一个不等式的推广

设a、b、c为正实数,则有 222[1]1(),2abcabcbccaab (1) 222[2]1().2abcabcabbcca (2) 文[3]将不等式(1)、(2)统一推广为 定理1 设a、b、c为正实数,l、m、u是不全为零的非负实数,则有 2aabcabclmulmu 宄 . (3) 其中表示对a、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lmu==时成立. 本文从指数方面考虑,给出不等式(3)的推广. 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、u是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabclmulmu-- 宄 . (4)证明 22()mmaaabcabclmulmu=? 22()()maabclmu? (根据Cauchy不等式)① 22()()maalmu= …     

一个不等式猜想的证明

文[1]给出了如下不等式: 设,,abc为正实数,l、m、g是不全为零的非负实数,则 2aabcabclmglmg++宄++++, 其中表示,,abc的循环和,当且仅当abc==或0l,0mg==时成立. 文[2]将其推广为: 设12,,,nxxxL为正实数,12,,,nlllL是不全为零的非负实数,2m,则 11122mnnxxxxlll+++L 211212()mmnnnxxxlll--++++++LL. 其中表示对12,,,nxxxL的循环和. 文[2]还指出:当2m>时,上述不等式中等号成立当且仅当12nxxx===L,并猜想:当2m=时,当且仅当12nxxx===L或10,l 230nlll====L等号成立. 本文将给出文[2]中不等式的均值证法,并由此证明该文所提出的猜想. 1 当2m=时,…     

循环不等式的一个推广

设,,abc皆为正实数,则有 32cbabacabc++?++, (1) 等式成立当且仅当abc==. 不等式(1)是广为人知的循环不等式[1]、[2],并且已推广到多元情形[3],本文给出它的一个加权形式的推广. 定理 设,,abc皆为正实数,,,lmu是不全为零的非负实数,且2mul+?则有 ababcbcalmulmu+++++ 3ccablmulmu+?+++, (2) 等式成立当且仅当lmu==或abc==. 为证明定理,我们先给出一条引理: 引理[4] 设,iaR(1,2,,),ibRin?L则有 22111()niniiniiiiaabb===, 等式成立当且仅当1122///nnababab===L. 定理的证明 由假设,不等式(2)的左边的三个分母均大于零,于是…     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

一道竞赛题的改进与巧证

第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) >a~3+b~3+c~3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) ≥a~3+b~3+c~3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)     

向量共线条件的等价命题及其应用

人教社版全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第一册(下)P104给出了两个(平面)向量共线的一个充要条件是定理1向量br与非零向量ar共线的充要条件是有且只有一个实数l,使bal=rr.下面我们将给出这个定理的两个等价命题,并举例说明其应用.定理2向量ar与br共线的充要条件是存在不全为零的实数,mn,使0manb =rrr.证明必要性.设ar与br共线.若0a=rr,取1,0mn==知0manb =rrr成立;若0arr时,则由定理1知存在实数l,使0abl-=rrr,取,1mnl==-知0manb =rrr成立.充分性.设有不全为零的实数,,mn使0manb =rrr.当0a=rr时,已有ar与br共线;当0arr时,必…     

用向量证柯西不等式,很简捷!(高一、高二、高三)

设Ⅱ1,a2,…,a。;bl,bz,…,b。为两组实数,则有不等式(ni+n;+…+n;)(6}+b;+…+b;) ≥(。1b1+a2b2+…n。b。)。,其中等号当且仅当等一万a2一·一ian时取得.这就是很有用的著名的柯西不等式,现在我用向量证明: 若ai(i一1,2,…,”)全为零时,不等式显然成立. 若b:全为零时,不等式也显然成立. 若a。和bi都不全为零时,构造向量 X={a1,a2,…,a。},Y一{bl,bz,…,b。}并设向量的夹角为臼,则 (“1 b1+a2bz+…+a.b。)。 一(xy)。一J z l。J Y J。COS。0≤J X卜J Y J 一(a}+ai+…+ai)(b}+b;+…+b;), 当且仅当cosO一0,即x∥Y时等号成立, 当x∥y D~…     

一个不等式猜想的再推广及简证

宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下: 猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1. 文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广: 推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初343已知x、y为正实数,n∈N,且n≥2.证明: n√x+(2n-1)y/x+n√y+(2n-1)x/y≥4. 初344 在边长为2的正方形ABCD中,动点E、F均在边AD上,满足AE=DF,联结CF与对角线BD交于点Q,联结AQ、BE交于点P.求DP的最小值. 高343设a、b、c＞0,且abc=1,λ(λ≥1)为常数.证明:a1/a+b+λ+1/b+c+λ+1/ρ+δ+λ≤3/2+,当且仅当a=b=c=1时,上式等号成立.     

