关于匹寶不等式的讨论

设△ABC和△A′B′C′的边长分别为a、b、c和a′、b′、c′，它们的面积记为△和△′，则a′~2（-a~2+b~2+c~2）+b′~2（a~2-b~2+c~2）+c′~2（a~2+b~2-c~2）≥16△△′（1）这个不等式称为匹窦（Pedoe）不等式。     

涉及两个双圆四边形的不等式

在△ABC和△A′B′C′中,有如下的不等式1/aa′+1/bb′+1/cc′≥1/RR′　　　(1)其中a、b、c、R,a′、b′、c′、R′分别为△ABC和△A′B′C′的三边和外接圆半径,等号成立当且仅当a=b=c且a′=b′=c′。本文将其推广到双圆四边形(即既有外接圆又有内切圆的四边形),并给出几个猜想。定理　设双圆四边形ABCD、A′B′C′D′的边分别为a、b、c、d,a′、b′、c′、d′。它们的外接圆半径为分别为R、R′,则1/aa′+1/bb′+1/cc′+1/dd′≥2/RR′　　　(2)等号成立当且仅当a=b=c=d且a′=b′=c′=d′证明:首先我们有a2+b2+c2+d2≤8R2　　…     

每期一题

题已知a、b、c是△ABC三边,求证: 8/27≥(b+c)(c+a)(a+b)/(a+b+c)~3 >1/4①这是一个著名的几何问题的等价命题。如图所设,a、b、c为△ABC顶点A、B、C的对边,I为内心,延长AI、BI、CI分别交对边于A′、B′、C′。在△ABA′与△ACA′中利用角平分线     

一个新构成三角形的性质

文[1]证明了:若a、b、c为△ABC的三边,则√a2 b2、√a2 c2、√b2 c2亦可构成另一△A′B′C′.本文对于新构成△A′B′C′的性质进行了一些探索与研究,得到如下结果.     

Neuberg-Podoe不等式的优美证明与类似

<正>1891年,J.Neuberg提出了以下著名不等式:设a、b、c与a′、b′、c′分别是两个三角形的三边长、△、△′分别代表它们的面积,猜测成立:a~2(b′~2+c′~2-a′~2)+b~2(c′~2+a′~2-b′~2)+c~2(a′~2+b′~2-c′~2)≥16△△′(1)1943年,D.Podoe第一个给出了这个猜想的证明,故而称作Neuberg-Podoe不等式.     

涉及两个三角形角平分线的一个不等式

定理 设△ABC和△A′B′C′的边长分别为a、b、c和a′、b′、c′;ω_a、ω_b、ω_c和ω′_a、ω′_b、ω′_c分别为相应边上的角平分线。则有 ω_aω′_a ω_bω′_b ω_cω′_c ≤3(aa′ bb′ cc′).(1)当且仅当△ABC和△A′B′C′均为正三角形     

涉及两个三角形的一个不等式

命题 设△A′B′C′的三边长和面积分别为a′、b′、c′,△′,△ABC对应边上的旁切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△。则     

Pedoe不等式的再推广

设a,b,c,Δ与a′,b′,c′,Δ′分别代表△ABC与△A′B′C′的三边与面积,则著名的Pedoe不等式是: a′~2(-a~2+b~2+c~2)+b′~2(a~2-b~2+c~2)+c′~2(a~2+b~2-c~2)≥16ΔΔ′,式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′时成立。文[1]证明了: 设△.表示a~(1/2),b~(1/2),c~(1/2)组成的三角形的面积,则有     

有奖解题擂台(63)

题 1　 (邵剑波提供 )　证明或否定设a >b >c>0 ,x21a2 +y21b2 +z21c2 =1 ,x22a2 +y22b2 +z22c2 =1 ,且 (x -x1+x22 ) 2 +( y -y1+y22 ) 2 +(z -z1+z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 +( y1-y2 ) 2 +(z1-z2 ) 2 ],则x2 +y2 +z2 ≤a2 +b2 +c2 。题 2　 (吴善和提供 )　证明或否定 :　若a、b、c分别是△ABC的三边长 ,实数m≥ 1 ,a′ =(bm+cm) 1m,b′ =(cm+am) 1m,c′=(am+bm) 1m,则以a′,b′ ,c′为三边可构成△A′B′C′ ,且△ABC与△A′B′C′的内切圆半径r与r′之间成立不等式r′≥ 2 1m·r。(注　每小题第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )有奖…     

