幂指函数几个性质的研究

利用f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)(f(x)>0)对幂指函数的极限、微分和积分进行了探讨,获得了应用更广泛更灵活的几个结果:将分式型不定式的等价无穷小代换定理、无穷小比较定理和洛必达法则推广到幂指型不定式中;给出了幂指函数求导的四种方法;得到了一类幂指函数的积分定理。所得结果从理论上系统解决了幂指函数的极限、微分和积分的求解问题。     

谈谈求积分中的“凑微分”法

积分法是微分法的逆运算，但掌握积分法却比微分法困难得多。在积分中，只有少数几类特殊函数的积分（即有理函数积分，三角函数有理式积分及简单无理函数积分）有积分途径可循，而大多数积分要靠灵活运用积分性质，解析式的恒等变形以及换元法和分部法，将所求积分逐步化为熟悉的积分。可见换元法和分部法乃是积分法的重点，而换元和分部的关键则是“凑微分”。对换元法来说，就是将被积表达式g（x）dx中除一个复合函数因子f（φ（x））外的剩余部分φ'（x）dx凑成中间变量φ（x）的微分dφ（x），即：g（x）dx＝f（φ（x））φ'（x）dx＝f…     

例析幂指函数导数问题的解法

一、前言 幂指函数是指形如f（x）^g（x）（f（x）〉0 f（x）≠1）的函数,它既不是幂函数,也不是指数函数,但它却兼备幂函数和指数函数的一些特征．在高职数学的教学中,幂指函数的求导及其衍生出来的计算问题十分常见,但是现行教材上没有现成的公式可以用来套用．因此需要我们自己推导出这类函数的求导公式．本文将举例分析这类函数的一般求导方法．     

如何探求函数f（x）=x^x的单调性与最小值？

问题 如何探求幂指函数f（x）=x^x（x〉0）的单调性与最小值？     

多参数指余密码——多参数码之二

f（x）=g^x modm（x∈z）叫做指余函数,两个指余函数f（x）与g（x）的乘积为f（x） g（x）=g（f（x））。当gi是素数p的一个原根时,Gi={fki（x）／k=0,±1,±2,…．,±Ti}对乘法 成群,其中Ti为基本指余函数的幂周期。从G1,G2,…,Gφ（p-1）诸群中各取若干个元素作乘积,得数论函数F（x）,用F（z）作为加密函数,这种密码叫做多参数指余码。介绍多参数指余码的数学原理及实用性。     

幂指函数求导的一种新方法——指数微分法

统编高中数学课本第四册上有许多属于幂指函数的求导问题。例如96页的例3,97页的例4及练习第3题,100页的第9(2)-(5)题,111页的8(6)(8)等题均属这一类型。所谓幂指函数,是指形如f(x)~(φ(x))的函数。求这类函数的导数,一般资料上都是用对数微分法,即令y=f(x)~ (φ(x))两边同取对数,得ln y=φ(x)ln f(x)两边同对x取导数,得     

利用微分方法计算一类积分问题

一类形如∫f（x）e^ax sinβxdx,∫f（x）e^ax cosβxdx等的积分运算问题利用微分算子方法可以化为微分运算，且使运算简便、快捷．     

对幂指函数求导问题的探究

从函数y=xx出发可以得到一般幂指函数y=f(x)g(x),的一些运算性质,从而帮助我们简便的解决幂指函数的求导数问题.     

两类幂指函数的性态及应用

通过讨论两类幂指函数f(x)=xα/x和f(x)=x1/xα的性态,给出了几种常见的超越方程的根的分布.     

幂指函数求极限

在微积分的学习中，极限是认识和研究变量的重要工具和方法之一，而准确、熟练地计算极限是非常必要的。本文仅对经常遇到的幂指函数，即形如f（x）（f（x）＞0，f（x）≠1的函数的极限求法，试举几例。命题1 若f（x）＝a＞0，且g（x）＝b，则f（x）＝a （或x→∞） 证 f（x）＝e＝e，故limf（x） ＝e＝e＝a命题2 若f（x）＝1，且g（x）＝∞，则f（x）＝e （或x→∞） 证 f（x）＝[1＋（f（x）－1）] ＝ u（x） u（x）→e＞0，故limf（x）＝e例1 求 解 cos＝1，x2＝＋∞， 原式＝e，而·x2 ＝＝－，（利用v→0，1－cosv～） 原式＝e使用上…     

逆转90°后再求平面图形的面积

我们知道,由直线x=a与x=b（b〉a）及曲线y=f（x）与y=g（x）所围成的平面图形（图1）的面积用定积分式子表示为S=∫a^b[f（x）-g（x）]dx（注意：被积函数为上线对应的函数式减去下线对应的函数式）,这就是以x为积分变量的面积定积分式子.     

