分类取舍法:求指定自变量范围内的二次函数的最值

<正>当二次函数中的自变量x的取值范围为全体实数中的"某一段"时,欲求x在这段范围内的函数的最值,需看x的这段范围是分布在对称轴的左侧、右侧还是对称轴的两侧,应视情况而定:当x的这段范围分布在对称轴的两侧时,函数最值就是二次函数的最值,当x的这段范围分布在对称轴的左侧或右侧时,要根据对称轴两侧二次函数的增减性来确定最值,常常在"端点"处的纵坐标值就是此段范围内的函数的最大值或最小值.     

如何求解二次函数最值不在顶点处的问题

<正>有一类二次函数的最值问题,它的自变量x的取值范围为全体实数中的"某一段",欲解x的这段范围内的函数最值问题,应视情况而定:当x的"某一段"范围分布在对称轴的两侧时,函数最值就是二次函数的最值;当x的"某一段"范围分布在对称轴的左侧或右侧时,要根据对称轴两侧二次函数的增减性来确定最值,常常在"端点"处的纵坐标值就是此段范围内的函数的最大值或最小值.例1(2014年舟山中考题)当-2≤x≤     

几何变量最值问题的特殊情况

求几何变量的最值时,我们不但要用函数式把它表示出来,还要确定自变量的取值范围． 如果所得的函数是二次函数,并且顶点在自变量的取值范围内,那么最值就是抛物线的顶点的纵坐标．但是,问题未必如此简单,往往还要研究以下三种特殊情况：     

初中数学竞赛中的二次函数相关问题(下)

5 应用二次函数的最值性质解决实际问题。二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）,当a＞0（a＜0）且x=-b/2a时,y有最小（大）值4ac-b2/4a.有些实际背景的应用性问题,自变量取值范围受到一定限制时,由二次函数图像的单调性和连续性,最值不外乎在顶点或区间的端点处达到.解这类题,首先要建立二次函数模型,求出函数的解析式及实际问题中的自变量的取值范围,然后由上面给出的性质求得最值.     

二次函数的最值都在抛物线顶点上吗

我们知道二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0).当x=h时,有最大(小)值y=k,其实这是指二次函数的自变量的取值范围是全体实数.在一些实际问题中,自变量的取值范围往往不是全体实数,它的最值也不一定都在顶点位置,现举几例,供同学们学习时参考.     

例谈不在顶点处的最值

二次函数的最值,受到自变量取值范围的限制,最大值不在顶点处取得,却在自变量取值范围的端点处或自变量取值范围内离顶点最近的两点处。     

二次函数在某区间上的最值

二次函数是中学数学中的一种重要函数,也是历年来高考出题的热点内容之一.当自变量没有限制条件时,二次函数的最值在顶点处取到,但当自变量在某个区间上取值时,其最值就不一定在顶点处取到了.这时,我们应根据函数的对称轴     

二次函数最大值不一定在顶点处

<正>二次函数的最值,常常在顶点处取得.但在某些实际问题中,由于受到自变量取值范围的影响,最大值却不在顶点处取得,这时如何求最大值呢?以下撷取几例予以说明.一、最值在自变量取值范围的端点处例1如图1,将边长为4的正方形ABCD截去一个角后成为五边形ABCFE,其中DE=1,DF=2.点P是线段EF上的一个动点,过点P作PG⊥AB,PH⊥BC,垂足分别为G、H.设PG=x,四边形BHPG的面积y,求y关于x的     

打实二次函数基础

一般地,我们把形如y=ax2+ bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.x为自变量,y为因变量.等号右边自变量的最高次数是2.二次函数图像是轴对称图形.对称轴为直线x=-b/2a·对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P.特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0).a,b同号,对称轴在y轴左侧.a,b异号,对称轴在y轴右侧.     

解不等式(组)的应用(下)

应用四求函数自变量的取值范围用解析式表达的函数,如果要求自变量的取值范围往往要解不等式(组)。例6 求函数y=(7-x)~(1/2)/(x-2)~(1/2)的自变量x取值范围。解∵{7-x≥0, ∴{x≤7, {x-2>0, {x>2。∴自变量x的取值范围是2相似文献   

浅议形如“y=a(x+m)~2+k”的二次函数顶点式

<正>二次函数的内容在九年级的教学中非常重要,其中顶点式的引入又是重中之重.因为引入顶点式后,二次函数的对称轴、顶点坐标以及最值问题便可迎刃而解.在二次函数顶点式的教学中,不同的教材呈现出两种稍有不同的顶点式:y=a(x-h)2+k和y=a(x+m)2     

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c的关系的应用

关于二次函数y=ax2+6x+c(a#0)的图像与系数a、b、c的关系,常用的知识点有如下几点: 1.a决定抛物线的开口方向、形状、大小以及二次函数有无最大(小)值:a>0←→抛物线开口向上←→二次函数有最小值(最小值为顶点的纵坐标);a<0←→抛物线开口向下←→二次函数有最大值(最大值为顶点的纵坐标);|a|越大←→抛物线开口越大;|a|相等←→抛物线形状大小相同.     

