例说数学投影教学片的设计与解题

在平移坐标轴的解题教学中 ,运用投影仪 ,数形结合 ,解相关题型 ,有显著的教学效果。以下略谈几例。ａ .运用教学投影片帮助学生理解移轴不移图像的思想方法 ,培养学生准确迅速的解题能力。课前分别用黑线、红线(虚线代红线 ,以后相同 ,不再说明 )做两个全等椭圆 ,如投影图 1 -ａ,红线画准线不画纵轴 (如图 1 -ｃ暂不出示 )。课堂上运用投影仪先在屏幕上显示图 1 -ａ ,复习 :ｘ′2ａ2 ｙ′2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 ,ｂ2 =ａ2 -ｃ2 ) ,ｘ′=±ａ2ｃ,ｅ =ｃａ 的几何意义 ,学生回答 ,教师补充。然后在投影片图 1 -ａ ,Ｘ′轴上Ｏ′的左 (右 )侧任…     

求最值的一种有效方法——几何法

最值问题是初等数学的重要学习内容 .在解题教学中 ,最值问题的求法多种多样 ,本文试图通过一些具体例子初步探讨一下借助几何图形来解决最值问题 .一、数量运算关系式的最值问题例 1　设ａ、ｂ、ｃ、ｄ是实数 ,求 (ａ2 ｂ2 ) ·(ｃ2 ｄ2 )的最小值 .解 :观察ａ2 ｂ2 与ｃ2 ｄ2 ,它们都类似于两点间的距离公式 .故我们得到启发 ,能否用几何图形来表示它 ?如图 1所示 ,Ｐ(ａ ,ｂ)与Ｑ(ｃ,ｄ)是直角坐标平面上的两点 ,不妨设ａ ,ｂ,ｃ,ｄ ≥ 0 .α=ＯＰ ,β=ＯＱ .作平行四边形ＯＰＲＱ ,则点Ｒ的坐标为 (ａ ｃ ,ｂ ｄ) ,ＯＲ =α β,△…     

例谈初中数学竞赛题的常用解题策略

数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1　特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1　若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 (　　 )(Ａ) - 1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析　设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2　若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-…     

研究课本习题 培养探究能力

教材中有些习题 ,解答起来十分简单 .教学中若对这些习题深入钻研 ,或给以应用环境 ,或创设变化情境 ,便能设计出对培养学生运算能力及探索研究问题能力十分有益的题组来 .举例如下 :题 1　 (新教材第 11页习题 6 .2第 1题 )求证 :　　 ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .针对这一习题 ,我设计了如下的三个题组 :1　公式的应用例 1　设ａ、ｂ∈Ｒ+ ,ａ +ｂ=1,求证 :(1)ａ2 +ｂ2 ≥ 12 ;(2 )ａ4+ｂ4≥ 18;(3) (ａ +1ａ) 2 +(ｂ+1ｂ) 2 ≥ 2 52 ;(4) (ａ+1ａ2 ) 2 +(ｂ +1ｂ2 ) 2 ≥ 812 .证明　 (1)∵ ａ2 +ｂ22 ≥ ａ +ｂ22 =14 ,∴ａ2 +ｂ2 ≥ 12 .(2…     

平均值不等式证明中的常用技巧

算术—几何平均值不等式 (又称平均值不等式 )是指 :对于ｎ个正数ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,有ａ1 ａ2 … ａｎｎ ≥ ｎａ1ａ2 …ａｎ(等号当且仅当ａ1=ａ2 =… =ａｎ 时成立 )。均值不等式在初等数学教材中是一个重点和难点内容 ,它的广泛应用早被人们重视。现依据本人在平时学习和研究中得到的诸多启发 ,总结出均值不等式在实际解题中的一些常用技巧 ,列述于下 ,供参考。1　巧用常数1·1　常数的巧取例 1　若ａ、ｂ、ｃ为自然数 ,求证ａ(ａａ ｂ ｃ) ·ｂ(ｂａ ｂ ｃ) ·ｃ(ａａ ｂ ｃ) ≥ ａ ｂ ｃ3。证明　 3=1ａ … 1ａａ个 1ｂ ……     

