活用知识多角度解题

中学数学教材知识的编排是按章节分类的 ,知识点之间缺乏相互联系 .活用所学知识 ,把章节之间的知识相互渗透 ,多角度解答数学问题 ,是学好初中数学的关键 .1　利用三角形面积证明几何题例 :求证等腰三角形底边上任一点与两腰的距离的和等于腰上的高 .已知 :如图 1△ABC中 ,AB =AC ,DE⊥AB ,DF⊥BC ,CG⊥AB .求证 :DE +DF =CG图 1分析 :连结AD ,易知S△ABD =12 AB·DE ,S△ADC =12 AC·DF ,S△ABC=12 AB·CG ,AB·DE +AC·DF =AB·CG ,而AB =AC ,故DE +DF =CG .2　利用辅助圆解答几何题例 :如图 2等腰△ABC…     

等腰三角形中的一个“定值”

定理:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和,等于其腰上的高.定理的证明可转化为下列问题:如图1,已知在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的任意一点,DE⊥AB于E点,DF⊥DC于F点,BG是腰AC的高.求证:BG=DE+DF.     

一道中考题的由来及解法

题目 已知如下左图,矩形ABCD中,AB=5,AD=20,点M分BC为BM:MC=1:2,DE垂直于AM,E为垂足。求DE的长。 (1993,天津市中考试题) 此题是由《平面几何》第二册P52第8题“已知矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E是垂足(如上右图)。求证:DE=2ab/(4a~2+b~2)~(1/2)”经特殊化、改变条件、推     

不作辅助线，用锐角三角函数证明更方便

例 （2004年云南）如图4,已知△ABC中,AB=AC,D为BC上任一点,且DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,垂足分别为E、F、G．求证：DE＋DF=CG．     

借题发挥——由一道习题引发的探究

<正>本文介绍由一道例题引发的一节探究活动课.这节课的课堂教学收到了较好的效果,在此与读者分享.题目已知:如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:DE=DF.     

面积法在几何证题中的应用

面积法是最古老、最引人入胜的方法之一 ,它具有直观性、通用性和简洁性。其基本方法是 :首先根据几何的量与有关的图形的内在联系 ,用相应的面积公式表示有关的几何量 ,从而把几何量之间的关系转变成为面积之间的代数关系 ,然后经过面积割补原理或代数运算给出命题的证明。例 1　已知 :如图 ,在△ABC中 ,AB =AC ,D是BC上的任意一点 ,DE⊥AB于E ,DF⊥AC于F ,BH⊥AC于H 求证 :DE +DF =BH 分析 :此题用一般的方法去证明 ,第一思维困难 ,第二涉及的知识较多 ,过程复杂 (要作辅助线 ,还要证明全等三角形 )。但是用面积法则比较简单…     

巧用三角函数证几何题

学习了《解直三角形》一章之后,我们还可以用三角函数知识证明一些几何题。 例1 如图1.在△ABC中,AB=AC,D为BC边上任意一点,DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,垂足分别为E、F、G。求证:DE+DF=CG。 证明 ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=α。     

从一个假命题说起

1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD.     

利用线段的拆分与合并解几何题

正在几何证明题中,有一类问题是要证明线段的和、差、倍、分关系,如何构造线段的和、差、倍、分,便成为解决此类问题的关键.这里通过两例,进行分析.例1如图1,在ΔABC中,AB=AC,点D为BC边上一点,过点D作DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E,过点C作CG⊥AB于点G.求证:DF+DE=CG.A C G F E BD图1%分析一要证明DF+DE=CG,就是要     

梯形面积公式的多种推导方法

梯形面积公式的推导是以三角形和平行四边形的面积公式为基础的．因此，要推导出梯形的面积公式，就要把求梯形的面积转化为求三角形或平行四边形的面积．在此，转化的方法有多种．现把推导梯形面积公式的几种方法介绍如下，供参考．已知：在梯形ABCD中，AD‖BC，设AD＝a，BC＝b，底边上的高为h．求证：证一如图1，连结AC，作AE⊥BC，E为证二如图2，作AE⊥BC，E为垂足，作AF∥CD交BC于F，则AFCD是平行四边形．证三如图3，作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足，则易知AEFD是矩形，AE＝DF＝h，证四如图4，作DE⊥BC，E为垂足…     

转化是学好四边形的关键

一、将四边形问题转化为平行四边形问题例 1.已知 :四边形 ABCD中 ,AB=DC,AC=BD,且 AD≠BC。求证 :四边形 ABCD是等腰梯形。分析 :欲证此四边形为等腰梯形 ,可由定义来证明。从已知条件可看出 ,只要证明AD∥ BC即可。由此联想到构造平行四边形即可证得。证明 :过点 D作 DE∥ A B交BC于点 E,则∠ ABC=∠ DEC。∵ AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ ABC≌△ DCB。∴∠ ABC=∠ DCB,∠ DEC=∠ DCB。∴ AB=DC=DE,∵ AB∥ DE,∴四边形 ABED是平行四边形 ,∴ AD∥ BC。又∵ AD≠ BC,∴四边形 ABCD是等腰梯形。二、将四…     

从游戏中得到的解题方法

在八年级数学寒假作业里有这样一道几何题:如图1,在△ABC中,AB=AC,D在AC上,DE⊥BC于E,F在AB的延长线上,且BF=CD,DF交BC于点G.求证:EG=CE+BG.     

