巧证两道IMO试题

定理 圆心不共线的三圆两两相交,则三条公共弦共点。 为方便起见,我们给出统一的解析证明, 设⊙O_i(i=1,2,3)的方程为:x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0. 将它们两两相减得公共弦方程: l_1:(D_-D_2)x (E_1-E_2)y F_1-F_2=0, l_2:(D_2-D_3)x (E_2-E_3)y F_2-F_3=0, l_3:(D_3-D_1)x (E_3-E_1)y F_3-F_1=0. 由于圆心不共线,故设l_1与l_2的交点P的坐标为(x_0,y_0),易验证:P∈l_3,即l_1,l_2,l_3,交于点P. 本文巧用定理证明两道IMO试题. 例1 (1MO36-1)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同点,分别以AC,BD为直径的圆相交于X,Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N,试证AM,DN,XY三线共点.     

第48届IMO试题4的简证

2007年第48届IMO试题的第4题为：在△ABC中,△BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点尺,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q,设K,L分别是边BC,AC的中点．求证：△RPK和△RQL的面积相等．     

第46届IMO两道试题另解

题1 设a1，a2，…是整数序列，其中有无穷多项为正整数，也有无穷多项为负整数．假设对每个正整数n，数a1，a2，…，an被n除的余数都各不相同．证明：在数列a1，a2，…中，每个整数都刚好出现一次．     

第40届IMO一道试题的别证

试题：（IMO,1999）设a,b,c≥0,且abc=1,求证： （a-1＋b^-1）（b-1＋c^-1）（c-1＋a^-1）≤1.（1）证：作变换a=x/y,b=y/z,c=z/x,其中x,y,z〉0,     

第32届IMO一试题的推广

第32届IMO第一题是: 已知△ABC,设I是它的内心,角A,B,C的内角平分线分别交其对边于A’,B’,C′。求证: 1/4∠AI·BI·CI/AA′·BB′·CC′≤8/27 本题可作如下推广命题1 已知I是△ABC内的任一点,直线AI,BI,CI分别交BC,CA,AB于 A′,B′,C′,则 (1) AI·BI·CI/AA′·BB′·CC′≤8/27,其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立 (2)当I位于以△ABC的中位线为边的△DEF内时,AI·BI·CI/AA′·BB′·CC′≥1/4,     

两道IMO试题探秘

题1设x,y,z为非负实数,且x+y+z =1,则0≤xy+yz+zx-2xyz≤7/（27）.（第25届IMO）题2正实数a,b,c的和为1,求证:（ab）^5/4+（bc）^5/4+（ca）^5/4<1/4.（04年IMO中国国家队培训题）这两道题的形式、结构及其中的指数都不相同,从表面上看没有联系,然而,在本质上这两道题联系紧密.为了挖掘这两道题深层的联系,不妨先加强或推广这两道题.     

一道IMO试题的又两种简证

题目:已知x、y、z)o,且x y十z一1,、_、一_,二_,7水址:U气xy十y二十zx一艺了yz哭不万 乙了 这是第25届I人了O试题.贵刊在1997年第2期和1998年第3期中分别刊登了董大禄,杨仁宽两位老师的简证,本人再给出两种简证.利用一次函数的单调性 证明:①当二、y、z中有一个为零时,不妨设二一。 /(y十z)21一7则了, 、忆 zx一Zx,z一v￡毯一一二<六,·、一护·一-·------一2-~44一27’原不等式成立.②当二、y、二中有两个为零时,不妨设x-y一。,则二y y二 二x一Zxy二一。,原不等式显然成立.③当二、夕、二全不为零时,由对称性,不妨设x)y)二,则。相似文献   

一道IMO试题的简证

题目已知 x,y,z≥0,且 x y z=1.求证:0≤xy yz zx-2xyz≤7/(27)这是第25届 IMO 试题,文[1]给出的“巧证”,巧在将“1”整体代入,但过程较繁,其实,灵活运用有关三角公式来证明此题将较为简捷.     

