四边形内勃罗卡角的几个计算公式

若在四边形ABCD内存在点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的几个计算公式.为了叙述方便,假设四边形的边AB,BC,CD,DA的长度为a,b,c,d,边AP,BP,CP,DP的长度分别为m,n,s,t,△ABP,△BCP,△CDP,△DAP的面积依次     

凸四边形内勃罗卡角的一个计算公式

若在凸四边形ABCD内,存在点P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做凸四边形的勃罗卡点,而角α称为凸四边形的勃罗卡角.(见图)关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论凸四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的一个计算公式.为了叙述方     

四边形内勃罗卡角的三个公式

若在四边形ABCD内,存在点P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.(见图1)关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论.本文假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的.文献[2]中利用杨学枝的一个性质.给出了凸四边形内勃罗卡角的一个计算公式,之后文献[3]中利用正弦与余弦定理给出了四边形内勃罗卡角的几个计算公式.本文给出勃罗卡角的三个重要公式,进一步丰富了四边形内关于勃罗卡角的性质.     

勃罗卡点与卢勃罗卡角的几个计算公式

本文以勃罗卡角的问题“ctgx=ctgA+ctgB+ctgC”为先导,在△ABC三边已知的条件下,探讨出“勃罗卡点到三角形顶点的距离的计算公式”是关键,它为解决“勃罗卡角α的计算公式及其最大值”;“勃罗卡点到三角边的距离的计算公式”;“两勃罗卡点之间距离的计算公式”等打下了坚实的基础。而文中的和则是简变形的关键式。     

四边形的勃罗卡角范围

<正>如图,凸四边形ABCD中,点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=θ,则称点P是四边形ABCD的勃罗卡点,而θ叫四边形ABCD的勃罗卡角.本文给出四边形勃罗卡角的范围,并利用文[1][2]的结论,给出几个有趣几何不等式.定理若凸四边形ABCD的勃罗卡角为θ,     

关于勃罗卡角的几个问题

设P为△ABC内一点,且上∠PAC=∠PCB=∠PBA=α,则称P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,(如图1).作为平面几何的亮点名角,二者相辅相存,交相辉映.多层次剖析、全方位透视勃罗卡角,既可以欣赏其优美,领略其精采,又可以激发学习兴趣,磨炼钻研意志.一、勃罗卡角的性质及推论二、性质 如图1,设P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,则ctgα=ctgA ctgB ctgC勃罗卡角的这一性质定理,证法很多,这里只用一种方法证之.证明:∵∠BPC=∠A ∠C=180°-∠B同理上:∠APB=180°-∠A,∠CPA=∠180°-∠C∴ 在△BPC、△APB中用正弦定理可得:     

与勃罗卡点(角)相关的几个命题

近几年，本刊和数学通报发表了勃罗卡点（角）的有关文章，感到很有新意，但与勃罗卡点（角）相关的两组三角形与原三角形的边角关系，还无专文论及，本文提出相关的几个问题并进行论证，请同行赐教．为了研究与勃罗卡点（角）相关的两组三角形，特作如下约定，如图一．1．过△ABC的三个顶点A、B、C依次作CA，AB，BC的垂线，分别相交于A_1、B_1、C_l，则称△A_1B_1C_1为勃罗卡三角形．2．以勃罗卡△A_1B_1C_1，三边上的线段AA_1，BB_1，CC_1的中点O_1，O_2，O_3构成的△O_1O_2O_3称为勃罗卡圆心三角形．命题一任何△ABC，都…     

关于勃罗卡角、点的两个关系式

关于勃罗卡角、点的两个关系式河南石油勘探局职工大学张永召如图，Ｐ为△ＡＢＣ中一点，若∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝α，则Ｐ点称为勃罗卡点，角α称为勃罗卡角．定理１设α为△ＡＢＣ的勃罗卡角，则１ｓｉｎ２α＝１ｓｉｎ２Ａ＋１ｓｉｎ２Ｂ＋１ｓｉｎ２Ｃ．证明...     

