划分整数集合的相关问题

设集A_1,A_2,…,A_n是集A的非空子集,且满足: (1)A_1∩A_j=(?),(i≠j,i,j=1,2,…,n) (2)A=A_1∪A_2∪…∪A_n。则称(A_1,A_2,…,A_n)为A的一个划分。整数集合的划分在近年数学竞赛中时常出现,其题型通常有两类:一是根据子集应具备的某种特性,讨论划分的存在性;二是根据给定的划分,讨论划分后子集有关特性. 一、求解集合划分问题的基本思路划分一个集合,就是构造这十集合的子集.而这种构造过程经常要综合运用多种数学思想和方法例1 求两个最小的正整数n,使集{1,2,…,3n-1,3n}可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其中x+y=3z (1990年国家集训队训练题) 解:设所求三元数组为(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,…,     

2010女子数学奥林匹克

第一天 1.给定整数n(n≥3),设A1,A2,…,A2n是集合{1,2,…,n}的两两不同的非空子集,记A2n+1=A1.     

数学奥林匹克高中训练题(144)

第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.已知集合M是{1,2,…,2011｝的子集,且M中任意四个元素之和均不能被3整除.则｜M｜max=____2.若n∈N,n≥2,ai∈{0,1,…,9｝(i=1,2,…,n),a1a2≠0,且√a1a2…an - √a2a3 …an=a1,则n=____,其中,a1a2…an为由a1,a2,…an构成的n位数.3.在△ABC中,I是△ABC的内心.若AC+ AI=BC,AB+ BI=AC,则∠B=_____.4.对任意正整数n,记an为满足n｜an!的最小正整数.若an/n=2/5,则n=____.     

第50届IMO试题

第一天 1。设n是一个正整数,a1,a2…,ak(k≥2)是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n|ai(ai+1-1).     

第35届IMO试题解答

1.(法国)设m和n是正整数,a_1,a_2,…,a_m是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当a_i a_j≤n,1≤i≤j≤m,就有某个k,1≤k≤m,使得a_i a_j=a_k。求证:(a_1 a_2 … a_m)/m≥(n 1)/2。 证明 不妨设a_1>a_2>…>a_m,关键在于证明,对任意i,当1≤i≤m时,有     

第50届IMO试题

第一天 1．设n是一个正整数,a1,a2,…,ak（k≥12）是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n｜ai（ai＋1-1）．     

第50届IMO试题解答

1．设n是一个正整数,a1,a2,…,ak（k≥2）是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n｜ai（ai＋1-1）．证明：n ak（a1-1）．     

对一道CMO试题的讨论

题目 给定整数n≥2.设n个非空有限集A1,A2,…,An满足: |Ai△Aj|=|i-j|(i、j∈{1,2,…,n}), 规定 XAY={a|a∈X,a(∈)Y}U{a|a∈y,a(∈)X｝. 求|A1|+|A2|+…+|An|的最小值.[1] （2013,中国数学奥林匹克） 文[1]给出的参考解答,采用配对思想, 简洁有效地得出了所需的下界估计.下面给 出另外两种解法.     

有限簇L—Lipschitzian映象的迭代程序

设E是一实Banach空间,K是E的一非空闭凸子集.设f:K→K是一压缩映象,T1,T2,…,Tn:K→K是具序列{kn}(c)[1,+∞),lim n→∞ kn=1的有限簇一致L-Lipschitzian渐近伪压缩映象,且∩N/(i=1)F(Ti)≠φ.设序列{xn}定义为xn+1=(1-αn-βn)xn+αnf(xn)+βnTrn/nxn,其中{αn},{βn} (c)[O,1],rn=n mod N是值域为{ 1,2,…,N}的模函数.在一定条件证明了迭代序列{xn}强收敛于T1,T2,…,Tn的公共不动点.推广和改进了张石生等人的最新结果.     

容斥原理在中学数学中的应用举例

1引入1.1加法原理设A是一个有限集合,如果Ai(i=1,2,s)是A的子集,且i∪=S1Ai=Ai∪A2∪∪AS=A,Ai∩A j=?(i≠j)则称{Ai|i=1,2,…s}是A的一个分类(或称为划分),通常说为:A=A1+A2+…+AS,每个Ai都称为这个分类的一个类,关于集合的分类,我们有如下的基本原理:加法原理设{}A1,A2,…AS是有限集合A的一个分类,则有:A=A1+A2+…AS,其中A表示集合A中的元素个数.1.2加法原理的推广设A1,A2是两个有限集合,显然有:212121iiA A A A A=∪=∑?∩.上式的右边表明:在计算A1∪A2时,2121iiA A A=∑=+中把A1∩A2中的每个元素个数重复计算一次,因…