一IMO试题的简证

《中学数学月刊》1999年第2期第32页例7:“设x,y∈R_ ,且x y=1,求证:(1 (1/x))(1 (1/y))≥9。”(第三届加拿大IMO试题)。     

第37届IMO第2题简证

题目:设P为△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又设D、E分别是△APB及△APC的内心证明:AP、BD、CE交于一点。     

第42届IMO第2题简证

第 42届 IMO第 2题是 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab≥ 1.(1)这是一个形式优美的不等式 ,文 [1]介绍了一种基于反证法的证明 .笔者经过思考 ,给出了一种很简洁的直接证法 .证明　 (a43 +b43 +c43 ) 2 - (a43 ) 2=(b43 +c43 ) (a43 +a43 +b43 +c43 )≥ 2 b23 c23 · 4a23 b13 c13=8a23 bc,∴ (a43 +b43 +c43 ) 2 ≥ (a43 ) 2 +8a23 bc=a23 (a2 +8bc) ,∴ aa2 +8bc≥ a43a43 +b43 +c43.同理可证 :bb2 +8ac≥ b43a43 +b43 +c43,cc2 +8ab≥ c43a43 +b43 +c43,以上三式相加 ,即证得 (1)式成立 .第42届IMO第2题简证@姜…     

第28届IMO试题

第一试 地点:哈瓦那,日期:七月十日 (每题7分,时间4去小时) 1.命尸。帆)是集{1,2,…,。少爪保持无个点不动的排列的数「{.求证:」a,劣,nZ劣2汁‘”‘一“几忿“<卫二生-业 汤”一工乙。尸。(。犷、·二,!。 2.锐角三角形ABC的顶角山均内分角线交BC边于L,又交三角形的外接圆于万,过L分别作AB和AC边的垂线乙兀和L刃,垂足是K和M.求证:四边形」KNM的而积竹于三角形ABC的面积. 3.命z,,x:,二二n,是实数,满足条州、,2十:22+.二十‘二1.求证:对于何一整数无)2存在不全为。的整数a,,a:,…,。n使得」a‘J蕊无一l,对于所有的整数艺,井且 第二…     

第35届IMO试题

第35届IMO于1994年7月12日到7月19日在香港举行,69个国家和地区的385名选手参加了角逐。7月12日下午举行了开幕式,7月13日、14日两个上午举行了考试,7月16日下午阅卷、协调完毕,全部选手成绩打印装订成册,7月17日晚上,在香港科技大学承行了本届竞赛最后一次领队会议,经表决,获4O分、41分、42分者为金牌选手,获30分至39分者为银牌选手,19分至29分者为铜牌选手,在全部参赛选手中,有30名选手获金牌(约占全部     

第34届IMO试题

第一天(4个半小时,共三题,每题7分)1.设 f(x)=x~n+5x~n+3,其中 n 是一个大于1的整数.求证:f(x)不能表示为两个多项式的乘积,其中每一个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次.2.设 D 是锐角△ABC 内部的一个     

第51届IMO试题

第51届国际数学奥林匹克（IMO）于2010年7月2日至14日在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳（Astana）举行,来自98个国家及地区的517名学生参加了这次比赛。     

两道IMO试题的血缘关系

(Ⅰ)判断并证明:是否能够在半径为1的圆周上选取1975个点,使得其中任意两点间的直线距离都是有理数.(17届IMO第5题) (Ⅱ)证明:对于任何自然数n≥3,在欧氏平面上存在一个以个点的集,使得每一对点之间的距离是无理数,并且每三个点构成     

第50届IMO试题

第一天 1。设n是一个正整数,a1,a2…,ak(k≥2)是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n|ai(ai+1-1).     

第46届IMO试题

第一天1.在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点:在边BC上选点A1、A2,在边CA上选点B1、B2,在边AB上选点C1、C2,使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等.证明:直线A1B2、B1C2、C1A2共点.2.设a1,a2,…是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数.如果对每一个正整数n,整数a1,a2,…,an被n除后所得到的n个余数互不相同.证明:每个整数恰好在数列a1,a2,…中出现一次.3.正实数x、y、z满足xyz≥1,证明:x5-x2x5 y2 z2 y5y 5z-2y 2x2 z5=z5x-2z 2y2≥0.第二天4.数列a1,a2,…定义如下:an=2n 3n 6n-1(n=1,2,3,…).求与此数…