二阶变系数齐次线性方程的求解问题

二阶变系数齐次线性方程:(dy~2/dx~2)+P(x)(dy/dx)+q(x)y=0,(其中P(x),q(x)∈C')……(1)与相应的黎卡提方程:(dy/dx)+P(x)y+y~2+q(x)=0……(2)的解之间存在着重要的关系,即定理1和定理2,开辟了方程(1)和(2)关系研究的途径,并作出了九个推论,其中若干个重要的结论与文[1]中结论相同。     

例析构造方程的两种方法

众所周知 ,“根与系数的关系”的应用之一是构造方程 ,但它不是构造方程的惟一方法 ,本文举例介绍构造方程的另两种方法 ,供同学们参考。例 1　求作一方程 ,使它的各根分别是方程x2 - 3x + 2 =0的各根的 3倍。解法一 :设所求方程的未知数为 y。由题意 ,得 y =3x ,即x =y3,代入原方程 ,得 ( y3) 2 - 3·y3+ 2 =0整理 ,得 y2 - 9y + 1 8=0 .解法二 :设所求方程为 y2 + py + q =0 ,由题意 ,得 y =3x ,∴ ( 3x) 2 + 3px + q =0 ,即 9x2 + 3px + q =0 .此方程与原方程是同解方程 ,∴19=- 33p =2q,∴p =- 9,q =1 8.则所求作方程为 y2 - 9y + 1 8=0…     

直线方程y0y=p(x0+x)的几何意义

文 [1 ]、[2 ]分别探讨了直线方程 x0 xa2 +y0 yb2 =1和直线方程 x0 xa2 -y0 yb2 =1的几何意义。两篇论文给出的结论对于研究椭圆和双曲线具有非常重要的意义。其实对于抛物线、圆也有类似的结论 ,作为对两篇论文的补充现给出抛物线与之相关的定理。定理 1　已知P0 (x0 ,y0 )是抛物线 y2 =2 px上的任意一点 ,则直线 y0 y =p(x0 +x)表示此抛物线上以P0 (x0 ,y0 )为切点的切线。证明　当 y0 >0时 ,抛物线的方程可以写成 y =± 2 px,则 y′=± p2 px,所以P0 (x0 ,y0 )为切点的切线的斜率为± p2px0,切线的方程为 y-y0 =± p2 px0(x -x0 ) ,即…     

关于二阶变系数方程可积性的一点注记

本文利用Lie单参变挨群的方法考察二阶变系数方程(*) d~2y/dx~2+(p(x)+λq(x))y=0在“初始”方程d~2y/dx~2+p(x)y=0 可积的条件下的可积性问题。导出了Ken Takanyama[1]新近给出的关于(*)可积性的结果,同时揭示了(*)可积时所许可的单参数劝群和q(x)与该参群之间的关系。     

有两项相等且满足a_(n+1)=p+q/a_n的数列的分类

文 [1 ]中给出了满足递推关系an+1 =p+ qan( 1 )(其中 p 为非零常数 ,q为正常数 )的数列{an}的通项公式 ,并据此证明了当此数列有两项相等时 ,其必为常数列 .下面我们将取消“p为非零常数 ,q为正常数”这一限制而考虑更广泛的情形 ,得出有两项相等且满足(1)的数列的完全分类 .主要结论是 :定理 1设 (实或复 )数列 {an}满足( 1 )且 a1 =a(≠ 0 ) ,其中 p,q为常数且 q≠ 0 ,方程 x=p+ qx的两根 (称为数列 {an}的特征根 )为 x1 和 x2 ,则当 p2 + 4q≠ 0即 x1 ≠ x2时 ,{an}的通项为an=( a- x2 ) xn1 - ( a- x1 ) xn2( a- x2 ) xn- 1 1 - ( a- x…     

2003年河北省初中数学创新与知识应用竞赛

一、选择题 (每小题 5分 ,共 30分 )1.x、y都是正数 ,并且成反比 ,若x增加了p % ,设y减少的百分数为q % .则q的值为 (　　 ) .(A) 10 0p1 p % 　 (B) 10 0p % 　 (C) p10 0 p (D) 10 0p10 0 p2 .小明同学骑自行车在上学的路上要经过两座山梁 ,行走的路线如图 1所示 .已知上山的速度为v1,平路的速度为v2 ,下山的速度为v3 ,其中v1相似文献   

抛物线的一个定理及应用

定理过点(k,0)作直线AB和抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则有x1x2=k2,y1y2=-2pk.证明设直线AB的方程为x=my+k,代入y2=2px,有y2-2pmy-2pk=0.因为直线AB与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,于是y1y2=-2pk.由y21y22=4p2x1x2,得到x1x2=y21y224p2=4p2k24p2=k2.推论(焦点弦定理)若AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1y2=-p2,x1x2=p24.在解决某些与抛物线相关问题的时候,应用该定理和推论的内容,能简洁、快速地解题,同时也能达到优化解题过程的目的.例1如图1所示,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0…     

三角形的费马点式方程

设△ABC的最大角小于120°,F为其费马点,又设FA=p,FB=q,FC=r。那么,以F为原点,FA为x轴正方向建立坐标系,可得△ABC的费马点式方程: |3~(1/2)x |y|| |y| ax by c=0, ①其中-(3~(1/2))相似文献   

关于Diophantine方程x!=y1!y2!…yn!

设n是大于1的正整数,证明了如果(x,y1,y2,…,yn)是方程x!=y1!y2!…yn!的适合x＞y1≥y2≥…≥yn＞1的正整数解,则必有y1≥p以及y2＜q,其中p是不大于x的最大素数,q是大于x/2的最小系数.     

二次曲线的中点弦问题的再讨论

首先来讨论形如:mx2 ny2=1(m,n均为非零常数)的二次曲线C.假设点M(x0,y0)是曲线C的一条弦的中点(其中x0,y0不同时为0),则有如下结论:图1定理1以点M(x0,y0)为中点的弦所在的直线的方程为:mx0(x-x0) ny0(y-y0)=0.证明设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x2=2x0-x1,y2=2y0-y