巧用P＋3Q≥R证明三角形不等式

数学素质教育的核心问题是培养学生的数学创新能力 .笔者注意在不等式证明的教学和兴趣小组辅导中引进创新方法 :Ｐ -Ｑ -Ｒ法 ,巧用定理 :Ｐ 3Ｑ≥Ｒ证明一类三角形不等式 ,收到了较好的效果 ,现介绍给读者 .定理　△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ ,并记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,　　　Ｑ =ａｂｃ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 ,则　　　　　Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ .　　证明　考虑到三角形两边之和大于第三边 ,有(ａ -ｂ) 2 (ａ ｂ -ｃ)=ａ3 ｂ3 -ａ2 ｂ -ａｂ2 -ｂ2 ｃ-ｃａ2 2ａｂｃ≥ 0 ,(ｂ-ｃ) 2 (ｂ ｃ -ａ)=ｂ3 ｃ3 -ｂ2…     

均值不等式的几种证题策略

用均值不等式证明一些不等式 ,通常有以下的几种策略 .1　乘 1给不等式的一端乘上 1,再根据题目的特征 ,对1变形 .例 1　 (《数学教学》2 0 0 1(3) ,数学问题 5 38)已知ａ>1,ｂ >1,ｃ>1,且ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =12 ,求证 :1ａ - 1+ 1ｂ - 1+ 1ｃ - 1≥ 3.证　左端 =(1ａ - 1+ 1ｂ - 1+ 1ｃ - 1)· 1=(1ａ- 1+1ｂ- 1+1ｃ- 1) ·(ａ - 1) +(ｂ - 1) +(ｃ - 1)ａ+ｂ +ｃ- 3≥ 33 1ａ - 1· 1ｂ - 1· 1ｃ - 1·33 (ａ - 1) (ｂ- 1) (ｃ - 1)ａ +ｂ+ｃ - 3= 9(ａ+ｂ+ｃ) 2 - 3≥ 93(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) - 3= 93· 12 - 3=3.2　化 1把用于证明的均值不等式…     

不等式P+3Q≥R的本质

近日读了西北师大《数学教学研究》上的一篇文章 (见文 [1]) ,该文研讨了关于三角形三边ａ、ｂ、ｃ的一个不等式Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ ,(1)其中Ｐ = ａ3 =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｒ = ａ2 ｂ=ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 .今将不等式 (1)中的Ｒ改记为Ｆ ,从而不等式(1)改写为Ｐ 3Ｑ ≥Ｆ ,(2 )其中Ｐ = ａ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｆ = ａ2 ｂ .本文将指出 ,不等式 (2 )本质上等价于著名的欧拉不等式 .首先 ,易知不等式 (2 )可以改写为 ａ3 5ａｂｃ≥ (ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ) .(3)　　其次 ,由熟知的恒等式 (其中Ｒ、ｒ分别表示三角…     

有奖解题擂台(58)

题　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1。证明或否定 :(1 ) 1ｂ ｃ2 1ｃ ａ2 1ａ ｂ2 ≥2 74;　　　 (2 ) ａｂ ｃ2 ｂｃ ａ2 ｃａ ｂ2 ≥ 94。(注　第一个解答正确者将获得奖金 3 0元 )有奖解题擂台(58)$湖北省公安县车胤中学@杨先义!434300     

一个不等式证明的十种方法

不等式的证明是高三数学教学中的一个难点 ,如何寻求不等式的证明思路是学生感到困难的问题 .本文通过对一道不等式证明问题的多角度思考来说明不等式证明中的一些常用方法 .题目　己知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ且ａ+ｂ +ｃ=1,求证ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 13思路 1　在己知和求证的两个关系式中如若取ａ=ｂ =ｃ=13 ,便会出现等号成立 .由此可见当且仅当ａ =ｂ=ｃ =13 时不等式取等号 ,于是得到如下证法 .证法 1　ａ2 + (13 ) 2 ≥ 23 ａ ;ｂ2 + (13 ) 2≥ 23 ｂ ,ｃ2 + (13 ) 2 ≥ 23 ｃ所以ａ2 +ｂ2 +ｃ2 + 3 (13 ) 2 ≥ 23 (ａ +ｂ+ｃ)所以ａ2 +ｂ2 +ｃ2 …     

一个三元不等式链的进一步探究

刘永春老师提出了一个有趣的三元不等式链[1 ] :9 ａ ａ2 ≤ ａ≤ ｂ2 +ｂｃ+ｃ23≤ ｂ2 +ｃ22 ≤3 ａ2 ≤ ｂｃａ ≤ 2ａ2ｂ+ｃ≤ ｂ2 +ｃ22ａ ≤ ａ3ｂｃ.(其中ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ , 、 分别表示循环和、循环积 ;下同 )随后 ,陈永毅、张云华两位老师均对此作了有益的探索[2 ] [3] .在此基础上 ,本文将作进一步探究 ,推证出下列不等式链 ,并探寻其解题功能 .定理　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ ,则 ａ3ｂｃ ≥ ｂ2 +ｃ22ａ ≥ (ｂ +ｃ) 24ａ ≥ ｂｃａ ≥3 ａ2 ≥ ｂ2 +ｃ22 ≥ ｂ2 +ｂｃ +ｃ23≥ ａ≥ 3 ｂｃ≥ ｂｃ≥ 33 ａ≥ 9 ａ ａ≥…     

