利用坐标变换推导点到直线的距离公式

设直线l的方程:Ax+By+C=。,(A举。刀祷0)点尸的坐标为尸(x。,夕。). 若设I与,轴交于点M,由直线l的方程可知M点坐标为M(0,一C/B).把坐标原点平到直线l的距离就是点尸在新坐标系x,,M丫下纵坐标的绝对值,由坐标旋转公式得:x护=一x,eosa+夕,sina犷:一x,si移到M点,则有:.y0’’二一x0’na一g,eosa。5 ina一夕。,eosa=一xosina丁‘”“t万二万,一(C/B)(I)一(,。+号)·。5·一。Sa(X。tg·+;。+落一). 把(I)代入直线的方程,得直线l庄祈坐标系下的方程:」X,+刀!l’ 0.二tg(1 80。一a)= B2AZ+1〕‘. 月二A一百,。一tga二一万,co“一a=把点…     

1998年日本数学高考题

在60分钟内解答问题1和2,从问题3、4、5、6问题中任选2个解答之. 问题1(必做)国已知正常数。,考虑方程 5·2一工 2x 3二2a,令艺=2忿,那么方程变为:O,改写成:(亡一自)2十’一画‘回一护t 画回_ 8二0(*)线‘也相切,切点坐标是尸(囚,应习),c,的方程是夕一昌(二1)2· 抛物线仇:夕=爪x一的“经过尸点且在尸的切线与直线l垂直,此时姚在尸点的切线的斜率是粤,且,一告豁,。一回 阴”一回’一画酬一区亚尸. (z)设51是由cl、二轴及直线二一囚︸倡应。围成的区域的面积,52是由姚 因此个解; 若a解,若。>回徊,那么方程问有两一回厘,那么方程(*)只有一个…     

一类对称方程的图形及面积

以下几例比较简单,1 .1 xl l夕l=a(a>0)直接给出结果. 对于方程①,令x一1=即平移坐标轴到O尸(1,1).得新方程:召一i=y,,O/夕/系下(图1),所围成区域的面积为2a2。}x,卜1犷}=2(x‘乡一1,夕‘少一1).②与一x‘代夕/与x‘方程不J冬JI 2.}x一力卜{歹一kl=a,(a>0) (图2)所围成区域的面     

应用直线的参数方程解题

X份︺rjl 经过点P,(x。,刀。)倾斜角为a的直线的参数方程的标准式是中t的系敬了x“x。+tco”aly二刀。十1 5 1 na(,为参数) 3。把一般式同除以了。‘十b’得 r‘“‘。十、·劝2O+bZ这里,t的系数一乎方和等于1,即 5 1 nZ‘,十e()s‘“1 但一般常是这样给出: 方、‘o了斗b,(为参数) 小 O y 一一 夕.,If、{X=xo+alg“y。+I)l(z为参数)(A)一+..皿,曰Jr...J、侣!、当t的系数a’+I)’二1时,才是直线参数方程的标准形式,只有标准式,,才有几何意义:直线上定点尸.,到动点尸的有向线段尸。尸的数录尸‘、P二f. 若动点尸在定点尸r,的上方,则t>o;…     

双曲线的一种参数方程

定理设尸(x,夕)为双曲线述生_卫a名b名二l上任一点,过尸点的切线的倾角为协,则工·=)。二o:记。2一b“ets“功 b艺etg功一tg含<,<一‘。(一号)(I)亿砂二石肠丽项.’是双曲线左支参数方程;X二 a2亿了二石玄币百万二’夕=b Zetg必一二苦<,<一二(一号)(I)认。2一b’ctgZ矿’z!,|少、lse、是双曲线右支参数方程.证明对双曲线答一答=1上一切非顶点P(二,,),设过尸点的切线为,二、+、 UU由}宁厂竺+生、O一劣-一a一沙一二a一O-得 (bZ一a Zk“)xZ一Zk用aZ劣一aZ(阴2+b“)=0由于切点是切线和双曲线的唯一公共点,故得△二(一2吞maZ)“一4(b:一a…     

