高中数学形式化与非形式化教学的案例研究

在新一轮高中数学课程改革中,数学的形式化与非形式化已经作为重要的内容写进了高中数学新课程标准当中．高中数学不同于初中数学与高等数学,它在研究对象的外在内容的同时也适当的渗透着数学形式化的本质,因此高中数学教育的主要任务就是,让学生在看到数学现象的同时也尽可能的认识到数学的本质．数学教师的任务在于返璞归真,把数学的形式化逻辑链条,恢复为当初数学家发明创新时的火热思考,只有经过思考,才能最后理解这份冰冷的美丽．     

不能弱化数学形式化

“强调本质,注意适度形式化”是《普通高中数学课程标准（实验）》提出的新理念．这一理念不是要打压、淡化数学形式化,而是为了改善数学教学中的数学形式化的生成过程．超越学生水平的形式化,只有数学的冰冷美丽,使得数学脱离现实,艰涩深奥,枯燥无味,远离学生的认知水平,最终不但无助于学生形成数学形式化,反而事与愿违,造成学生对数学望而生畏,这是不正确的．反之,过犹不及,将导致数学形式化被弱化,理性思维被边缘化,背离数学本质和数学教学目的,这同样是不正确的．     

高中数学教学中形式化与非形式化的表现特征

在数学中，我们通过相对独立的量化模式的建构，并以此为直接对象从事客观世界量化规律性的研究．数学的对象是模式．徐利治教授给出模式的一个确切含义：模式即“事物（包括抽象物）关系结构的形式模型”．可见，数学的一个重要特点是形式化，如形式化的表示、形式化的推理、形式化的演算等．数学的形式化是指：用一套表意的符号体系来表达数学对象（即模式）的结构与规律，从而把对模式的研究归结为对符号的研究．非形式的数学是指“用由特殊的数学符号和扩充的自然语言作出来的”、     

行走在"朴素理解"与"形式化"之间

弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式:没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来.一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽,因此他说:教材是"教学法的颠倒".……     

行走在"朴素理解"与"形式化"之间

弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式:没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来.一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽,因此他说:教材是"教学法的颠倒".……     

数学形式化与非形式化的研究综述

《普通高中数学课程标准（实验）》课程基本理念中的第七条是强调本质，注意适度形式化。形式化是数学的基本特征之一．在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。这一课程基本理念一经提出，有关高中数学形式化与非形式化的一系列问题便成为我们高中数学教师研究的重点问题。     

数学“双基”中的形式化与非形式化

“双基”是我国数学教育的优良传统，在新形势下，它需要不断地“与时俱进”，并保持合理的内核，形成科学的、符合学生实际的“数学新双基”．为准确地把握数学教育中的“双基”，对数学“双基”中的形式化与非形式化问题进行深入的探讨就显得十分必要．为此，浙江师范大学课程与教学论(数学)专业的几位同仁在导师张维忠教授的指导下，围绕“数学‘双基’中的形式化与非形式化”主题展开了一次深入讨论，以下是大家发言的主要内容。     

形式化在中学数学教学中的应用

形式化贯串于中学数学的始终，可以说，学习数学就是学习一种有特定涵义的形式化的语言．以及用形式化语言去解决各种问题，本文主要讨论形式化在数学概念教学与解题教学方面的应用.     

试论高中数学的形式化

陈重穆教授曾极有见地提出“淡化形式”,在全国数学教育界产生了巨大反响．但“淡化形式”不等于否定“形式”,我们应该用辩证的观点来对待数学的形式化．正如《普通高中数学课程标准（实验）》所指出的：“形式化是数学的基本特征之一．在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求,但是不能只限于形式化的表述,要强调对数学本质的认识,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里．     

数学的学术形态到教育形态的思考

著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式:"没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来.一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽."[1]不仅数学知识如此,任何一门学科都有类似的情形.当知识被发现后放在书本上,就没有当初发现时的热情似火,变得不易被人看懂,即使是表面的看懂,也很难理解知识被发现时的那种意境.教师的任务就是引发学生的思考,带领学生一起感悟知识形成的过程,体会知识发现时那种火热的思考,就是要把知识的学术形态转化为教育形态[2].实际上,数学的学术形态通常表现为冰冷的美丽,而知识的教育形态正是一种火热的思考.教师的任务在于返璞归真,把数学形式化逻辑链条,恢复为当初发明创新时的火热思考.只有经过思考,才能最后理解这份冰冷的美丽.     