数学解题的方法与策略

在数学教学中 ,通过富有启发性的问题进行教学 ,或是通过解决各种类型的问题进行教学 ,对培养和提高学生的能力与素质是大有裨益的 .而及时总结解题经验 ,掌握一些常用的解题方法 ,对学生可起到启迪与引导的作用 .下面举例说明数学解题的常用方法与策略 ,与同行交流 .1　基本量方法例 1　若正数ａ、ｂ满足ａｂ =ａ ｂ 3,求ａｂ的取值范围 .( 1999年高考题 )分析　视ａｂ为基本量 ,寻求ａｂ所满足的数量关系 .由ａ ｂ≥ 2ａｂ ,得　ａｂ≥ 3 2ａｂ ,即(ａｂ) 2 - 2ａｂ - 2≥ 0 ,解得ａｂ≥ 3,故ａｂ≥ 9.2　类比法例 2　已知关于ｘ的实…     

算术—几何平均值不等式

算术———几何平均值不等式是高中数学解题的重要工具 ,特别是二、三元均值不等式 ,无论是在高考 ,还是在竞赛中都有着广泛的用途 .突破均值不等式的变用、活用以及跨学科应用是本讲需要解决的核心问题 .一、基础知识1 .二元均值不等式及其变形ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａ ｂ≥ 2 ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ ) ,ａｂ≤ ａ ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａｂ≤ ａ2 ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) .2 .三元均值不等式及其变形ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ,ａ ｂ ｃ≥ 3 3ａｂｃ ,ａｂｃ≤ ａ3 ｂ3 ｃ33 ,ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ) .3.ｎ元均…     

看谁解法多

题 1　已知 14(ｂ -ｃ) 2 =(ａ -ｂ) (ｃ -ａ) ,且ａ≠0 ,则 ｂ+ｃａ =.解法 1(配方法 )由已知 ,得 (ｂ -ｃ) 2 - 4(ａ -ｂ) (ｃ-ａ) =0 .配方 ,得 (ｂ +ｃ) 2 - 4ａ(ｂ+ｃ) +4ａ2 =0 .∴　 (ｂ +ｃ- 2ａ) 2 =0 .∴　ｂ +ｃ=2ａ ,即ｂ +ｃａ =2 . (安徽　李庆社提供 )题 2 　在△ＡＢＣ中 ,有一内角为 36° ,过顶点Ａ的直线ＡＤ把这个三角形分成两个等腰三角形 ,试画出满足上述条件的△ＡＢＣ .想一想 ,你能画出几个满足条件的三角形 ?图 1　　解法 1　如图 1所示 .(四川　侯国兴提供 )题 3　甲、乙两种化合物只含Ｘ、Ｙ两种元素 ,甲、乙中…     

发散性思维培养一例

题目 :设ａ、ｂ、ｃ都是整数 ,且ａ ｂ ｃ是偶数 ,则ａ ｂ -ｃ ,ｃ ａ -ｂ ,ｂ ｃ -ａ也都是偶数吗 ?(《希望丛书《数学课外活动辅导》初一分册Ｐ2 )。笔者在教学中发现本题可从多角度思考 ,沿着不同的思维方向展开 ,可以得出多种不同解法 ,有利于培养学生的发散性思维能力。本题是在介绍了奇数与偶数的一引进基本性质基础上给出的 ,学生容易想到用这些基本性质解题(思维的起点 ) ,但究竟怎样解呢 ?怎样充分利用这些性质来达到解题的目的呢 ?笔者启发学生 ,求解问题的过程 ,就是不断地进行分析与综合 ,通过逻辑思维和非逻辑思维的各种方…     

