导数在求函数极值、最值问题中的应用

<正>导数在高中数学中十分重要,对于函数等方面问题的求解提供了一种新的解决途径,利用导数来对函数最值、极值进行求解比以往解题方法更为便捷,这不仅有利于学生提高函数问题求解速度,而且有利于学生对于函数知识内容进一步地掌握。一、函数极值概述1.函数极值定义和判断方法函数极值包括函数极大值和函数极小值,函数极大值是指函数f(x)在点x0处有定义,如果当x0附近所有的点都满足f(x)     

关于条件极值求解的一些注记

中学数学中二元函数x=F(x,y)在G(x,y)=0约束条件下最值问题的求解方法,部编高中课本和常见的高考复习用书都很少提到.但在国家高考试题的解答中却屡有应用,如90年全国统考试题理科第10题、第25题(分别是文科的第20题和第26题)都是典型的二元函数的条件最值问题.求解这类问题不少高中学生感到无章法可循,解决它比较困难,本文试图就这类问题的解题思路和方法作一探讨,供老师和学生参考. 求解二元函数条件最值的基本思想是通过约束条件转化为求一元函数的最值问题. 下面通过对一些例题的分析和解答来说清楚这个问题. 例1 设x、y为实数,且满足条件y~2-4x=0,求函数F(x,y)=x~2+y~2-8x+16的最小值.     

谈一类新定义下的函数问题的求解策略

在近几年的高考中经常出现一类在新定义下的函数求解问题,不少同学感到困难较多. 现举例来说明这类问题的求解策略. 一、运用函数的最值求解例1 对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意x∈[m,n],均有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在[m,n]上是接近的,否则称f(x)与g(x)在     

函数不动点及应用

设f(x)是一个关于x的代数函数,我们称方程f(x)=x的根为函数f(x)的不动点.本文从五个方面讨论求解函数不动点及利用函数不动点求解问题. 一、求解f(k)的不动点的问题求解f(x)的不动点问题时需运用各种方法与技巧. 例1 G是形如f(a)=ax+b,(a和b都是实数)的实变数x的非常数函数集,且G具有下列性质: (1)若f、g∈G,则gof∈G,其中定义(gof)(x)=g[f(x)];     

一道试题的探究、推广及应用

<正>一、引例利用函数的对称性求参数的问题,是各类考试中比较常见的类型.其通法是"取两个对称的特殊值代入求解",往往过程容易、速度快捷.但并不是每个问题都能采用特殊值法,个别题目在解题过程中可能会遇到一些障碍.例题设f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,求a的值.解法1依题意,有f(x)=f(2-x),     

巧求分式型目标函数最值

<正>函数最值问题是历年高考的必考内容.其中有一些基础题,也有一些小综合的中档题,更有一些难题,特别是最近几年函数最值问题从目标函数的形式上看变化越来越多,从二次函数最值到无理函数最值,而其中分式型目标函数学生在解题过程中相对来说比较困难.下面,我们举例说明如何求解分式型目标函数的最值.一、条件、结论巧分析例1设x2+y2=4,则2xy x+y-2的最小值为.分析本题中目标函数为2xy x+y-2.从形式上看,含有两个变量x,y,并且为分式形     

常见的二元表达式范围问题的处理途径

二元表达式是指含有两个变量的表达式,通常记为f(x,y),有关二元表达式的值域、最值问题是近几年高考中的常考题型. 题型的一般表述:已知f(x,y)=c(c是常数),求g(x,y)的范围或最值等. 常见的处理方法: 1 把二元函数问题转化为一元函数问题求解 把二元函数问题转化为一元函数问题的解题思路为: (1)利用f(x,y)=c求出x的可取范围D;     

配方法在三角中的应用

<正> 配方法是一种重要的数学方法,它在三角中也有广泛的应用. 一、求三角函数的最值和范围如果所要解决的三角问题可转化为关于正、余弦函数的二次函数问题,那么,它们都可用配方法来求解. 例1 求函数y=sin2x-cosx+2的最值及相应的x的值(0≤x≤π).     

三角函数求最值问题的一些探索

<正>求三角函数的最值是高考的热点问题之一,解决此类问题的思维方法一般是数形结合,充分利用函数的图像和性质,下面举例说明。1.利用两种方法求解函数y=(asin x+b)/(csin x+d)或y=(acos x+b)/( ccos x+d)的最值。例1求函数f(x)=(sin x-1)/(2sin x+3)+2的     

构造函数 运用等价关系解题

<正>在函数f(x)的一个单调区间内,f(x1)=f(x2)与x1=x2是等价的.对于某些问题,如果能够根据其特征构造出一个单调函数来,然后运用这种等价关系进行求解,可使求解问题的思路较为明晰,而且求解问题的过程也会大大简化.本文举例说明,f(x1)=f(x2)与x1=x2的等价关系在解方程和求函数值两方面中的一些应用.     