让数学“冰冷的美丽”唤发“火热的思考”

著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽．”     

适度形式化的数学教学实践

形式化是数学的基本特征之一．在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求,即让学生在充分理解概念、结论的情形下按照数学的规范要求,建立适度的形式化表达．新课程数学教学理念要求突出数学本质,返璞归真,适度形式化,注意自然语言与数学语言的转化,以及表象、原型对数学学习的作用．     

关于数学的学术形态和教育形态——谈"火热的思考"与"冰冷的美丽"

数学知识需要形式化的表述，但学生掌握数学知识必须经过朴素而火热的思考。老师的责任是返璞归真，运用适度的非形式化方法，将数学的学术形态转化为教育形态，展现数学的魅力，激起学生学习数学的热情。为此，在教学中应注意：（1）把数学教材中形式化的表述顺序颠倒过来；（2）认识到学生对数学的思考往往来自于个别范例和具体活动；（3）帮助学生揭示数学的内在联结；（4）将火热的思考提高到“数学思想方法”的高度上来。     

转换视角 三读教材

荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：“当今的数学总是把火热的思考变成冰冷的美丽。”当数学的表达以纯粹的形式化为“美丽”时，数学发展的原始动力、社会背景、创新思想，统统被淹没在逻辑的海洋里。从这个意义上说，数学教学需要把“学术形态的数学”转化为“教育形态的数学”，恢复活跃的、火热的数学思考。     

浅谈数学教学中如何恢复和提高学生的火热思考

数学的表现形式比较枯燥,常给人冰冷的感觉,但是数学思考却是火热生动活泼的。如何点燃和激起学生的火热思考,并使学生欣赏数学冰冷的美丽,实在是数学教育的一项根本任务。 一、揭示数学的内在联结,恢复学生的火热思考     

运用多种手段展示数学魅力——大学数学教学的一些实践与思考

国际数学教育委员会前主席、数学家H.Freudenthal(1908-1990)曾说过:"没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后,相应地发展成一种形式化的技巧,结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽."教科书中陈述的数学,可以称之为"冰冷的美丽".     

数学形式化与非形式化的研究综述

《普通高中数学课程标准(实验)》课程基本理念中的第七条是强调本质,注意适度形式化.形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求,但是不能只限于形式化的表达,要强调对数学本质的认识,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里,数学的现代发展也表明,全盘形式化是不可能的.因此,高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.数学课程要讲逻辑推理,更要讲道理,     

微积分概念的形式化理解

数学的形式化特点,意味着数学概念学习过程在某种程度上需要有一种形式化理解的进行方式.     

数学教学中形式化与非形式化的研究综述

在上世纪90年代,原西南师范大学陈重穆、宋乃庆提出在数学教学中要注意淡化形式、注重实质的观点,并引发了国内学者对该问题的热烈讨论．进入新世纪,教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》关于课程的基本理念中第7条是“强调本质,注意适度形式化”．随着新课程标准的制订和实施,数学教学中的形式化与非形式化问题再度引起广泛的关注．     

基于Z语言的形式化需求分析

介绍了形式化方法和形式化规格说明语言Z语言，利用Z语言对软件需求进行了严格定义，在严格的数学基础上进行软件开发，以获得更好的软件性能．利用形式化方法的需求分析，有助于发现需求中隐含的不一致性、二义性和不完整性，对其进行更深入精确的理解，从而进行规范化管理．