焦点弦长公式的几种形式及其应用

圆锥曲线的焦点弦是解析几何教学的一个重点和难点,也是各类考试的热点问题,解题中有着广泛的应用.但解答这类问题,一般演算繁长且易出差错.为此,本文利用直线的参数方程推导出不同形式的焦点弦长公式,可以在不同的题设条件下使用,简便快捷,学生兴趣盎然,课堂效果好,现说明如下.命题1　ＡＢ是过抛物线ｙ2=2ｐｘ(ｐ>0)或椭圆ｂ2ｘ2 ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>ｂ>0)或双曲线ｂ2ｘ2-ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>0,ｂ>0)的焦点Ｆ的弦,椭圆和双曲线的半焦距为ｃ.若ＡＢ的倾斜角为α,则(1)　|ＡＢ|抛物线=2ｐｓｉｎ2α;(2)　|ＡＢ|椭圆=2ａｂ2ｂ2 ｃ2ｓｉｎ2α;(3)　…     

习题探究性教学的实践与体会

在数学教学中 ,如果能充分发掘习题的发散性、变通性、深刻性、严谨性 ,启迪并引导学生在研究问题的过程中不断变换视角 ,将对培养创新能力大有裨益 .本文根据自己的教学实践 ,谈谈在解题教学中 ,如何引导学生独立探究去培养创新能力的做法和体会 .1　探究题目的结论 ,培养学生创新理念在解题教学中适当引入开放性问题 ,或只给出条件的题目 ,引导学生去认真探究结论 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =6 0° ,你能得出哪些边角关系 ?问题较为简单 ,每位学生都积极投入探讨 ,先是得出较简单的结论 :(1)Ａ +Ｂ =12 0° ,(2 )ａ2 +ｃ2 -ｂ2 =ａｃ ,(3…     

关于三角形角平分线的几个等式

在三角形关系式中 ,关于角平分线的不等式居多 ,如文 [1 ],但往往等式更为可贵 .今以ｔａ、ｈａ、Ｒ、ｒ、ｐ、Δ等分别表示△ＡＢＣ的边ａ所对角的平分线、ａ上的高、外接圆与内切圆半径、半周长和面积 ,用 表示循环和 ,则有定理　 ( 1 ) ｂｃｔａ2 =Ｒｒ 2 ;( 2 ) ｈａｔａ2 =1Ｒ 12ｒ;( 3) 1ａｔａ2 =12Ｒ 14ｒ1Δ ;( 4) ｔｂｔｃａｔａ=4 (Ｒ 2ｒ)Δｒ(ｐ2 2Ｒｒ ｒ2 ) .证明 :记ｒａ,…为△ＡＢＣ的ａ边外旁切圆半径 ,则由ｂ =ｒ(ｃｔｇ Ｃ2 ｃｔｇ Ａ2 ) ,等等 ,得ｂ ｃ =ｐ ｒ·ｐｒａ=(ｒ ｒａ) ｐｒａ.而　ｔａ2 =4ｂ…     

活用函数思想解题

下面,通过一些具体例子说明函数思想在解题中的运用.　　一、比较大小例1　试比较|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|与|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|的大小.解:对于函数ｆ(ｘ)=ｘ1+ｘ=1-11+ｘ,易知当ｘ∈(-1,+∞)时,其为增函数.而0≤|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|,故|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|.注:通常可以利用函数的单调性解决比较大小的问题.二、证明不等式例2　已知实数ａ、ｂ、ｃ∈(0,1),证明:不等式ａ(1-ｂ)+ｂ(1-ｃ)+ｃ(1-ａ)<1总成立.证明:欲证不等式等价于(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1)<0.记ｆ(ａ)=(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1),故欲证原不等式成立,只需证明ａ∈…     

多项式（a1＋a2＋a3＋a…＋am）^n展开式项数之初探

(ａ+ｂ) ｎ二项展开式有 (ｎ+ 1)项 ,(ａ +ｂ+ｃ) ｎ三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出 :[(ａ+ｂ) +ｃ]ｎ =Ｃ0 ｎ(ａ +ｂ) ｎｃ0 +Ｃ1ｎ(ａ +ｂ) ｎ- 1ｃ1+…+Ｃｒｎ(ａ +ｂ) ｎ-ｒｃｒ+… +Ｃｎｎ(ａ +ｂ) 0 ｃｎ,其展开式共有 (ｎ + 1) +ｎ + (ｎ - 1) +… + 2 + 1=(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 项 .那么 (ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｍ) ｎ展开式又有多少项呢 ?观察是思维的入口 ,是解题的第一能力 .从五光十色的交叉干扰信息中 ,能迅速找到自己需要的要点 ,这是观察能力中最基础、最珍贵的直觉思维能力 .观察上式结论 :(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 =Ｃ…