28-IMO-5的巧妙证明

[28—IMO—5]:试证:对于任意n(n≥3),在欧氏平面上总存在n个点,每两点间的距离为无理数,每三点构成非退化的三角形,且有有理面积. [分析]本题就是要构造欧氏平面上无三点共线的k个点,满足下述两个条件:1)每两点有“无理距离”;2)每三点有“有理面积”.所以我们抛开原题,扣住“无理距离”和“有理面积”构想它的证明,     

难题征解

34.在射线AC、BC上分别有n个点D_i,E_i,且(D_iA)/(EiB)=k,(k为正常数,i=1,2,…,n),若Fi是AD_iE_iF_i的顶点,则n个点F_i共线。 (浙江省瑞安市叶挺彪提供) 35.设k为无理数,b为实数,试证明或否定下列论断:对于任意给定实数ε>0,都有一个整点Q(即纵、横坐标都是整数的点),使得点Q到直线y=kx+b的距离大于0,但小于ε。 (河南吴伟朝提供) 36.一个接一个地写出2~(n-1)个不同的数列,它们的长度都是n,且皆由0和1组成。巳知对于这些数列中的任意3列,都可以找出这样的数p,使得在它们的第p项上数字皆为1.证明存在数k,使得在所     

源自生活中的新命题比数论中的一个重要定理用途更广

生活中的问题:①一条直线上相邻两点的距离均为a,另一条直线上相邻两点的距离均为b,两条直线合成一起,将一条直线平移,在什么情况下会出现无数个重合点,此时相邻两点的距离各是多少?相邻重合点之间的距离是多少?(a>b)②两个相等的同心圆,从一点起将一圆周a等分,另一圆周b等分,相邻两点的圆心角各是多少?若将一个圆转动,每次转动多少度会再次出现重合点?(起点视为一个重合点)能够解决上述问题的新命题,还证明了数论中的一个重要定理(a与b的最大公约数是d,则存在着整数m,n,使得am-bn=d),很多有用的结论都是由这个定理导出的,这个定理在国内外的《离散数学》中都有介绍,但有些没有给出证明.     

一道数学竞赛题的推广

一九八七年全国初中数学联赛第一试选择题第2小题: 在一条直线上已知四个不同的点,依次是A、B、C、D,那么到A、B、C、D的距离之和最小的点。 (A)可以是直线AD外的某一点; (B)只是B点或C点; (C)只是线段AD的中点; (D)有无数多个点。推广一:设A_1、A_2、…,A_n(n∈N)依次为直线l上的n个点,求点P使P到A_1、A_2,…,A_n的距离之和最小,即 PA_1 PA_2 … PA_n最小。分析:要确定P点的位置,分两步考虑:第一,P点在直线l上,还是在直线l外?第二,P点若在直线l上,则应在什么位置?很容易证明:P点一定在l上,否则,假设P     

一道值得回味的竞赛题

1986年江苏省初中数学竞赛有下面一道试题:“在平面上任意给定5个点,其中任何三点不在一条直线上,并且它们不是凸五边形的顶点。证明下列两个结论中必有一个成立: (1)存在以某四点为顶点的凸四边形,使得另一点在该四边形内;(2)存在以某三点为顶点的三角形,使得其余两点在该三角形内。”这道题仅仅涉及三角形、凸四边形与五边形等最基本的概念,证明所需要的几何知识也     

平面上最接近点对问题的研究

针对平面上最接近点对问题,分别考虑其在离线环境和在线环境下的两种情况。在离线环境下,针对分治算法,结合点集本身的稀疏性质和圆的性质,给出一个改进的合并算法,使得在合并过程中由每个点的最多6次计算距离降为4次运算,从而提高算法的效率。在在线环境下,给出3种算法求解此问题。第1种算法是每给出第k个点就计算k-1次。第2种算法是给出一个判别式子,在给第k个点时,首先对前k-1个点进行判断,判断出与之会影响当前最小距离的点后再进行计算。第3种算法是结合几何知识,证明得到在此问题中,当新的点出现时,最多只会有6个点与之影响当前最小距离,所以通过插序找出此6点再进行计算。可以证明这3种算法的时间复杂度均为O(n2),但显然随着点数n的增大,算法的平均时间复杂度一定会依次降低。     

第28届IMO候选题及解答(续完)

12.在欧氏平面上取1987个点,使得每两点间的距离为无理数,每三个点构成一个面积为有理数的非退化三角形,这可能吗? 13.用数码{0,1,2,3,4}可以组成多少个相邻数码正好差1的n位数?     