求函数的值域的常用方法

在函数y=f(x)中,与自变量x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.求函数值域有以下几种常用方法.一、基本函数法对于基本函数的值域,可通过它的图象及性质直接求解.例1求y=(1/3)~(|x|)的值域.     

三角函数最值问题的几种基本型及解法

解决三角函数最值问题的基本方法就是化归为基本型。三角函数最值问题常见有以下几种基本型。1.y=asinωx+b(y=acosωx+b)利用函数单调性及三角函数有界性求解。     

例谈中考函数最值问题的求解策略

正最值问题是中考数学中常见的一种题型,求解的关键在于根据题设条件和结构特点,灵活选取适当方法.本文拟例谈在初三复习过程中,如何引导学生利用函数的增减性求解这类问题的基本策略.1运用一次函数最值求解问题一次函数y=kx+b中,x,y均可取一切实数.如果缩小x的取值范围,则其函数值就可能会出现最大值或最小值.     

例说导数在三角函数中的应用

导数应用相当广泛,各类杂志已有多文介绍过它在函数、不等式中的应用,本文介绍导数在三角函数中的应用.三角函数中涉及到的最值和单调区间等都可以利用导数知识求解,利用导数求解三角函数的问题,或可避开较强的解题技巧,或可使解题思路清晰,解题过程简捷明了.1涉及到三角函数最值的问题例1已知函数y=sin 2x acos 2x图象的一条对称轴为x=-π8,求a的值.分析本题一般先化为y=a2 1sin(2x φ)的形式,然后在2x φ=kπ π2(k∈Z)中令x=-π8进而求解;或在等式f-π8-x=f-π8 x中赋值求解.由三角函数的图象可知函数在对称轴点处取到最值,利用导数知识…     

求二元函数条件最值的十种方法

二元函数f(x，y)是指含有两个变量x，y的函数，本文概述当变量x、y满足条件g(x，y)=0(或g(x，y)&;gt;0)时，函数f(x，y)最值问题求解的十种方法，并举例说明。     

浅谈函数最值求法

函数是中学数学的主要内容.几乎可以用函数为纲,把中学数学各方面内容有机结合起来,许多数学综合题,可以转化为函数的问题进行讨论.函数是高考重点考查对象,而函数最值又是高考考查的重点,每年必考.虽然教材上没有归纳介绍求解方法,但也不是完全无章可循.只要认真地分析所给的函数特点,灵活地运用所学的知识,是不难找到解决问题的途径和方法的.笔者从多年在一线的教学体会中对函数的最值问题解法归纳举例如下:一、观察法通过观察而确定函数最值的方法.例1.求函数y=x2+x+5x2+x+1的最大值.解:∵x∈R又y=1+4x2+x+1=1+(x+142)2+34≤1+344=139∴…     

“恒成立”问题的三种常见思维策略

一、主元法例1 对任意a∈[-1,1],函数y=x2 (a-4)x 4-2a的值恒大于0,求实数x的取值范围. 分析:已知函数是关于x的二次函数,直接求解有困难.若换一角度,视为关于a的函数,则问题大大简化.     

《一次函数》专题复习导航

一、知识要点回顾 1．函数的概念 在某变化的过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有惟一确定的值与它对应,那么称x是自变量,y是x的函数．     

例谈一类无理函数的值域问题

<正>形如y=af(x)(1/2)+bg(x)(1/2)+c的函数是一类含双平方根式的无理函数,这类函数的值域(最值)问题在高三理科数学复习中是一个难点内容,也是近几年高考命题的热点.这类问题的求解涉及函数、几何、三角、向量以及不等式等数学知识,具有较强的综合性,若学生没有掌握比较系统的数学知识,解决这类问题是有一定困难的.为此,笔者对这类问题的求解方法进行了总结与归纳,现将几     

用辅助角公式求解最值问题

<正>众所周知,形如y=asin x+bcos x型的三角函数,常采用如下变形:■其中■这一公式通常称为辅助角公式,它在求解函数最值问题上有着很重要的作用,在高考题和模考题中多有体现.一般来讲,有些问题的表述使得学生常常想不到运用此类方法求解.本文以高考、模考题为例,浅谈该公式在求解函数最值问题