公式Hn=lnn+C+εn的几个应用

首先导出了公式Hn=lnn C εn,然后给出了该公式在数列、积分、级数上的几个应用.     

和数比较判别法及其应用

级数理论是数学分析的重要组成部分和教学难点内容。判断级数的敢散性具有很大的灵活性，判别方法也是无穷无尽的。本文绘出了级数的和数到别法，作为其应用推出了级数理论中的一些著名判别法以及对经数理论中的一些疑难问题进行了讨论。我们以小写字母an，bn,cn,dn…代表级数的通项，对应的大写字母An，Bn,Cn,Dn…代表其前n项的和，记号An《Bn表示定义若收敛，则称数列｛Cn｝为级数的一个收敛因子。若｛Cn｝是单调数列，则称数列｛Cn｝为级数的一个单调收敛因子。由此定义，我们给出本文的主要结论。定理（和数比较判刑法）设是正项发…     

2004年高考创新型填空题

一、即时定义型例1(2004年高考北京理工农医类第14题)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做这个数列的公和.已知数列狖an狚是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为_________,这个数列的前n项和Sn的计算公式为__________.分析由等和数列的定义知:a1=2,a2=3,a3=2,a4=3,…,奇数项为2,偶数项为3.易求得a18=3.当n为偶数时,Sn=52n;当n为奇数时,Sn=52n-12.二、知识迁移型例2(2004年高考湖北理工农医类第16题)某日中午12时整,甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶,乙船…     

数列极限的几种求法

数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,定积分、二重积分、三重积分、线面积分的定义都是用数列极限定义的。数列极限的求法主要有:定义法、初等变形法、归结原则、夹逼准则、单调有界法、利用两个重要极限计算、施笃兹公式法、泰勒展开式法、定积分定义法、利用微分或积分中值定理计算、级数收敛的必要条件和求级数和函数法。     

包含新概念问题的解题策略

分析：对“等和数列”这个新概念的理解，是解题的前提．根据等和数列的定义，可得关系式an＋an＋1=公和（n=1，2，3…）．     

关于 Ioachimescu 常数,ζ2和 ζ4

Ioachimescu常数I=0．539645…定义为数列In=∑nk=11/√k-2（√n-1）的极限。我们建立了更快地收敛于Ioachimescu常数的新数列。此外，利用双曲线正弦函数的无穷乘积公式和级数表示式，我们给出了ζ（2）和ζ（4）得值。     

一类数列单调性的探究

数列是定义在正整数集或其子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,数列的函数特征——单调性,在近几年各省市的高考中有充分表现.有一类递推数列可表示为a_n+1=f（a_n）的形式,这类数列的单调性与函数y=f（x）的单调性之间的关系密切.本文先给出几个数列单调性的结论,然后例析其应用.定理1设a_n+1=f（a_n）,若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增,对于任意a_n∈D.（1）当a₁2时,数列{a_n}单调递增;（2）当a₁>a₂时,数列{a_n}单调递减.我们用数学归纳法来探究:假设当n=k时,若     

利用特征根法求两类数列的通项公式

命题1：在数列{a}中a,已知首项a,且n≥2时,a=pa＋q（p≠1,q≠0）,则称方程x=px＋q为数列{a}的一阶特征方程,其特征根为x=,数列{a}的通项公式为a=（a-x）p＋x. 由以上命题可知,对于递推关系形如a=pa＋q（p≠1,q≠0）的数列可以通过解特征方程x=px＋q,构造等比数列{a-x},求{a}的通项.     

江苏卷第20题

题目 设M为部分正整数组成的集合,数列{an）的首项a1=1,前n项的和为Sn,已知对任意整数k∈M,当n〉k时,Sn＋k＋Sn-k=2（Sn＋Sk）都成立．     

关于离散函数的一个命题及其应用

关于离散函数有如下命题设f（x）是定义在数列{a_1，a_2，…，a_n｝上的函数．（1）如果f（x）存在最大值f（a_k），且关于i的不等式组（2）如果f（x）存在最小值f（a_k），且关当数列{a_n}为无穷数列时，命题仍成立．证我们只证明（l），(2）的证明和（1）完全一样．∵f（x）在{a_l，a_2，…，a_n}上的最大值从证明过程可知，当f（x）定义在无穷数列上时，命题仍成立．此命题虽然形式和证明都非常简单,但却有广泛的应用．例1若对正整数n，记a_n=10~n/n,则使a_n取值最大的n是多少？（1988年上海市高中数学竞赛高三第一试第二题）解∵　当n充…     

定积分的定义应用探讨

定积分的定义所包含的内容比较丰富,文章通过举例初步探讨定积分定义的一些简单应用——计算定积分、求数列的极限、证明不等式及解决-些实际问题.     

