例谈不等关系在等式证明中的应用

我们在证明一些恒等式或者求解某些代数式时 ,如果从正面下手比较困难 ,可以考虑采用不等式的性质来得到等式 .道理很简单 ,即对于两个要求证明相等的量 A与 B,若能证明 A≥ B,又能证明 A≤ B,那么就可以得到 A=B.这是一种从侧面下手的迂回策略 .下面我们通过一些具体的例子来看看这种战术的效果 .例 1　设 sin2 A+ sin2 B=sin3( A+ B)且 0 相似文献   

用不等式证明等式

我们往往习惯于用等式来证明不等式，而忽视了不等式在证明等式中的“反作用”．其实对于许多等式，包括用常规方法难以证明的竞赛题，倘若恰当地选择以不等式作为证题手段，便可出奇制胜．同时，通过这种证法，还可使我们进一步明确“等”与“不等”的辩证关系，深化对数学问题的理解．本文举例说明用不等式证明等式的三种常见思路．一、证明不等式A≥B与A≤B同时成立，得A=B.n(a β),求证(第十七届全苏中学生奥林匹克赛题）α-β可构成某△ABC的三个内角,由正弦定由余弦定理得cos(-综上两方面结果，必有例2已知实数x、y、z同时满足条…     

构建概率模型证明等式

在数学等式证明中，人们很少把等式中的数字或符号形象化、具体化，给等式建立起一个形象，直观的数学模型。而许多等式运用常规方法也难以证明或根本不能证明。更说不上给等式建立起数学模型。本从构建数学模型的基本思想出发，对某些特殊类型的等式通过构建概率模型，给出它们的一种概率证法。     

利用不等式证明等式

众所周知；a=5的一个充要条件是a≥b且a≤b.利用这一事实证明有关恒等式，思路别致，独树一帜．下面举例说明．例1（1983年合肥市数学竞赛题）在是直角三角形证将已知等式变形，得由(2)知，A、B均为锐角，于是综合(2)、(3)，命题获证．例2已知a、β、γ为锐角.且cosa=证由对称性，不妨设将题设代入(2)，得比较(1)、(3),得由β=γ及题设命题获证．例3已知证由已知不等式，得两式相乘，得例4在矩形ABCD中，BC=2AB，E为AD上一点，且∠DCE=15°，求证：BC=BE.证如图1结合假设假设BE≤BC，则上述推理过程中不等号均反向，导出BC≤BE…     

怎样证明条件等式

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z     

行列式与等式证明

行列式是一个重要的数学工具,在众多的科学技术领域内有十分广泛的应用.本文介绍行列式在等式证明中的若干应用.     

概率模型在组合等式证明中的应用

数学中某些组合等式用确定的数学方法证明是比较困难的,利用建立概率模型的方法,根据概率论的相关性质来证明等式,使很多等式的证明赋予现实意义,更容易掌握.     

用计算机证明逻辑等式

本文阐述如何用计算机实现“全代入法”证明逻辑等式,并给出用BASIC语言编写的程序,代入的数据由机器自动产生,对任给的两个逻辑式自动作出它们是否相等的结论。     

组合等式证明问题杂谈

关于组合等式的证明问题,在初等数学的范畴中,是一个较为复杂的问题。它不仅与代数中的排列、组合及二项展开式等问题有密切的联系,而且在另一角度上说,又与函数、分析及概率等知识相关联,这就造成了问题可解的多样性与复杂性。     

条件等式证明例析

从一个或几个等式(已知条件)推出另一个或几个等式(结论),这欲证的等式就是条件等式．其证明的关键在于发掘已知条件与欲证结论间的联系,手段之一便是将已知或结论变形．     

应用公式证明逻辑等式的一些技巧

部编高中数学第三册第六章《数的进位制和逻辑代数简介》讲述了逻辑运算的十二条基本性质,也称为逻辑运算的常用公式。应用常用公式证明两个逻辑式相等或化简逻辑式,这是最基本的方法。经验表明,采用这种方法不仅要求学生熟悉公式,而且还必须掌握一定的运算技巧。因此,在教学中有目的地选择一些例题,剖析思路,总结规律,以提高证题能力,熟练运算技巧是十分必要的。本文对此作些初步探讨。     

巧用三角命题证明代数等式

在三角中有这样一个命题,若α β γ=kπ,k∈Z,则tgα tgβ tgγ=tgαtgβtgγ。现利用这一命题证明一个代数等式。 题 求证:(a-b)/(1 ab) (b-c)/(1 bc) (c-a)/(1 ca)=(a-b)/(1 ab)·(b-c)/(1 bc)·(c-a)/(1 ca)(a、b、c∈R) ①。     

概率思想在证明等式或不等式中的应用

概率思想方法不仅可解决数学中的概率问题,还广泛应用于其他数学问题.本文主要介绍几种利用概率思想证明等式或不等式的情形,从中可以发现有些问题利用分析方法难以解决,而利用概率论的方法解决却很简便.     

一个等式的证明及推广

在教学的过程中,教师应引导学生探究学习,促使学生充分发挥潜能,让学生感受知识的生成和发展过程．在感悟中掌握数学知识．本文以课本上的一道习题为例,展示探究和再创造的过程．     

用托勒密定理证明三角等式

本文介绍一种证明三角等式的新方法，即借助三角形的外接圆把三角等式中的三角函数转换为线段比，再运用托勒密定理证明．     

条件等式证明的基本方法

条件等式的证明在中学数学习题中占有较重要的地位。不少学生因没有掌握基本方法而感到解题困难。因此,教学中应注意向学生介绍证明条件等式的基本方法和思路。以下仅就一例,说明证明条件等式的四种基本方法。 例:已知sinβ=m sin(2α+β) 求证:tg(α+β)=(1+m)/(1-m) tgα [方法一]代入法。 变换已知等式,代入求证等式的一端,导出另一端,使条件等式的证明变为恒等式的证明,称为代入法。 [分析]要想证明tg (α+β)=(1+m)/(1-m)tgα成立,只要证明     

数学归纳法证明等式不等式浅析

数学归纳法是中学数学的重要内容。在教学过程中,我们发现学生用数学归纳法证题感到困难的就是第二步的论证。下面就这个问题作一肤浅的分析和归纳。     

利用均值不等式证明等式问题

众所周知,均值不等式是处理不等式问题的有力工具,但是,有些等式证明问题用均值不等式反而简单,请看以下例子．     

利用Jensen不等式证明不等式

不等式的证明,已经成为数学竞赛的热点内容之一．很多文章都阐述了证明不等式的方法,且那些方法都非常巧妙,但笔者另辟蹊径,利用Jensen不等式来证明不等式．