两个相关三角形的勃罗卡角的一个性质

性质 设△ABC的中线m_a、m_b、m_c构成△A＇B＇C＇,O、O＇分别是△ABC和△A＇B＇C＇内一点,且∠OAB=∠OBC=∠OCA=α,∠O＇A＇B＇=∠O＇B’C＇=∠O＇C＇A’=α＇,那么α=α＇。 证明 记△ABC和△A＇B＇C＇的面积分别为△、△＇。在△ABC中,由勃罗卡角等式及正、余弦定理,得ctgα=ctgA ctgB ctgC=cosA/sinA cosB/sinB cosC/sinC=(b~2 c~2-a~2)/(2bc sinA) (c~2 a~2-b~2)/(2ca sinB) (a~2 b~2-c~2)/(2ab sinC)=(a~2 b~2 c~2)/(4△)。在△A＇B＇C＇中,同理可得ctgα＇=(m_a~2 m_b~2 m_c~2)/(4△)。据熟知的结论,有 m_a~2 m_b~2 m_c~2=3/4(a~2 b~2 c~2), △＇=(3/4)△, ∴ctgα=ctgα＇。 又α、α＇∈(0,π/2),故α=α＇。     

一个与四边形勃罗卡点相关猜想的否定

文[1]作者提出如下 猜想设P是四边形ABCD的勃罗卡点,角α是四边形ABCD的勃罗卡角。     

圆内接四边形的几个相关四边形

设A_1A_2A_3A_4为⊙O内接四边形,H_1、SH_2、H_3、H_4分别为△A_2A_3A_4、△A_3A_4A_1、△A _4A _1A_2、△A_1A_2A_3的垂心,我们称四边形_1H_2H_3H_4为原四边形的“垂心四边形”。类似地,我们可以定义一个圆内接四边形的“重心四边形”、“内心四边形”。这三个相关四边形有一些有趣的性质。     

关于勃罗卡点的两个命题

本文介绍与勃罗卡点相关的三角形、双圆四边形中的两个命题. 命题1 设P是△ABC的勃罗卡点(如图),△BPC、△CPQ、△APB的内切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△_a、△_b、△_c,△ABC的内切圆半径和面积为r、     

勃罗卡点的两个新性质

命题设点 P 是ΔABC 的一个勃罗卡点,满足∠PAC=∠PBA=∠PCB=θ,点 P′是ΔABC 所在平面上的任意一点,a、b、c 分别是ΔABC 中∠A、∠B、∠C的对边.则     

三角形中勃罗卡点到三顶点距离的几个不等式

设P是AABC内的一点,若∠PAB=∠PBC=PCA=α,则称点P为αABC的勃罗卡点,α称为△ABC的勃罗卡角．关于三角形中勃罗卡点的研究文献已有不少,本文给出它到三顶点距离的几个不等式．为行文方便,记△BC的三内角分别为A,B,     

四边形的几个性质

在你身边首先或大多数见到的几何图形不是点、线、角或三角形,而是像桌面、窗子、屏风、书本、镜框等那样的四边形和车轮、碗口、     

四边形的几个性质

在你身边首先或大多数见到的几何图形不是点、线、角或三角形，而是像桌面、窗子、屏风、书本、镜框等那样的四边形和车轮、碗口、皮球、太阳等那样的圆。因此，四边形也可以作为人们首先要研究的几何图形，四边形有许多性质，其中有一些可能尚未引起你的注意。     

关系四边形的几个命题

命题 1　如图 1 ,在四边形ABCD中 ,F图 1为对角线AC上任一点 ,BF交CD于点E ,DF交BC于点G .P为AC上任一点 ,直线PG交AB于点R ,PD交AE于点H .则R、F、H三点共线 .证明 :因直线AHE截△DCP ,由梅涅劳斯定理得DHHP·PAAC·CEED=1 .①由直线ABR截△CPG得PRRG·GBBC·CAAP=1 .②由直线BFE截△CGD得GFFD·DEEC·CBBG=1 .③①×②×③得DHHP·PRRG·GFFD=1 .对△DPG用梅涅劳斯定理的逆定理知R、F、H三点共线 .命题 2　如图 2 ,在四边形ABCD中 ,F图 2为对角线AC上任一点 ,BF交CD于点E ,DF交BC于点G …     

几个角

数学课上,老师问我们:“一张纸,一刀剪去一个角后,还剩几个角?”“三个角。”同学们异口同声地回答。老师笑了笑,叫我们每人拿出纸和剪刀,自己动手找答案。几分钟后,老师找出三个同学的剪纸贴在黑板上。这时我们才发现:一张纸剪去一个角后,还可以剩三个角、四个角、五个角呢!几