数学练习题(十四)解答

润.设a与夕为尸一8x+1一。的二根,习之初;a“十声‘(儿为自然数)为一不能被7整除的整数. 证由根与系数白;关系知:a十刀一8,a·夕~1.当:二二1,2,3时,a+口一sa卫+夕“一(。一考一夕)“一Za·刀一64一2二62 。乙+‘月一‘己,尽,3一3·“,岁·(a十尽)一8:一犷_一逃88,命题显然成立.没当:<左时命题成立,则当九二k时十尸一2)二8(a七一‘十少“‘)一(a“一2+刀‘“2)…a充+夕‘=(a+夕)(a“一‘+夕是一‘)一a月(a‘一’+①以介一1易k有:护一’+尸一’一创砂一“十歹‘一“)一(砂一3十尸““)…②以②代入价担:、乏一L尸一63(a‘一2十尸““)一8(a走…     

一组解析几何试题(1982年日本高考题选译)

①②一、昭和医科大学题题设有二曲线,~护(1)(2) 红二尸一Zx+3求①和②的公切线在①上取一点P,在②上取一点口,p和p‘的夕坐标设为yl、一y,,作出直线AP和A’P‘的方程,可以求其交点.利用点(x,,万,)在椭圆上,消去x,、刀,即可. 解答平行于y轴的直线为x~x、,P、p’的坐标一没为②③线段pQ的中点设为R。图示点R所在的区域.解(功所求公切线设为y一ax+乙,对于①、②有 xZ一刀x一乙一O,xZ一(2+。)x+3一b一0。的判别式各为0, 即a“斗4b一0, (2+a)“一4(3一b)一0 解之a~2,b一一1. 答:歹~Zx一1. (2)设P(a,aZ)、Q(口,夕2一2口+3),中点R的坐标(X…     

一九八六年广州市初中会考 数学试题

,、墉空(共30分,每小题2分)1.点p(一3,5)关于原点的对称点是_2。方程4x,一3x=0的解为____、____.。8 .2弋=去写成对数式为_.拼的 值为____._。4.西数夕=一4亿玄二瓜中,自变量x的 取值范围是_5.方程3尸十Px十5二0的一根为5,则 另一很为_--一,p二-6.已知变量夕与x成反比例,井且当丫二1 时,夕二一王1,则夕与x之间的函数关 系式为_______.7。已知角a的顶点在坐标系的原点、始边 与x轴的正半轴重合,且终边经过点p (一1,3),则、i,:a二a.已知e。564“二0.逃35理,则。05216“的值 为9。在△ABC中,乙滋、乙B的对边分别为 a、乙,且a二9,b=6,5 inA=…     

错在哪里

一、江苏江阴市一中李亮尧来稿题:过点B(0,一的作椭圆=1(a>b>O)的弦,求这些弦的最大值。解:设M(万,扩是椭圆上任一点,则{BMI“=护·、(,月一幻“ =尸傀一犷斗劝y一卜护由多十豁二,,知X艺二豁‘、一y·,, 二、江苏南通市十三中学黄尔慈来稿 题:若实系数方程护卜.l)x 叮二0的两根为l)、q,试求夕、叮之值。 解:夕、q为方程护十Px十q二O的两根,则P、了分别满足方程, 犷夕2 了,2 口=0 轰口‘十夕q g“O 解此方程组得:(解方程组的过程略)p二一衡.Jp二1g=一仓’tq二一2 .2nUn甘一一一一入尸q‘.矛、.,代入上式,得}BM!2二(1一a,/bZ)夕2 Zb夕 …     

高中解析几何能力训练

一、选择题(l)已知定点A(一l,2)、B(2,一3),P(x刁)是直②椭圆的准线方程是x一士a 1了a一2线,。上一{一1 Zx③椭圆的离心率是腐一3一2 Zy 3那么尸分有向线段BA所成的定比等于()(A,2(B,一2‘C,合(D,一合(2)PI(x;,少,)、PZ(x:,夕2)是倾斜角为8叨笋o,0笋粤)的直线上的两个点,设d一}Pl尸2},则乙(A)d-(B)d~(C)d=}xl十x:} leos夕llxl一x:} l:in夕l(D)d=}yl y:} Icos夕I!yl一y:} }sin夕l (3)直线x十yco刃一1一。(0任R)的倾斜角a的取值范围是()‘A,‘奇,音!)(C’(于,晋,U‘晋,譬‘B,〔令,寻;r〕(D,仁合,二,交) 〔4)圆xZ 少一4x 6y一。和…     

