第42届IMO预选题解答(上)

1．设T表示由非负整数组成的三元数组（p,q,r)所构成的集合．求所有函数f:T→R，     

第41届IMO预选题解答(下)

数论部分1.求所有正整数n≥2,满足对所有与n互素的整数a和b,a≡b（mod n）当且仅当ab≡1（mod n）.解:所给条件等价于满足（a,n）=1的每个整数a,a2≡1（mod　n）.事实上,若a≡b（mod　n）等价于ab≡1（mod　n）,则由ab≡1（mod　n）,当b=a时,即有a2≡1（mod　n）.     

第50届IMO预选题（一）

代数部分 1．求最大的整数k,使得下列命题为真．已知任意2009个非退化的三角形．将每个三角形的三边染上颜色,且一条边染上蓝色,一条边染上红色,一条边染上白色．     

第44届IMO试题解答

1 .设S ={ 1,2 ,… ,10 0 0 0 0 0 } ,A为S的一个恰包含 10 1个元素的子集合 .证明 :在S中存在数t1,t2 ,… ,t10 0 ,使得下列集合Aj={x +tj|x∈A} ,j=1,2 ,… ,10 0中的任意两个都不相交 .2 .求所有的正整数对 (a ,b) ,使得 a22ab2 -b3 +1为正整数 .3.给定一个凸六边形 ,其中的每一组对边都具有如下性质 :这两条边的中点之间的距离等于它们的长度之和的 32 倍 .证明 :该六边形的所有内角相等 .(一个凸六边形ABCDEF共有三组对边 :AB和DE ;BC和EF ;CD和FA)4.设ABCD是一个圆内接四边形 .从点D向直线BC、CA和AB作垂线 ,其垂足分别…     

第54届IMO预选题（四）

数论部分 1．求所有函数f：Z＋→Z＋,使得对于所有正整数m、n,均有（m^2＋f（n））｜（mf（m）＋n）．     

第51届IMO预选题（四）

数论部分 1．求最小的正整数n,使得存在n个不同的正整数s1,s2,…,sn,满足     

第53届IMO预选题（四）

1．设A为整数集合,若对于任意的x、y∈A（允许x、y相同）,及每个整数k,均有戈。＋kxy＋y2∈A,则称集合A是“允许的”．求所有非零整数数对（m,n,）,使得包含m、n的唯一允许的集合是由所有整数构成的．     

第46届IMO预选题(中)

数论部分 1．本届1510第1题． 2．本届1510第2题． 3．已知正整数口、b、c、d、e、f满足和S=a＋b＋c＋d＋e＋f     

一道IMO预选题的简证

题目 已知△ABC，点X是直线BC上的动点，且点C在点B、X之间．又△ABX、△ACX的内切圆有两个不同的交点P、Q．证明：PQ经过一个不依赖于点X的定点。     

第43届IM0预选题解答(下)

组合部分 1.本届IM0第1题. (哥伦比亚提供) 2.已知n×n(n是奇数)的棋盘上的每个单位正方形被黑白相间地染了色,且4个角上的单位正方形染的是黑色.将3个连在一起的单位正方形组成的一个L形图称为一块"多米诺".问n为何值时,所有的黑格可以用互不重叠的"多米诺"覆盖?     

第43届IMO试题解答

1 .设n为任意给定的正整数 ,T为平面上所有满足x +y 相似文献   

第49届IMO预选题（二）

组合部分 1．考虑平面上边平行于坐标轴的矩形（长和宽均大于0），并称这样的一个矩形为一个“箱子”．如果两个箱子有公共点（包括箱子的内部或边界上的公共点），则称两个箱子“相交”．求最大的正整数n，使得存在n个箱子B1，B2，…，Bn，满足Bi与Bj相交当且仅当i j±1（mod n）．     

第45届IMO预选题(上)

代数部分1.本届IMO第4题.2.已知无穷实数列a0,a1,a2,…满足条件an=|an 1-an 2|,n≥0,其中a0、a1是两个不同的正数.问这个数列是否有界?3.是否存在一个函数f:Q→{-1,1},使得如果x、y是两个不同的有理数,且满足xy=1或x y∈{0,1},则f(x)f(y)=-1?证明你的结论.4.本届IMO第2题.5.设a     

第44届IMO预选题解答(下)

数论部分1.设m是一个大于 1的固定整数 ,数列x0 ,x1,x2 ,…定义如下 :xi=2 i,0 ≤1≤ m - 1,∑mj=1xi-j,i≥ m .求k的最大值 ,使得数列中有连续的k项均能被m整除 . (波兰　提供 )解 :设ri 是xi 模m的余数 ,在数列中按照连续的m项分成块 ,则余数最多有mm 种情况出现 .由抽屉原则 ,有一种类型的情况会重复出现 .因为定义的递推式可以向后递推 ,也可以向前递推 ,所以 ,数列 {ri}是周期数列 .由已知条件可得向前的递推公式为xi=xi m - ∑m -1j=1xi j.由其中的m项组成的余数分别为r0 =1,r1=2 ,… ,rm -1=2 m -1,求这m项前面的m项模m的余数 ,由向…     

第47届IMO预选题(下)

1．有n（n≥2）盏灯L1,L2，…，Ln它们要么开着，要么关着．我们每秒钟按照下列方法同时改变某些灯的开关状态：若前一秒钟Li（i=1，2，…，n）和与其相邻的灯（当i=1或i=n时，仅有一盏灯与其相邻，其他情况有两盏灯与其相邻）处在相同的开关状态，则将Li关上；否则，将Li开着．开始时，只有最左边的一盏灯是开着的．证明：     

第47届IMO预选题(上)

几何部分 1．本届1MO第1题． 2．已知梯形ABCD的上、下底边满足AB〉CD，点K、L分别在边AB、CD上，且满足AK/KB=DL/LC．若在线段KL上存在点P、Q，满足∠APB=∠BCD，∠CQD=∠ABC．证明：P、Q、B、C四点共圆。[第一段]     

第45届IMO预选题(中)

1.一所大学有10 001名学生,一些学生一起参加并成立了几个俱乐部（一个学生可以属于不同的俱乐部）,有些俱乐部一起加入并成立了几个社团（一个俱乐部可以属于不同的社团）.已知共有k个社团.假设满足下列条件：