每期一题

题:△ABC是⊙○内接锐角三角形,射线AO、BO、CO各交⊙○于A′、B′、C′。记BC=a、CA=b、AB=C,BC′=B′C=a′CA′=C′A=b′、AB′=A′B=c′。求证:abc=ab′c′+a′bc′+a′b′c。分析:本题结论可以改写成: b′c′/bc+c′a′/ca+a′b′/ab=1; 由于∠BA′C与∠BAC互补、∠CB′A与∠CBA互补、∠AC′B与∠ACB互补,     

难题征解

52.锐角△ABC中,AD、BE、CF是三条高,H为垂心,记△ABC、△HBC、△HCA、△HAB的外接圆半径之和为m,内接圆半径之和为n,求证m+n=△ABC周长。 (安徽怀中黄全福提供) 53 设△ABC的旁切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c、△,△A′B′C′的三边和面积分别为a′、b′、c′、△′。证明或否定r_a/a′+r_b/b′+r_c/c′≥3 3~(1/2)/2 (△/△′)~(1/2)等号当且仅当△ABC与△A′B′C′均为正三角形时成     

边比定理及其应用

由正弦定理可推出一个与线段比有关的定理——边比定理,这一定理在处理有关比例问题时应用比较广泛,今介绍如下,供参考。一、边比定理在△ABC和△A′B′C′中,∠A、∠B、∠C及∠A′、∠B′、∠C′三顶角所对边分別为a、b、c及a′、b′、c′,则有:     

一道IMO预选题的推广

巴西国提供的第34届IMO预选题如下：设锐角△ABC的外接圆半径R＝1,内切圆半径为r,它的垂足三角形A′B′C′的内切圆半径为r′,求证：r′≤1－（1＋r2）（1）本文将逐步消弱命题的条件,得到两个更简,更一般的结果。为叙述方便,约定a、b、c及a′、b′、c′分别为△ABC及△A     

三论三角形外角平分线三角形的性质

文[1]、文[2]分别给出了三角形外角平分线三角形的若干性质.它作为与一个三角形有着特殊关系的三角形,应有很多优美的性质,就像矿藏一样,不将这些矿藏从这个矿点里挖掘出来,总感到意犹未尽.基于这个想法,笔者进一步研究了三角形的外角平分线三角形.现将又得到的几个性质归结出来以飨读者.图1如图1,记△A′B′C′为△ABC的外角平分线三角形,△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R、r,三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,S为其半周长,△为其面积;△A′B′C′的三内角A′、B′、C′所对边的长分别为a′、b′、c′,△′为其面积.则:…     

聚焦命题的四大考点

考点一命题的判定判断一件事情的句子,叫命题.命题的基本特征就是判断.“判断”就是肯定或否定某种事物的存在或指明它是否具有某种属性的完整的句子.辨别一句话是不是命题,关键就是看语句中是否含有判断的意思.例1下列语句:①三角形的外角等于两个内角的和.②好香的花呀!③△ABC的三边a,b,c满足a2+b2=c2,该三角形是直角三角形吗?④作△A′B′C′,使它与△ABC相似.⑤在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠B′,∠B=∠A′,则△ABC∽△B′A′C′,你认为这个结论正确吗?其中是命题的有(填序号).解析命题既然表示判断,不能既肯定又否定,因此,…     

一道赛题巧解

1993年德国有一赛题: 设△ABC三边AB=c,BC=a,CA=b,延长AB到A″,使BA″=a,反向延长到B′,使AB′=b,类似得A′,C′,B″,C″,如图,证明:S_(A′B″B′C″C′A″)/S_(△ABC)≥13。(＊)     

有关三角形内切圆的几个公式

公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC…     

正弦定理的联想及其它

由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证     

两个优美的三角形不等式

本文介绍两个非常有趣的三角形不等式： 命题一 设a、b、c是△ABC的三边，则： 6≤∑（b＋c/a＋b＋a＋b/b＋c）〈7，其中“∑”表示循环和，下同．     

一个改进不等式的推广

安振平在本刊1986年第6期P42上改进了一个常见的三角形不等式，得到:设a、b、c是△ABC的三边长，2p=a＋b c，则本文将把（1）式推广到两个三角形．设a、b、c、p与a’、b’、c’、p’分别是△ABC与△A’B’C’的三边长及半周长，则证在简单不等式（可见于高中代数课本（必修）下册Pll练习）（其中，a、b、c为正数）中用a’（p-a）、b’（p-b）、c’（p-c）分别替换a、b、c，得类似可得以上两式相加，再运用平均值不等式，便知（2）式成立。且易知式中等号当且仅当两三角形均为正三角形时成立．证毕．令a’＝a，b＝b，c’=c，则（2）式成…