《位置的确定》单元测试题

(时间:90分钟;满分:100分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.在平面内,确定一个点的位置一般需要的数据个数是()A.1B.2C.3D.42.如图1,已知校门的位置坐标是(1,1),每个小方格的边长表示的实际距离为100m.那么下列对于办公楼位置的描述中正确的个数是()①办公楼的坐标是(3,2);②办公楼的坐标是(3,3);③办公楼的坐标为(4,4);④办公楼在校门的东北方向上,距校门200"2m.A.1B.2C.3D.43.下列论断中正确的有()①点(3,2)与点(2,3)是同一个点;②点(0,-2)在x轴上;③点(0,0)是坐标原点.A.0个B.1个C.2个D.3个4.已知点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,…     

图形的平移与旋转综合测试题

(时间:90分钟;满分:100分)阅峨一、选择题(每小题3分，共30分) 1.在图形平移中，下列说法错误的是A.图形上任意点移动的方向相同B.图形上任意点移动的距离相同C.图形上可能存在不动点D.图形上任意两点所连线段长短不变2.如图1，可以视为图形平移的(一个头像和另一个头像)有() A .5对B.8对C.9对D.10对3.在图形旋转中，下列说法错误的是() A.图形上的每一点到旋转中心的距离相等B.图形上的每一点移动的角度相同C.图形上可能存在不动点D.图形上任意两点所连线段与其对应两点所连线段相等4.观察图2，下列说法正确的有()①可以看做一个小三…     

普特南数学竞赛试题选登 (之5)

本期选登试题 (欢迎读者寄来佳答) 14.(61届)实数A:x0,x1,…,xn,…都是正数,且=A.求x2i的取值范围. 15.(61届)在半径为r的圆周上有三个坐标是整数的点.证明其中两个点的距离不小于.     

利用等长转移思想求最值

解题时常常会碰到这样的问题:在已知图形(线、面)上求一点P,使:(1)点P到两个定点的距离和最小;(2)点P到一定点的距离和点P到某个确定平面的距离和最小;(3)点P到两个定点的距离差的绝对值最大.     

点的共圆证明浅谈

在平面几何证明点的共圆问题中,最常见的是证明四点共圆。在证题中还可运用四点共圆的知识再去论证其它问题。证明四点共圆一般有六种情况:(一)依据圆的定义,证明要证共圆的四点距离某一定点等远。例1.已知 BD、CE 分别是△ABC 的边 AC、AB 上的高,求证:B、C、D、E     

一类点的轨迹方程的探求

2002年高考文史类解几试题为: 已知点P到两个定点(1,0)M-,N(1,0)距离的比为2,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程. 本题中,||MN=2为定值,||||PMPN=2也为定值,这是一类到定长线段两端点距离之比为定值的点的轨迹问题. 为了探究这类问题的一般解法,本文给出与此相关的几个定理. 定理1 到直线yt=上定长为2(0)aa>的线段12MM的两个端点1M、2M的距离之比是一个正数(1)mm的点的轨迹方程为 22222()11amaxml ---l 2()yt- =22224(1)amm-, (其中0102,MMMMl=1l?(0,))Mt 证明 在给定的直角坐标系里,设1(,)Mct,则2(2,)Mact , 设动点(,)Mxy,由…     

一道数学竞赛题的改进

美国第39届普特南数学竞赛有一题为:平面上给定 n 个不同的点,求证:距离为1(长度单位)的点对数目不多于2n~(8/2).本文拟证明:系数2可改进为嘉1/20(5~(/2) 165~(/2))=0.7540….     

