三角形“四心”到各边距离的不等式链

设△ABC的垂心H、内心I、重心G、外心O到三边的距离之和分别为∑HD_1,∑ID_2,∑GD_3,∑OD_4,我们有 以上不等式链中,①对锐角△ABC成立,而②,③对任意△ABC成立(等号当且仅当△ABC为正三角形时成立). 证明:设R、r与s分别为△ABC的外接圆、内切圆半径与半周长,则有     

关于锐角三角形内任一点的一个不等式

定理设P是锐角△ABC内部的任意一点,△ABC、△BPC、△CPA、△APB的面积分别为△、△a、△b、△c、;△ABC的外接圆半径为R;PA=Ra,PB=Rb,PC=Rc,则有 Σ△aRa≤△·R (1) 等号成立当且仅当△ABC是正三角形且P是△ABC的中心. 其中Σ表示循环和,下同. 为证明定理,需要下面的 引理 1P为锐角△ABC内部的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F,垂足△DEF的面积为△p,则有     

由两个几何不等式引出的讨论

例 1　设 O为△ ABC的外心并且△ BOC、△ COA、△ AOB和锐角△ ABC它们的外接圆半径分别为 R1 、R2 、R3 和 R,2 0 0 3年郭要红先生建立了不等式 :[1 ]R1 +R2 +R3 ≥ 3 R 1笔者在证明 1的过程中发现 1式还可加强为 :1R1+1R2+1R3≤ 3R 2由 Wolseenholme不等式 ,其证明过程如下 .有定理 1,设 x,y,z为正实数 ,在锐角△ ABC中有 xR1+yR2+zR3≤ 1R( yzx +zxy +xyz) 3证明 3式需要如下引理 1.引理 1[2 ]　 ( Wolseenholme不等式 )设 A、B、C为△ ABC的内角 ,x,y,z为实数 ,则x2 +y2 +z2≥ 2 yzcos A +2 zxcos B +2 xycos C 4当…     

欧拉不等式一个加强的再改进

<正>设△ABC的三边为a、b、c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,则有著名的欧拉不等式R≥2r.文\[1\]中建立了如下三角形式的加强.定理1设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径,则有(Σ表示循环和)■当且仅当△ABC为正三角形时取等号.由于式(1)可改写为■,由熟知的不等式■,可知式     

关于三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式,这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1 429题(2003年第5期)与1 531题(2005年第2期).命题1设O为锐角△ABC的外心,△OBC,△OCA,△OAB,△ABC的外接圆半径分别为R1,R2,R3,R,则有不等式R1R2R3≥R3,(1)1R1+1R2+1R3≤3R,(2)1R21+1R22+1R23≥3R2,(3)三式中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.图1证因为O为△ABC的外心,所以∠BOC=2A.于是2R1=BCsin 2A=2R sin Asin 2A=Rcos A.同理2R2=Rcos B,2R3=Rcos C,从而R1R2R3=R38cos A cos B cos C,1R1+1R2+1R3=2R(cos A+cos B+…     

从Σsin(A/2)cos(B/2)的上下界谈起

设A、B、C表示△ABC的三个内角,s、R、r分别表示△ABC的半周长、外接圆半径和内切圆半径,表示循环和.定理1在△ABC中,有33sincos2224sABR澹,(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明不失一般性,无妨设,ABC#由A、B、C为△ABC的三个内角,则,,(0,)2222ABCp.由于在区间(0,/2)p内     

关于欧拉不等式的三维推广

平面几何中,有一个欧拉不等式: 设△ABC的外接圆和内切圆的半径分别是R和r,则 R≥2r。其中等号当且仅当△ABC是正三角形时成立。这个结论在三维空间中可推广如下: 设四面体A_1—A_2A_3A_4(简记四面体A,下同)的外接球和内切球的半径分别是R和r,则     

锐角三角形垂心的一个性质

众所周知,锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.由此可以证明:定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的二倍.设 O 为△ABC 垂心,过 A,B,C 作其     

第42届IMO试题解答

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则     

一道美国数学奥林匹克试题的注记

题目 设锐角△ABC的内切圆、外接圆分别为ω、Ω,外接圆半径为R．圆ωA与Ω内切于点A且与圆ω外切;圆ΩA与Ω内切于点A且与圆ω内切．设PA、QA分别是圆ωA、ΩA圆心．同理,定义点PB、QB、PC、QC．证明：8PAQA·PBQB·PCQC≤R^3,①当且仅当△ABC是正三角形时,上式等号成立．     

