用导数法证明不等式

不等式是高中数学教学的重点和难点,又是继续深造的重要基础,所以不等式一直都是高考命题的热点,常考常新,创意不断.在新课程的高考卷中,应用导数研究函数的性质,应用函数的单调性证明不等式,体现出新的综合热点,充分发挥导数的工具作用.1单变量不等式例1设b>1,求证:1 2b21,f'(x)<0,∴f(x)在(1, ∞)上单调递减,且f(x)在[1, ∞)上连续,f(1)=0,从而①式得证.②欲证:1 2b21),只需证2(b?1)<(1 b2)ln b<0,②设g(x)=2(x?1)?(1 …     

导数法证明不等式之函数巧构造

<正>一、多变量不等式,以其中一个变量为主元构造新函数对于双变量的不等式证明,可以采取"定主元,降辅元"的方法,即先把辅元当成常数,以主元为变量构造一个新的函数,再利用导数法证明不等式。例1已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xln x。(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0相似文献   

两个重要不等式及其在高考中的应用

<正>近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围,其中活跃着一类与"ex"和"ln x"有关的函数不等式.本文通过对两个重要函数不等式及其变式在近几年高考压轴题中的应用为例进行探究,以供大家参考.一、两个重要函数不等式的证明结论 1若x∈R,则ex≥x+1(当且仅当x=0等号成立).证明构造函数f(x)=ex-x-1,求导     

例说切线法证明不等式

<正>函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义就是函数f(x)的图象在x=x0处的切线的斜率,对凹曲线,其各点处的切线都在曲线下方.利用这个几何特性,我们可以根据不等式构造函数,利用切线法证明不等式,本文举例说明.例1正实数a,b满足a+b=1.证明:a2/(a+1)+b2/(b+1)≥13.证明构造函数f(x)=x2/(x+1),则     

两个常见不等式在导数压轴题中的妙用

ex≥x+1和ln (x+1)≤x是两个常见的不等式,当且仅当x=0时,等号成立.要证明这两个不等式可以通过移项构造新函数f(x) =ex-x-1或g(x)=ln(x+1)-x,再利用导数分别求其最小值或最大值的方法.由于证明过程比较简单,这里不再赘述,下面的解题中也将证明省略,将其直接当作结论来用.这两个不等式可直接...     

构造函数,妙用导数解两高考试题

构造函数,将不等式问题化为函数问题,再利用导数来解决,这为简化解题思路提供了新的方法.例1(2004全国卷二22题)已知函数f(x)=ln(1 x)-x,g(x)=xlnx,(Ⅰ)求函数f(x)的最大值.(Ⅱ)设0相似文献   

函数思想在不等式证明中的应用

正函数是中学数学中最为重要的思想方法,一些不等式的证明常常运用函数思想进行求解.下面通过一些典型问题谈谈其在不等式证明中的应用.一、一元不等式的证明对于一元不等式的证明问题可考虑把问题转化为求函数的最大(小)值问题.1.证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)min0;证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)max0.例1当x0时,证明:ln(1+x)x-12x2.分析:不等式ln(1+x)x-12x2可化为ln(1+x)-x+     

导数法证明不等式的函数构造

应用导数证明不等式是导数的一个重要应用,是不等式证明的一种新方法.导数法证明不等式就是根据原不等式的结构特点,构造适当的函数,进而通过求导考察函数的单调性或最值,再利用函数的单调性或最值来证明不等式.导数法证明不等式的关键是构造函数,本文举例说明构造函数的几种方法,供参考.1对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式.例1证明2sin2cos2sin55555ππ π>ππ cos5π.分析题中2π/5、π/5不是特殊角,若用传统方法证明将会很困难,考虑到原不等式两边的结构相同,分别是x sin x cosx…     

构造函数,妙用导数巧解不等式

1问题的提出 (2004年高考全国卷第22题)已知函数f(x)=ln(1 x)-x,g(x)=xlnx. (1)求函数f(x)的最大值; (2)设0＜a＜b,证明 0＜g(a) g(b)-2g(a b/2)＜(b-a)ln2. 此题第(2)个问题用不等式常规证明方法是难以奏效的.     

例述导数在解题中的应用类型

一、证明等式【例1】求证:C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1.证明:由题构造二项式(1 x)n=C0n C1nx C2nx2 … Cnnxn.两端对x求导数得[(1 x)n]=[C0n C1nx C2nx2 … Cnnxn]即n(1 x)n-1=C1n 2C2nx … (n-1)Cn-1nxn-2 nCnnxn-1令x=1得n·2n-1=C1n 2C2n 3C3n … nCnn∴C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1.二、证明不等式【例2】已知m,n是正整数,且2≤m(1 n)m.证明:原不等式等价于不等式nln(1 m)>mln(1 n)即ln(1 n)n1,…     