采用顶点式确定二次函数解析式

二次函数y =ax2 bx c(a≠0 )的顶点式y =a(x b2a) 2 -Δ4a(Δ=b2 -4ac)较为优越,因为顶点式能够体现出二次函数y =ax2 bx c(a≠0 )图象的特征:( 1 )开口方向(由a确定:a >0 ,开口向上;a<0 ,开口向下) ;( 2 )对称轴方程(x b2a=0 ) ;( 3 )顶点位置,即最高点或最低点的位置(点的横坐标x =-b2a,点的纵坐标y =-Δ4a) .由顶点式也能确定出二次函数y =ax2 bx c(a≠0 )的最值(当a >0时有最小值y =-Δ4a;当a <0时有最大值y =-Δ4a) .如果已知二次函数的对称轴,或顶点位置,或最值,采用顶点式y =a(x h) 2 k确定二次函数的解析式较简捷.( 1 )…     

浅析确定二次函数最值易产生的“盲区”

利用二次函数的性质,确定二次函数的最大（小）值是中考命题的热点之一。但在求二次函数最值时,不少同学因忽视了白变量的取值范围或对对称轴是否在自变量的取值范围内以及对最值所产生的影响认识不到位,而出现了求最值的“肓区”。下面就此问题作简单的探讨,供读者参考。     

一堂函数课的教学设计

任何一种教学设计 ,都可以概括为回答三个问题 :( 1 )教什么和学什么 ;( 2 )如何教和如何学 ;( 3)教得怎样和学得怎样 .其实质就是准备过程、教学过程和评价过程 .下面拟就这三个过程谈谈“有约束条件的二次函数的最值”这节课的教学设计 ,并说明几何画板在其中的重要作用 .1　准备过程问题提出的基础是初中学过的二次函数的最值 ,学生已知道 ,给定一个二次函数 ,如果二次项的系数为正 ,其图象开口向上 ,函数有最小值 ,没有最大值 ;反之 ,函数有最大值 ,没有最小值 ;最值是在抛物线的顶点处取得的 ,学生考虑的自变量取值范围是全体实数 .而…     

二次函数最值不在顶点处的解题方法

二次函数的最值问题按常理说是在顶点处获得的,不过由于题中要求或实际情况中自变量的范围并非全体实数等情况时,有些二次函数不能在顶点处取得最值.此时,对最大值的求解就会变得复杂,因此也是中考数学的难点所在.     

二次函数利润问题的解答

<正>初中数学对于最大利润问题的探究,要先确定解题要领:第一,确定公式．总利润=(售价-成本)×销售量,总利润=售价×销售量-总成本,然后依据公式列出函数关系式;第二,审题．确定自变量x的取值范围;第三,配方二次函数关系式．将一般式转化为顶点式(后面的解法中并没有配方成顶点式,而是用了公式法,通常我们都会配成顶点式),然后结合函数的单调性求自变量取值范围内利润的最大值;第四,函数利润问题．分析自变量x具体代表的量,如果x代表的是价格上涨(下降)的量,在结合顶点式求x最大值后,找准基础量再确定销售单价;第五,填写表格．如表1:     

二次函数顶点坐标的妙用

初中教材对二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图像从开口方向、对称轴和顶点三个方面进行了细致探讨．学习二次函数的关键是抓住顶点坐标（-b/ca,4ac-b^2/4a）．求解抛物线的最高点或最低点、函数的最大值或最小值、抛物线与x轴的位置关系,以及二次函数的实际应用题等全都与顶点有关．本文谈谈二次函数顶点坐标的妙用,供参考．     

函数及其图象测试题

(时间:90分钟满分:100分)一、填空题(每小题3分,共30分)1.若点P(x,y)的坐标满足(x+1)2+y-3√=0,则点P关于原点的对称点P'的坐标是.2.函数y=x-1√2-x√中的x的取值范围是.3.若y-3与x成正比例,当x=2时,y=7,则y与x之间的函数关系式是.4.若y=(m2+m)xm-2m-1是二次函数,则m=.5.抛物线y=-2x2+8x-6的开口方向是,顶点的坐标是.6.若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m,8),则a+b=.7.若抛物线y=x2+ax-3的对称轴是y轴,则a=.8.设反比例函数y=-3x中x的取值范围是1≤x≤3,则变量y的最大值是.9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,22则一次函数y=-acx+b的…     

你会用"Δ"求"a"吗?

在二次函数中 ,若已知抛物线顶点坐标和图像与x轴两交点间的距离 ,可利用“Δ”的整体性来求二次项系数“a”的值。现以一例示之 ,供参考。题　已知二次函数顶点坐标是 ( 2 ,8) ,对称轴平行于 y轴 ,它的图像与x轴两交点间的距离是 8,求此函数的解析式。分析　解题的常规思路是利用对称轴的对称性 ,先求出图像与x轴的两个交点的坐标 ( -2 ,0 )、( 6,0 ) ,再用 y =a(x -6) (x+2 )或 y=a(x -2 ) 2 +8求a的值即可。在解题的过程中 ,我发现了抛物线顶点的纵坐标4ac-b24a ,与图像与x轴两交点间的距离 b2 -4ac|a|之间有一定的联系 ,它们都含有“b2 …