复变函数期末复习提要

1　典型例题例 1　设z1=2 - 5i,z2 =3+i,求z1z2。分析 :直接利用运算法则也可以 ,但那样比较繁琐 ,可以利用共轭复数的运算结果。解　为求 z1z2,在分子分母同乘z2- ,再利用i2 =- 1,得 :z1z2 =z1·z2-z2 ·z2- =(2 - 5i) (3-i)｜z｜2 =1- 17i10 =110 - 1710 i例 2　设z=1+i,求4 z。解　因z =2eiπ4,故｜z｜=2 ,argz =π4 。于是 ,z的 4个 4次方根为 :w0 =82eiπ16,w1=82ei9π16,w2 =82ei17π16,w3 =82ei2 5π16例 3　设u(x ,y) =x2 - 2xy- y2 ,试求以u(x ,y)为实部的解析函数f(z) =u(x ,y) +iυ(x ,y) ,使得 f(0 ) =i。解　依C .R .条件有 :…     

1999年高考理(20)题的几何背景与别解

设复数z=acosθ i·bsinθ(a>b>0,0<θ<π/2),则θ为复数z在复平面上对应点z的轨迹x=acosθ,y=bsinθ(θ为参数)——椭圆(在第一象限部分)的离心角,如图1,y=θ-arg     

1999年高考理科第(20)题的几何背景

1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y),     

复数z、、1/z之间的关系

在许多复数问题中会出现有关 z,z,1z的式子 ,利用这几个复数相对应的点的位置关系解题 ,别有趣味 .设 z=r(cosα isinα) (r>0 ) ,则z=r[cos(-α) isin(-α) ],1z=1r[cos(-α) isin(-α) ].它们的对应点如图 1例 1　已知 z 1z=cos x(x∈R) ,且 | z|≤ 1 ,求 argz的取值范围 .解　先设 | z| <1 ,如图 2 ,此时 z 1z所对应的向量不在 x轴上 ,所以 z 1z ≠cos x,故 | z| <1不可能 ,于是 | z| =1 .令 z=cosθ isinθ(0≤θ<2 π) ,则由z 1z=z z=2 cosθ=cos x,即 cosθ=12 cos x∈ [- 12 ,12 ],所以 θ∈ [- π3 ,π2 ]∪ [4π3…     

一道高考题的别解及其改进

1996年高考上海试题第A_2-22题: 设z是虚数,w=z 1/z是实数,且—1相似文献   

思考题(六)

题17.设e相似文献   

错在哪里

1 江苏省海州高级中学 刘希栋（邮编：222023） 题 已知两个复数集合M={z｜z—cosθ＋（4-m^2）i,m∈R,θ∈R},N={z｜z=m＋（λ＋sinθ）i,m∈R,θ∈R）,且M∩≠Ф,求实数λ的取值范围．     

一道捷克和斯洛伐克数学奥林匹克决赛试题的两种解法

问题若实数x,y,z满足x+y+z=12,x 2+y 2+z 2=54,试求xy的最大值和最小值.[JP3]解法1:由x 2+y 2=54-z 2,可设x=54-z 2 cosθ,y=54-z 2 sinθ.[JP]则x+y+z=12,即12-z=54-z 2(sinθ+cosθ)=108-2z 2 sin(θ+π4),从而|12-z|≤108-2z 2,解得z∈[2,6].所以xy=12[(x+y)2-(x 2+y 2)]=12[(12-z)2-(54-z 2)]=z 2-12z+45.由2≤z≤6,得9≤z 2-12z+45≤25,即xy的最大值为25,最小值为9.     

一元二次议程根的分布问题的再探索

已知：x的方程x^2 (2-k)x 3k-11=O，分别求满足下列条件的实数k的取值范围：     

莫把充分(或必要)条件当作充要条件

存解数学题的过程中,学生常把充分或必要条件当作充要条件处理,造成错误,举例如下: 一把充分条件当作充要条件例1,当θ为何值时,复数z=(1+cosθ+isinθ)~4是实数? 解:当sinθ=0即θ=kπ(k∈J)时,复数z是实数。上面解法是错误的。因     

复数问题的极坐标解法

复数的三角式r(cosθ+isinθ)是用一对有序实数r、θ确定复数Z及其在复平面上的对应点(r≥0,0≤θ<2π).在平面极坐标系中,也是用一对有序实数p、θ(p≥0,0≤θ<2π)来确定点的位置,而且化成直角坐标后x=p·cosθ,y=p·sinθ恰与复数的实部、虚部的系数类同.于是,有些复数问题,在某种条件下,应用极坐标法解更为简     