一次分式函数迭代循环的充要条件

设f:M~M.记f,(二)一f(二),fZ(二)~f(f(二)),…,人(二)一f(人、(l’)).若存在最小的整数,:>1,使得人(,)二r,则称f(x)为n阶循环函数. 方程。了+(d一a)二一b一O称为f(二)一a了十b‘一了+d(a,b,:,d任C,t’半O)的特征方程,a,尸为根,△~(d一a)2+4b。为判别式,记k-a—faa一,’月‘则有引理设f(x)~a工+b‘J十d(c半O,ad一be铸0).若△一O,则 (a十d)(x一a)人(二)一a+不决竺匕等一=千学.J·、-·一’2,。c(x一a)+a+d‘若△界O,则 (月k’一a)x一(k,一l)a月j.‘工夕一一.几下石一-万又一一下一万一-…不二下一一 戈尺一1夕了州卜尸一a况得证如存在g(x…     

1989年上海市高一、高二数学竞赛试题

高 2.分解因式:(x夕 1)(x 1)(刀 i)十x寿毛~——一 2。P是圆O的直径AB的延长线土_一点,PC是圆O的切线.C为切点,若尸B=勺PC二a十西,则tgA二_____________. 3。边长为a的正方形中一点P,若△PBC为正三角形,则△PBD的面积是_. J。。,b为正实数夕方程x“十。x十Zb二O和x“十2乙x十a=0都有实相,则a 否的最小值是__.的木原毕达哥拉斯三角形,因而认为是同一个本原毕达哥拉斯三角形). 以巧为一边的本原毕达哥拉斯三角形有 _个. 11.设:为自然数,若31。(它表示:能被3整除),且i引(n”一,,),则:除以1弓的所有可能的余数:(0〔:<15)是_. 12.甲夕乙…     

错在哪里?

一、福建厦门市同安第二中学王东南来稿 题:已知抛物线夕2二4x,抛物线上求一点,使它与直线x十夕二5的距离最短。 解先求与己知直线x g二5平行的切线方程。设它为,==一x十b,代入抛物线方程扩二4x,得x“一(Zb 4)x b“=0 令△=(Zb 4)“一连bZ=。,得b=一, .’.切线方程为万=一x一l。 再求切点坐标。由 解答错了!错在哪里? 解这类问题,首先要判断抛物线和直线的位置关系。只有当它们在相离的情况下,上述解答才是正确的。如果相切或相交,则切点或交点即是所求点,它与直线的距离为零。不““一劣一1【g:二4x可得{x二1夕二~2事实上,由{尹二4x劣 夕…     

上海市一九八二年初三数学竞赛题

一、选择题(选对4分,不选1分,选错0分。) 1.若s二(一+2一壳)(1+2一击)(l+2一十)(1+2一令)(1+2一专)那么s等于(B)(z一2一矗)一:, 3.矩形ABCD内尸到尸A、尸B、尸C的长分别为3、4、5,尸D的长为 4.左下图左图凸四边形有_个。 5.已知Rt△斜边AB=c,匕A~a,内接正方形边长为_1一犷(A)音(卜2一六)一(e)z一2一六,(n)合(卜2一六,‘“,(+l,C月的 2.若!x一109柑I=,+109。g其中二和109。g是实数,那么(A)x=0,(B)夕二1,(C)x=0,且v~一,(D)x(夕一z)~0(E)这些都不对。 3.ctg67’30‘的值是 (A)心万一l,(B)2一洲,万, (C)以万/4一1,(D)l/2,(E)2/5 4.正…     

从一道常见习题到(95)高考压轴题

例题 有一椭圆,其方程为子十子一1,从坐标原点。引两条射线,交椭圆于尸、Q两点,若O尸一OQ,请证明:券+命一定值 已知椭圆共+兴一,,直线,:共十誉一:,尸是, 一z’一‘,”~24’16一’一~一’12’8‘’一~“上一点,射线口尸交椭圆于点R,又点Q在口尸上,且满足IOQI·}O尸{一!OR 12,当点尸在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线? 分析与解:设O尸与x轴夹角为口.丫P点在l上..1口P}co万夕.}口尸}51刀夕..~-弋~二-es十—一1 1乙乙!O尸{~ 24Zeos夕十3sin夕 分析与证明:为了使求证的目的与方向更加明晰,我们可通过尸、Q所取特殊点将此…     