三个平均不等式的应用

首先,我们规定:a、b、c为正数。 (a~2+b~2+c~2)/3~(1/2)表示三个正数的幂平均;(a+b+c)/3表示三个正数的算术平均;(abc)~(1/3)表示三个正数的几何平均。有(等号当且仅当a=b=c时成立)不等式②是高中三册P62定理2的推     

Pham Kim Hung不等式加强的再探究

正Pham Kim Hung不等式:设a,b,c≥0,a+b+c=2,证明:a~2b~2+b~2c2+c~2a~2+abc≤1①.当且仅当a=b=1,c=0及其循环排列时等号成立.这是Pham Kim Hung在《不等式的秘密》(第一卷)中提到并证明的一个有趣的不等式,文[2]将该不等式加强为     

应用等比定理要注意条件

等比定理“b/a=c/d=…=m/n(?)(a c … m)/(b d … n)=a/b”是平几里成比例的线段一节的定理。其中字母 a、b、c、d、…m、n 都表示线段,属正实数,和式“a c … m”与“b d … n”也表示线段,亦为正实数。如果我们将定理中各元素所属范围加以扩充,不难证明:当 a、b、c、d、…m、n 及 a c … m,b d … n 均为非零实数时,定理依然成立。这样,定理便可广泛应     

一个代数不等式的几何解释

定理 对任意实数a、b、c、d有 (a~2 b~2 c~2 d~2)~2 ≥(-a b c d)(a-b c d) ·(a b-c d)(a b c-d),①当且仅当a=b=c=d>0时等号成立.     

二维柯西不等式的教学后反思

1柯西不等式的证明定理(柯西不等式)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.证法1(比较法)因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2     

利用待定系数法求一类函数的最小值

由绝对值的意义考虑,可以得出如下基本性质:(1)若0<|a|<1,则|x|≥|ax|,当且仅当x=0时等号成立.(2)若a、b为实数,则|a|+|b|≥|a+b|.当a、b同号,或者a、b中有一个为0时等号成立(3)若a、b、c为实数,则|a|+|b|+|c|≥|a+b+c|.当下列之一情形时等号成立.①a、b、c同号;②a、b、c中有两个为0;③a、b、     

柯西不等式中取等条件的妙用

设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.     

不等式a~(m n) b~(m n)≥a~mb~n a~nb~m的应用

定理 设a,b∈R_ m,n∈Z,且m,n同号,则a~(m n) b~(m n) b~(m n)≥a~mb~n a~nb~m,当且仅当a=b时等号成立。     

一道竞赛题的三角证法

2010年全国高中数学联赛广东省预赛题解答题第3题为:设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca     

两个重要不等式的内在联系

定理1 如果a,b∈R那么a~2 b~2≥2ab(当且仅当a=b时取等号) 推论如果a,b∈R~ 那么(a b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取等号) 定理2 如果a、b、c∈R~ 那么a~3 b~3 c~3≥3abc(当且仅当a=b=c时,取等号) 推论如果a、b、c∈R~ 那么(a b c)/3≥(abc)~(1/3)(当且仅当a=b=c时,取等号) 以上两个重要不等式,在六年制高二代数上都作了在内容上彼此独立、在方法上各不相同的证明。教材对前者采用综合法证明,后者采用的是比较法。后者证明就其方法可取,但就其过程来讲倒觉得有些冗长。以上两个定理(含推论)有没有联系呢?回并是肯定的,事实上,它们之间是完全可以互相推证。 (—) 用定理1的推论证明定理2     

如何利用均值不等式求最值

一、均值不等式1.如果a,b∈R ,那么a2 b≥ab,当且仅当a=b时取等号.即若ab为定值时,当且仅当a=b时,a b有最小值2ab;若a b为定值时,当且仅当a=b时,ab有最大值a b22.2.如果a,b,c∈R ,那么a 3b c≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号.即若abc为定值时,当且仅当a=b=c时,a b c有最小值33abc;