活跃在高考中的三角形的“四心”

1．相关知识链接 设△ABC的重心为G,垂心为H,外心为O,内心为I,外接圆、内切圆半径分别是R,r．     

三角形垂心坐标公式应用二三例

以△ABC外心O为原点建立坐标系,R为外接圆半径,则顶点坐标可设为 A(Rcosα,Rsinα), B(Rcosβ,Rsinβ), C(Rcosγ,Rsinγ). 设H(k,l)为△ABC垂心,则可以证明例1.(欧拉定理)试证△ABC的外心O、垂心G和垂心H共线.     

三角形的外心到各边距离的一个不等式

定理 △ABC中,O为外心,OA_1⊥BC于A_1,OB_1⊥AC于B_1,OC_1⊥AB于C_1,R为外接圆半径,则(R-OA_1)(R-OB_1)(R-OC_1)≤1/8·R~3。 证明 分三种情况: (1)△ABC为锐角三角形。     

一个几何命题的证明

命题:二角形的外心至三边距离的和等于它的外接圆半径与内切圆半径之和。已知:O为△ABC的外接圆的圆心,OD、OE、OF为由O至BC、CA、BA的距离,R为它的外接圆半径、r为它的内切圆半径。求证:OD+OE+OF=R+r 本题见于几何辞典(日本,长泽龟之助著,薛德烱等译,新亚书店出版)第293页第1425题。原书的证明是这样的:命△ABC的面积为△,则R=abc/4△,r=△/s=△/(1/2)(a+b+c)     

非钝角三角形几何元素R,r与s的一个不等式

设△ABC的外接圆半径与内切圆半径及半周长分别为R,r,s,则有不等式: s4-2(2R2+10Rr-r2)s2+r(4R+r)3≤0, (1) 等号当且仅当△ABC为等腰三角形时成立.     

三角形的“心距”计算公式

1765年,瑞士数学家欧拉(Euler)发现了如下定理:定理1(欧拉定理) 设△ABC的外接回、内切圆的半径分别为R、r,其外心到内心的距离为d,则d~2=R~2-2Rr这个优美对称的结果,激发我们去寻求三角形中其它特殊点如重心、垂心、内心、外心之间的距离的计算公式.对此,我们有如下的定理2(心距定理) 设△ABC的三边为a、b、c,外接圆、内切圆半径分别为R、r,其外心、内心、垂心到重心的距离分别为e、f、g,外心到垂心的距离为k,则     

一个几何不等式猜想的肯定

第一届全国几何不等式研讨会上,刘健和刘毅老师曾提出如下的 猜想 设△ABC的三条内角平分线的长分别为t_a,t_b,t_c,其外接圆与内切圆的半径分别是R与r,则 t_a~2 t_b~2 t_c~2≥(27/2)Rr. (1) 当且仅当△ABC为正三角形时等号成立. 本文将对(1)给出肯定的回答。 证明 设BC=a,CA=b,AB=c,且△ABC的面积为S,则有     

垂足三角形的几个有趣性质及其猜想

设△DEF为锐角△ABC的垂足三角形(如图).并设△ABC的三内角为A、B、C;三边BCa=、CAb=、ABc=;0EFa=、FD0b=、0DEc=.分别设△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R、0R、1R、2R、3R;r、0r、1r、2r、3r;P、0P、1P、2P、3P和D、0D、1D、2     

垂足三角形旁切圆半径的一组不等式

文[1]给出:若△DEF 是锐角△ABC 的垂足三角形,且记 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC 的面积、外接圆半径分别为△和 R,△DEF 旁切圆半径依次为 r_D,r_E,r_F,则有(r_D)/(cot A)=(r_E)/(cot B)=(r_F)/(cot C)=△/R.(*)定理设△DEF 为锐角△ABC 的垂足三角形,记号同     

关联三角形四个内切圆的一组等式

定理 设△ABC内切⊙I（r）的三条切线DE／／BC,FG／／CA,HK／／AB,BC=a,CA=6,AB=c,△ADE、△BGF、△CHK内切圆半径分别为ra、rb、rc,△ABC外接圆半径为R,半周长为s,面积为△,则如下八个等式成立：