一题多证,妙在割补

题已知梯形ABCD中,AD//BC,DE=EC,EF⊥AB于F,如图1,求证:S_(梯形ABCD)=AB·EF.一、将图形割补成平行四边形. 简证1 如图2,过E作GH//BA,交BC于H,     

巧用勾股定理解竞赛题

直角三角形的直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2,这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活巧用它,可使几何问题的解决变得简捷.例1如图1,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为()A.8B.5C.3D.&!34(2004年湖北省初中数学竞赛试题)解:依题意,AB=DB,BC=BE.∵BE=3,CD=8,∴BC=3,DB=5,AB=5,∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2∴AC=!AB2+BC2&=&!34.例2如图2,AC=10,BC=17,CD⊥AB于点D,CD=8,求△ABC的面积.(2002年北京市初二数学竞赛试题)解:在△ABC中,∵CD…     

构造平行四边形解题

平行四边形是一种特殊的四边形,它具有很多独特的性质.在解答一些与线段有关的证明问题时,从构造平行四边形入手,常可化难为易.例1　如图1,△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,BE=CF,EF交BC于D.试说明DE=DF.　解　过E作EG∥AC交BC于G,连结CE,FG,则∠EGB=图1∠ACB.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=∠EGB,所以EG=BE.　因为BE=CF,所以EG=CF.又EG∥CF,所以四边形EGFC为平行四边形.因此DE=DF.例2　如图2,△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点.说明:DE∥BC.图2解　延长DE到F,使FE=DE,连结AF,CF,CD.因为…     

转化——解决梯形问题的基本思路

一、平移腰——将梯形转化为平行四边形和三角形,利用平行四边形和三角形性质来解题。 例1.如图1,梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD+DC=8。 求:AB的长。 解:过D作DF∥BC交AB于F,四边形DFBC是平行四边形,∴∠1=∠B。     

鉴赏中考试卷中的改编题

素材如图1,D是△ABC中AB边上的中点,△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形,连结DE、DF．求证：DE=DF．DE⊥DF．     

值得一练的两道考查逻辑思维的几何证明题

一、试题1.试题1已知:如图1,四边形ABCD中,CB⊥BA于B,DA⊥BA于A,BC=2AD,DE⊥CD交AB于E,连接CE,求证:DE~2=AE·CE证明延长BA、CD相交于点F∵CB⊥BA,DA⊥BA(已知)∴DA//CB(同垂直于一条直线的二直线平行)在Rt△DAF与Rt△CBF中,∠CFB=∠DFA(公共角)∴ADAF~ACBF又∴DA=1/2CB(已知)∴CD=DF又∵ED⊥CF(已知)     

例谈几何变式训练

重视双基教学是我国数学教学的优良传统,通过变式训练发展双基,提高学生的能力是数学教学中行之有效的方法.掌握一些编写变式训练题的常用方法,对于提高课堂教学效益,培养学生的解题能力是非常必要的.1变式训练的方法图1例题已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE=CF,D是AB的中点.求证:(1)DE=DF;(2)DE⊥DF.1.1变为逆命题将原命题的题设和结论(或部分题设和结论)置换,研究原命题的逆命题或偏逆命题是研究数学命题的常用方法.变式1已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中点,DE⊥DF.求证:(1)DE=DF;(2)AE=CF.变式…     

浅析一道有三个中点的中考题

2005年中考大幕已落,凸显新的课程标准的试题也比比皆是,聊城市的这道以平行四边形为载体,内有三个中点的试题,不失为一道重点考查的好题.题目已知:ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD、AB的中点.求证:(1)BE⊥AC;(2)EG=EF.图1分析(1)由平行四边形的对边相等,对角线互相平分,可以得出BC=AD、BO=OD,又已知BD=2AD,易得BC=BO,又因为点E是OC中点,根据等腰三角形的三线合一,BE⊥AC;(2)利用(1)中的结论,由G为AB的中点,可得到EG=21AB,再由E、F分别是OC、OD的中点,由三角形的中位线性质易得:EF=12…