利用共轭性质巧解复数高考题

高考中的复数试题,历年来重税考查复数的概念及运算,但往往运算繁杂,影响临场的解题速度及正确性,而灵活运用诸如|z|~2=z(?)等复数的有关概念及性质,便可达到化繁为简,化难为易的功效.1 求模例1 (1995年全国高考文科试题)设复数 z=cosθ isinθθ∈(π,2π),求复数 z~2 z 的模.解:∵|z|=1,∴z(?)=1,z (?)=2cosθ.∴|z~2 z|~2=|z|~2|z 1|~2=|z 1|~2     

Strong/weak limits and strong/weak differentials of multi-variable indeterminate forms. III: Transformations

1SimplificationinsphericalcoordinatesInthesphericalcoordinatessystem,??y?x=rsinθcosφ,z=rsinθsinφ,=rcosθ,???00≤θ<π,≤θ<2π.Setk=?tanφ,yandK=?zcotθ,then,xxcosφcotθu=r0K(t,t')istransformedintor=r0K(tanφ,cos),φandis,whenφ=0,simplifiedintoatruncatedcurver=r°K(0,cotθ).Thelatteriseasiertoberesolvedandcanreverttotheformerthroughturningaroundfor180°.Example.Thereexistsu=z2=(rcosθ)2x2+y2+z2r2=r°cos2θ?φ°,0≤θ≤π,0≤φ<2π.AsshowninFig.1,XX′isthediameteroftheunitcircle,OP0i…     

一道高考题的五种解法

2002年春季高考第(16)题是: 对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,Y2为实数),定义运算“⊙”为:z1⊙z2=x1x2+y1y2,设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P1.p2,点o为坐标原点,若w1⊙w2=0,则在△P1OP2中,相似文献   

对理科(20)题的思考

1999年高考理科(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ,求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.笔者参加了此题的高考阅卷工作,对此题的各种解法,错识情况,能力要求等方面作了一些思考,形成此文.1 试题背景此题是以考查复数为背景,求角的最值.立意是考查     

向量与其他数学知识的交汇

向量具有数字化的形式,同时又具有形象化的特征,故成为联系多项数学知识的媒介.一、与代数的交汇【例1】设实数x、y、z、a、b、c满足条件:(x2 y2 z2)(a2 b2 c2)=(ax by cz)2,求证ax=by=cz.证明:设m=(x,y,z),n=(a,b,c),且m与n的夹角为θ.∵m·n=｜m｜·｜n｜cosθ,m·n=ax by cz∴ax by cz=x2 y2 z2·a2 b2 c2cosθ由已知得cosθ=±1,即θ=0或π.∴m∥n由向量平行充要条件是ax=by=cz.评注:在等式证明中,利用数量积公式,建立数形对应关系,从而问题得解.【例2】已知a,b,c,d∈R,求函数f(x)=(x a)2 b2 (x-c)2 d2的最小值.解:设m=(x a,b),n=(c-x,…     

复数法求三角级数前N项和及三角连乘积

用复数知识求某些特殊三角级数前 n 项和及三角连乘积通常有四种方法:(1)三角——复数公式法;(2)辅助复数 u+iv 法;(3)韦达定理法;(4)分解因式法。一、三角——复数公式法我们知道,设 z=cosθ+isinθ=e~(iθ),     

分离参数法在高考中的应用

分离参数法是求含参数方程或不等式中的参数范围的一种简捷方法.就是通过分离参数,然后讨论主变量的变化情况,讨论出参数的变化范围.下面举例说明它在高考中的应用.例1 设对所有实数x,不等式x~2log_2 (4(a+1))/a+2xlog_2 (2a)/(a+1)+log_2 ((a+1)~2)/(4a~2)>0恒成立,求 a 的取值范围.(1987年全国高考题)解:设 t=log_2 (2a)/(a+1),则已知不等式化为:     

两道高考题的原型与推广

1999年全国高考理科第20题、科第21题分别为：(1)设复数z=3cosθ i2sinθ，求函数y=θ-argz(0<θ<π／2)的最大值以及对应的θ值．     

错在哪里

1　云南曲靖一中　李耀先　张国坤　(邮编 :6550 0 0 )题　已知两个复数集合A ={z|z =cosθ +( 4 -m2 )i,m∈R ,θ∈R},B ={z|z =m +(λ +sinθ)i,m∈R ,θ∈R},若A∩B≠ ,求实数λ的取值范围。解　由于A∩B≠ ,故存在m、θ∈R ,使得cosθ+( 4 -m2 )i=m +(λ +sinθ)i,故 cosθ=m ,4-m2 =λ +sinθ, λ =4-cos2 θ-sinθ=sin2 θ -sinθ +3 =(sinθ -12 ) 2 +1 14,因为 -1≤sinθ≤ 1 ,所以当sinθ=12 时 ,λmin=1 14;当sinθ =-1时 ,λmax=5。故λ的取值范围是 [1 14,5 ]。解法错了 !错在哪里 ?错在没有注意到两个集合的交集非空…