用待定系数法巧解一类最值问题

本文是利用待定系数法解决一类用一般方法难以解决的最值问题. 例IP为△ABC内一点,D、E、F分别是P到三角形各边所引垂线的垂足,求使黑十黑十器为最/Jnd的点尸·(第尸D’尸刀’尸Fr/,形,J’以。;,八二.22届国际数学竞赛题) 解:如图,由面积关系易得BC·PD十C理·尸E十AB·尸尸=封义召为△ABC的面积)。。生_口p一。 13设存在正常数兑,使:乙二Za,则x’ 万3 18a’妻艺a’(x 连万).BCBC·尸刀夕2召丁刀C,即x 4刀(1 18a3 aZ,此式当且仅当x二a,万二b时等于成立,由尸 犷二1得。’一门j一厂一3 几·PE)2犷丁C月,·PF)2创丽一AB,门几八…     

关于asinx+bcosx=c的若干应用

高中代数(甲种本)第二册31页给出了!eo,(B一中)!形如cls汪x十乙cosx二‘的三角方程的解法,训eosZ(8+甲)+sin’(夕+ !c!=护乎不矛,’引入辅助角乡, a.。斌夕COSU=一万一育一甲甲丫一5111口= 犷a一卜口“-eos’(8一中)=了不今‘· b、/夕’十b“,将左边化积为了a’+乙’sin(、+口),两边同除以了a’+b’得s三n扛+8)- C丫护落.宁’原方程有解的充要条件是!下r笋币}、1.。、一二。二一”‘~一‘、,,~}、/护+bz}一’ 下面指出该方程的一些应用‘ 一、视sizix,eosx为万,夕,ax+b夕=c(}刘簇1,{引(D作为二元一次方程,用于证明有关三角条许等式. 例…     

巧解方程组

题目:试求方程组司x y z~3x忍 二‘ z:~3 z‘二3①②的所有实③口白目,yy数解.(第二届美国数学奥林匹克试题) 解:①的两边同时乘以2,减去②的两边同时加上3,得 分一2x 1 夕一如 l 二:一2z i”o (x一i). (夕一i). (二一1)2二o .’.(x一1广,0,(夕一1).,0,(念一l)2二0 .’.z,1,y~l,忿~l·{:介沁-一解·一也卿··原方程··!一心巧解方程组@丁学明$重庆市云阳县普安小学!634500~~     

用复数法解一类轨迹问题

如图:设石二r:(eoss:+isins,)z:二1:(eoss:+i·5 1 no:)在复平面XOY内所对应的向量分别。乙八 几一一户一.~气,是OP:、0P2,把向量OP:按逆时针方向旋转一个角度02(若e:按逆时针方向绕M旋转粤就得到向量补.’~一’一’r’‘”刁,.一’、2’~”一‘’‘二~ 根据复数乘法:向量M尸所对应的复数为a(eos口一isins)i=a(ieoss+sin6)又因为OP=OM十MP,所以向量O尸所对应的复数为:x+夕s=二(eos口+isino)+a(ieos口+5 in口)二a(eos夕+sins)+a(eoso+sin口)i由复数相等的定义得:<0,就把O尸,按顺时针方向旋转一个角}0:1),再把它的模变为原来的::倍,所…     

综合题

产U.了想; (2)若001与00:的半径分别是方程护一4x 3一。的两根,求△日心义)的周长.⑥ 6.已知△训月z叉少中,边邵的长和乙A的余弦值分别是方程(二一粤)(x’--3)一。的两个实数根.若边Ac一~/“’一、一2、一’-一曰J’J’/、~’‘、~一了万,求边AB的长.⑩ 7.如图,在△月仪少中,脚一3,劣边上的高AIj一普,线段肚八过△月仪了的重心G,且平行于彤交AD于点夕.若尸点在肘刃上移动(点尸与M、N不重合),从p作1, G IDI)l- 1.在△月刀口中,。、b、。是其三边,关于z的方程(护一加):, 2丫石二不歹: 1~。有两个相等的实数根,且s认通=Zsin价ose,a=1 2…