浅谈中学数学中定理的结构

中学数学中有各种形式的定理,特别在《几何》中定理连篇。在教学中,不但要求学生记住。而且要求学生会证明和应用。为了顺利地完成这方面的教与学,必须掌握建立在命题、命题函数、及其运算基础上的定理结构。现在我们来分析下面的定理。定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。所给定理可改写成:在平面上,若点在已知线段的垂直平分线上,则它到这条线段的两个端点的距离相等。由此可见,通过改写定理中的三句话,可以把定理分成三部分:论域(平面上所有点组成的集合I);题设(点在线段的垂直平分线上);结论(点到线段两端点的距离相等)。且题设和结论都是定义在集合I上的命题函数。事实上,     

第33届IMO加拿大训练题及解答

1.若x:,x:,…,xn是非负实数,使得它们的和小于李,证明: ‘(1一x:)(1一x:)… ,,、\1\1一人”户/丁. 2.给定一个凸四边形,是否总能在它的内部确定一点,使得该点与各边中点的连线将四边形分为四个面积相等的区域?如果这样的点存在,那么是否是唯一的? 3.确定满足x(,书1)=,(之+1)+z(x+1)的所有实数x,y,2. 4.ABCD君是以正方形BCDE为底的棱锥,点F,G,H分别在AB,AC,AD上,且使得AF=AG=AH. (a)证明:EF和DG必相交于一点K,且BG和EH必相交于一点L。 (乙)若EG和平面AKL相交于M,证明:AKML是正方形. 5.若:是一个实数,数列{x。}由x。=0,x:=1…     

2001年全国高中数学联赛试题及解答

一、选择题 (本题满分 36分 ,每小题 6分 )1.已知 a为给定的实数 ,那么集合 M={ x |x2 - 3x- a2 2 =0 ,x∈ R}的子集的个数为 (　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 4　　 (D)不确定2 .命题 1:长方体中 ,必存在到各顶点距离相等的点 ;命题 2 :长方体中 ,必存在到各棱距离相等的点 ;命题 3:长方体中 ,必存在到各面距离相等的点 .以上三个命题中正确的有 (　 )(A) 0个　 (B) 1个　 (C) 2个　 (D) 3个3.在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|cot x |,y=lg|sin x|中以 π为周期、在 (0 ,π2 )上单调递增的偶函数是 (　 )(A) y=sin|x|　　 (B) y=cos|x…     

解析几何中两动点间的距离的最值类型

<正>解析几何中两个动点之间的距离的最值(取值范围)归纳起来主要有四种类型:(1)两个动点在一个圆锥曲线上;(2)两个动点分别在两个圆锥曲线上;(3)两个动点分别在一条直线和一个圆锥曲线上;(4)两个动点在一条直线上.下面通过例子具体谈一谈解析几何中两动点间的距离的最值(取值范围)的四种类型的探求方法.1两个动点在一个圆锥曲线上两个动点A、B在一个圆锥曲线上,求这两个动点     

垂足坐标、距离公式和对称点

在解析几何中,点到直线的距离公式是大家熟知的。现行初中课本中就有这一内容:各种课本及杂志刊物上对这个公式有不同证法。但大都是孤立地证明这个公式。其实下面三个问题是密切相关的:(1)由已知点到已知直线引垂线的垂足坐标;(2)已知点到已知直线的距离;(3)求已知点关于已知直线的对称点。这三个问题中,只有第二个问题有公式可用。其余两个问题用通常的方法计算较繁。本文的目的在于沟通这三者的关系,简明地得出易于记忆的公式,再举例说明其应用。一、公式推导     

一个组合几何命题的证明

1935年,著名数学家P.Erd(?)s和G.Szekeres证明了一个著名的命题: 对于任何正整数n≥3,存在一个数f(n),使得当且仅当m≥f(n)时,平面上任意一个无三点共线的m个点组成的集中有n个点围成一凸n边形。猜测 f(n)=2~(n-2) 1。 下面给出n=5时的一个证明。先证明