异路同归构造函数证明不等式

<正>近年的高三模拟试题中,经常出现含有两个变量的不等式证明问题.对这类问题,解决的方法之一是分析题目要求,适当变形,构造出一元函数关系并恰当地运用函数的单调性.下面以涉及导数的几道不等式题目进行分析,供师生参考.例1已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0相似文献   

用导数证明不等式的方法

用导数证明不等式,是证明不等式的一种主要方法。它既不能完全代替其他方法,但对证明不等式具有独特的作用。有些不等式的证明题,用初等数学方法很难证明,用导数证明却很容易。而且用导数证明不等式的规律性较强,一般要先设辅助函数,并求此函数的导数。但用导数证明不等式,设辅助函数要有一定的技巧,证明方法也常因题而异。本文分类举例说明用导数证明不等式的方法。 (一) 用微分中值定理证明例1 求证|arcsinb-arcsina|≥|b-a|。证明若a=b,显然成立,若a≠b,则设f(x)=arcsinx,不妨设-1≤a相似文献   

巧用不等式解压轴题

在人教教材中有一个不等式ex>1+x(x≠0),利用这个不等式及其变形可以证明不等式或恒成立问题,比直接用导数求解要简单,而且可以避免复杂的求导运算。原形:ex≥1+x当且仅当x=0时,等号成立;变形:ln(x+1)≤x(x>-1)当且仅当x=0时,等号成立;用导数证明很容易,过程略。例1(2013年新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ln(x+m)。     

用导数法解不等式恒成立问题

不等式恒成立问题是高考中一类常见的典型问题.这类问题的解决,大多可用函数的观点来审视,用函数的有关性质来处理.而导数是研究函数性质的有力工具,因而将不等式f(x)≥g(x)恒成立转化为F(x)=f(x)-g(x)≥0恒成立问题,再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值,就顺理成章了.一、利用函数的单调性例1(2006年全国卷Ⅱ)设函数f(x)=(x 1)ln(x 1).若对所有x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.解:构造相应函数g(x)=(x 1)ln(x 1)-ax,于是不等式f(x)≥ax转化为g(x)≥g(0)对x≥0恒成立的问题.对g(x)求导数,得g′(x)=ln(x 1) 1-a.令g′(x)=0,解得x=e…     

两个重要不等式及其在高考中的应用

近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围,其中活跃着一类与＂ex＂和＂ln x＂有关的函数不等式.本文通过对两个重要函数不等式及其变式在近几年高考压轴题中的应用为例进行探究,以供大家参考.一、两个重要函数不等式的证明结论 1若x∈R,则ex≥x＋1（当且仅当x=0等号成立）.证明构造函数f（x）=ex-x-1,     

证明不等式的一种解不等式法

证明不等式,方法很多,分析法、比较法、综合法、反证法、换元法及数学归纳法等基本方法.事实上,不少不等式,还可以从解不等式的角度进行论证,从而渗透动静转化的辩证思想,培养学生的能力.例1 已知“a、b、m∈R~ ,且 aa/b(高中《代数》下册 P_(12)例7)证明:令 x=m,构造不等式(a x)/(b x)>a/b……※移项通分得:(b-a)×x/(b(b x)>0     

导数与不等式

通过构造函数,利用导数研究函数的性质(单调性、最值等)与图像,可以用来证明不等式或求解含参不等式中参数的取值范围等问题．一、证明不等式例,已知a,b∈R,求证：(|a b|/1 |a b|)≤(|a|/1 |a|) (|b|/1 |b|)·证明：令f(x)=(x/1 x),x≥0,则f′(x)=(1/(1 x)~2)＞0．故f(x)在[0, ∞)上是单调递增函数．∵|a b|≤|a| |b|,∴f(|a b|)≤(|a| |b|)．即(|a b|/1 |a b|)≤(|a| |b|/1 |a| |b|)=(|a|/1 |a| |b|) (|b|/1 |a| |b|)．     

对一道考题解法的多角度探讨

<正>一、题目与参考答案题目(武汉市2015届高中月考题)设函数f(x)=xln x.(1)求函数f(x)的单调区间和最小值;(2)当b>0时,求证:b^b≥1(1/e)b≥1(1/e)^(1/e);(3)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln 2≥f(a+b)-f(b).本题第(1)问较为简单,第(2)问可借用第(1)问结论证明,第(3)问是二元不等式的证明,证法较多.下面对第(3)问的解法作一     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在…     

导数在证明不等式中的应用

不等式是初等数学的重要内容之一,在初等数学和高等数学中都广为应用,证明不等式的方法很多,但有的比较烦琐,如果用导数便简单明了,本文试说明导数在证明不等式中的应用.一、用微分中值定理证明不等式微分中值定理:若函数f(x)满足条件:(i)在闭区间〔a,b〕上连续;(ii)在开区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)内至少存在一点C,使得f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)若不等式的一端是某一个函数F(x)在两点之差F(b)-F(a),则在区间〔a,b〕上利用微分中值定理,再将F′(C)适当放大或缩小.