0”问题的类比探究

定理 点G是△ABC的重心的充要条件是CA＋GB＋GC=0．     

抛物线内接三角形重心与焦点重合的几个结论

<正>本文介绍归纳抛物线内接三角形当重心与抛物线焦点重合时的几个结论,并予以证明,供参考.定理1 设抛物线y²=2px(p>0)的内接△ABC的重心与抛物线的焦点F重合,则■.证明略.定理2 设抛物线y2=2px(p>0)的内接△ABC的重心与抛物线的焦点F重合,则■.证明略.定理2 设抛物线y²=2px(p>0)的内接△ABC的重心与抛物线的焦点F重合,若DABC三边AB、BC、CA所在直线的斜率分别为k_(AB)、k_(BC)、k_(CA),     

一组与三角形有关的向量性质及其几何意义

文（1）给出了如下命题1． 命题1 已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,G是△ABC的重心,a·GA＋b·GB＋c·GC=0,则△ABC为正三角形．     

有关三角形面积的一个不等式

众所周知,若P为△ABC的重心,连结AP、BP、CP并延长分别交对边BC、CA、AB于D、E、F,则 S_(△DEF)=1/4S_(△ABC)。如果P为△ABC内的任意一点,那么S_(△DEF)和1/4S(△ABC)又有何大小关系呢?本文将回答这一问题。定理:若P为△ABC内的任意一点,分别连结AP、BP、CP并延长交对边BC、CA、AB于D、E、F,则     

三角形重心向量性质的再推广

文[1]提出并证明了三角重心的一个向量性质. 命题,已知a、b、c、分别为△ABC中解A、B、C的对边,G为△ABC重心,且a·GA+b·GB+c·GC=0,则△ABC为正三角形.     

利用外心重心重合性质解题

一、利用正三角形的外心和重心重合解题大家知道,正三角形的外心和重心是重合的,那么它的逆命题是否成立呢?回答是肯定的。即:△ABC的外心和重心重合,则△ABC为正三角形。证明:设G是△ABC的外心,连AG并延长交BC于M∵ △ABC的外心和重心重合∴ G也是△ABC的重心∴ M是BC的重心又∵ G是外心∴ GM⊥BC∴ AM⊥BC∴ AB=AC同理可证,AB=BC∴ △ABC是正三角形利用正三角形的这两个性质,可以顺利地解决一些较难的三角题.     

型如"(a→α)+(b→β)+(c→γ)=(→0)"问题的类比探究

定理点G是△ABC的重心的充要条件是→GA →GB →GC=→0.     

2004年“相似三角形”精彩考题回放

一、选择题1.(绍兴市)G是△ABC重心,GP∥BC交AB边于点P,BC=33~(1/2),GP等于()(A)　　(B)　　(C)　　(D)2.(巴中市)如图1,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,BE的延长     

2004年"相似三角形"精彩考题回放

一、选择题 1.(绍兴市)G是△ABC重心,GP//BC交AB边于点P,BC=3√3,GP等于( )     

直角三角形中一个定理的推广

在 Rt△ABC中,AC=b,BC=a,斜边 AB 上的高为 h,则1/(h~2)=1/(a~2) 1/(b~2).它有点类似于勾股定理,加以推广,即得类似于正、余弦定理的命题.定理在任意△ABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,BC、CA、AB 边上的高分别为 h_a、h_b、h_c,则有     

再议三角形重心性质的空间拓广

文[1]根据三角形重心向量的一个性质给出了其在空间中的拓广,受此启发,经笔者研究发现了三角形的又一个重心向量性质及在空间中的拓广.图1命题如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M、N两点,且AM=m AB,AN=n AC,记△ABC的面积为S,△AMN的面积为S′,则94≤SS′≤21.证由文[1]可得1m 1n=3(0相似文献   

关于费马点与重心的距离公式

命题 在△ABC中，F、G分别为费马点和重心，令BC=a，CA=b，AB=c，S为△ABC的面积．则GF=√1/2（a^2＋b^2＋c^2-4√3S）/3.