对偶海伦平均、几何平均与幂平均的不等式（二）

对于任意的实数p,两正数a与b的幂平均定义如下：Mp（a,b）=（ap 2＋bp）1p p≠0槡ab p={0,以下将证明：对所有a,b〉0,m∈（0,32）有如下的不等式：1）当m∈（0,32）时,M log2log3（m＋2）-log2（a,b）≤23 Hm（a,b）＋13 G（a,b）≤M 3（m4＋2）（a,b）;2）当m∈[23,＋∞）时,M 43（m＋2）（a,b）≤32 Hm（a,b）＋31 G（a,b）≤M log3（mlo＋g22）-log2（a,b）。其中当且仅当a=b时,等号成立,同时参数23（m＋2）,l og3（m l＋o g22）-log2对于不等式是最优的临界值。给予两正数a,b的海伦平均,几何平均分别如下：Hm=a＋bm＋＋m 2槡ab,G（a,b）=槡ab。     

再求an=can-1＋d/aan-1＋b的通项

文[1]给出了形如an=acaann--11 bd的递推关系的数列通项的求法,拜读以后颇受启发,本文从另一途径给出此类问题的另一求法.定理1:已知数列{an}的a1以及an=pan-1 q(n≥2,n∈N*)则(1)当p=1时,an=a1 (n-1)q(2)当p≠1时,an=(a1 p-q1)pn-1-qp-1为了节约篇幅,此定理的证明这里从略.定     

定积分换元法中如何定限

利用变量代换计算定积分时，选择适当的代换引入新变量后，定积分限和确认被积函数是换元积分法操作的重点和难点，稍有不慎往往会产生错误。究其原因不在于方法本身，而是与方法有关的以前的基础知识（反函数、单值、单调、连续、可导、可积及它们之间的关系）掌握的不好，影响了方法的操作。定积分的换元积分法一般由定理给出：若函数f（x）在[a，b]上连续，且函数x=（t）在（a，β]上有连续导数，当a＜t＜“时，有a＜。t）从定理中不难看出，它是同时满足较多约束条件的方法，这些约束条件恰与上述基础知识有关联。同时满足较多约束条件…     

思维破定势，反面更简捷，不用“数归法”——简析两道高三数列综合题的解法

题1 数列{an}中，a1=1，当n≥2时，-1/√n-1〈an〈0，Sn为数列前n项的和，且Sn=1/2[an-1/n（n-1）an],（1）求S1，S2，S3，S4的值；（2）求数列{Sn}的通项公式；（3）求limn→∞．an.     

从等和数列与等积数列谈起

本文用类比的方法,提出“等和数列”、“等积数列”等新概念,并对其性质进行了初步探词。一、等和数列定义:一个数列,从第二项起,每一项与前面一项的和都等于同一个常数,则称此数列为等和数列。该常数称为公和。由定义立即可得a_n=a_(n-2)(n≥3),从而易知等和     

对一类递推数列周期性的再讨论

<正>已知数列{an}满足:an=pan-1+qan-2(n∈N+,n≥3),给定a1及a2(a12+a22≠0),其特征方程为x2-px-q=0(※),判别式△=p2+4q.文[1]作者经过探究给出了此类数列的周期性具有如下结论:(1)当△>0时,当且仅当p=0且q=1时,对于任意的a1及a2(a12+a22≠0),数列{an}是周期数列.特别地,a1≠a2时,数列{an}是以2为周期的周期数列;a1=a2时,数列{an}是以1为周期的周期数列(即常数数列).(2)当△=0时,当且仅当p=2、q=-1且a1=a2时,数列{an}是以1为周期的周期数列(即常数数列),或p=-2、q=-1且a2=-a1时,数列{an}是以2为周期的周期数列.     

一类函数项级数的和函数及其分析性质之研究

本文对形如■这一类特殊的函数项级数的收敛域进行研讨，并研究和推导出其在收敛域上的和函数及其分析性质，得出十条重要公式。1函数级数的收敛域及其和函数显然函数级数的通项un（x）=[a＋（n－1）]xn－1是由等差数列通项a＋（n一1）d与等比级数通项xn－1之积所组成，那么，函数级数的前n项和Sn（x）的公式则为：在这里，主要运用了拆项分组构成等比数列，然后使用等比数列前”项求和公式。下面讨论函数级数的收敛域（1）当x=1时，原级数成为等差级数。由于，故原级数发散；（2）当|x|=1时，由公式（I）知．故原级数发散；故收敛归纳以上…     

一道数学竞赛题的探究

题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式.     

寻觅那弦外之音——话说一道高考数学题

1一说“燕归来”福建省2005年高考数学(理)试题22为:考题A已知数列{a n},满足a1=a,an 1=1 1/a n.我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列.如当a=1时,得到无穷数列:1,2,3/2,5/3,…;当a=?1/2时,得到有穷数列:-1/2,-1,0.(i)求当a为何值时,a4=0;(ii)设数列{bn}满足b1=-1,bn 1=1/(b n?1)(n∈N),求证a取数列{b n}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n};(iii)若3/2