两类幂指函数的性态及应用

通过讨论两类幂指函数f(x)=x^α/x和f(x)=x^1/x^α的性态，给出了几种常见的超越方程的根的分布。     

振荡积分的数值计算与Matlab实现

本文提出利用样条函数计算 f（x）sintxdx及 f（x）costxdx类型的振荡积分,在每个比较小的子区间采用分部积分法,避免了整体利用分部积分需要计算函数在区间端点处的高阶导数．能提高计算的精确度．     

变限积分函数分析性质的相关定理及其应用

变上（下）限积分函数是一种特殊形式的函数，它主要由被积函数的性质及积分上（下）限的结构来决定．下面分别从被积函数的性质（连续性或可积性）分成两类变上限积分函数，从而给出它们相关的分析性质，分别有定理1若函数f（u）在区间[α，β]连续，f（v）在区间[c，d]连续，且函数U（x），V（x）在区间[a，b]有连续导函数且α=U（a），β=U（b），c=V（a），d=V（b）则变上（下）限积分（复合）函数F（x）=v（x）f（t）dt在区间[a，b]可导且对[a，b]有证明U（x），V（x）在区间[a，b]可导，又函数f[U]在[α，β]连续且U（x）在[a，b…     

一元幂指函数及其应用

在一元函数中,通过对于幂指函数的严格定义,并将其分类,研究幂指函数与幂函数形式的函数、幂函数、指数函数形式的函数和指数函数除了在形式上密切相关外,进一步研究在极限、导数、微分与积分性质等方面的相互关系以及运算和应用.     

正确使用微元法解决旋转体的侧面积问题

求旋转体的侧面积选取ds=2πf（x）1＋（f（x））^2dx为微分元素,而不选取ds=2πf（x）dx.本文证明了当Δx→0时,ΔS-2πf（x）dx不是比Δx高阶的无穷小,而ΔS-2πf（x）.（1＋（f（x））^2dx是比Δx更高阶的无穷小.     

与变限积分有关的一类问题的求解

一、变限积分及其导数设函数／（x）在区间[a,b]上连续,x为区间［a,则上的任意一点。由于八X）在区间,[b]上连续,因而在卜,XI上连续。因此定积分If（Odt存在。这个变上限的定积分叫做变上限积分。由于对每一个XE,则变上限积分V（Z）a都有一个确定的值与之对应,因此它是定义在卜,b］上的函数。定理如果函数f（x）在区间,[a,b]上连续,则变上限积分V（2）对上限X的导数,等于被积函数的上限X处的值,即包j（t）dt＝f（1’）。该定理建立了导数与积分的联系,证明了连续函数存在原函数,并且指明变上限积分If（t）dt就是f（X）…     

从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系

通过一类考研题的讨论,表明不定积分∫f（x）dx只能作为运算符号,无法用来讨论f（x）的某一原函数的性质;而变限定积分函数∫a^xf（t）dt为某一确定的原函数。可以用它来讨论f（x）的原函数的性质;如函数的奇偶性、单调性、极值等．     

无穷积分的收敛与被积函数极限之间关系的探讨

文章讨论无穷积分∫_a^(+∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→+∞时的极限情况。方法:利用函数f(x)在[a,+∞)上一致连续的一些性质、结论和一些新颖的实例。结果:给出了无穷积分∫_a(+∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→+∞时的极限情况。方法:利用函数f(x)在[a,+∞)上一致连续的一些性质、结论和一些新颖的实例。结果:给出了无穷积分∫_a^(+∞)f(x)dx的被积函数极限limf(x)x→+∞的一些条件及其证明。结论:若无穷积分∫_a(+∞)f(x)dx的被积函数极限limf(x)x→+∞的一些条件及其证明。结论:若无穷积分∫_a^(+∞)f(x)dx收敛时被积函数极限为零,必须附加一定的条件才能成立,这与数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是有差别的。     

积分第二中值定理的中值点ξ的进一步研究

主要研究按积分第二中值定理结论∫a^xf（t）g（t）dt=f（a）∫a^ξg（t）dt＋f（x）∫ξ^xg（t）确定的中间点ξ作为x的函数,其一一对应性和严格单增性。