构造向量证明一类分式不等式

《数学通报》2003(1)文[1]逆用等比数列各项和公式及均值不等式111()nminmiimiaan=-=、《中学数学教学》(安徽)2003(3)文[2]利用均值不等式2(,)xyxyxyR 澄分别巧妙地证明了一类分式不等式,读后颇受启发.笔者发现,如果通过构造向量,利用向量数量积不等式||||||mnmn祝uvvuvv证明这类不等式更加方便快捷. 为应用方便,我们把不等式||||||mnmn祝uvvuvv写成222||||/||(0)mmnnn坠uvuvvvvv(*)证明时只要根据所证不等式的结构特点,构造适当的向量,再利用不等式(*)即可获证.文[1]、[2]中的所有例题及练习都可以用此法证明. 例1 (文[1]例1) 已知12,,,…     

关于等幂和一个不等式的注记

<正>文[1]作者介绍了等幂和的一些背景与结果,特别介绍了紧密联系数论的一些结果.文[2]利用贝努里不等式及数学归纳法证明了关于等幂和的一个猜想.即对于任意的λ∈N*,则有n^(λ+1)/λ+1<1(λ+1)/λ+1<1^λ+2λ+2^λ+…+nλ+…+n^λ<(n+1)λ<(n+1)^(λ+1)/λ+1.文[3]作者采用定积分估计的方法重新证明了上述不等式.本文通过等幂和的一个等式证明并改进了上述不等式的右边,并且也给出了等幂和的一个下     

一个数学问题的深化

1引言 <数学通报>2002年8月号问题1388为:已知x＞0,y＞0,且x y=1,求证:(√x √y)(1√1 x 1√1 y)≤4/√3 (1) 文[1]、文[2]对不等式(1)进行探讨,综合两文的结果,有     

一类求取值范围问题的解法新探

<正>对下述问题:"实数x、y满足Ax2+Bxy+Cy2=D≠0,求S=ax2+bxy+cy2(或S=ax+by)的取值范围",文[1]通过构造a=b2+c,解不等式a≥c,文[2]、[3]用三角代换,文[4]根据均值不等式a2+b2≥2|ab|,给出了不同解法认真研读后,针对这些方法的不尽人意之处(详     

幂线性不等式的性质及应用

文[1]给出了不等式: 设,,,iaars均为正数,(1,2,,)in=L. (1) 若1nrriiaa=,则1nssiiaa=>()sr<; (2) 若1nrriiaa=,则1nssiiaa=<()sr>. 文[2]从指数的角度给出了不等式: 设,,,iabpp均为正数,,,ixxR ipp (1,2,.2)inn=矻. (1)若1,inxriipapa=则1(nxsiipbpba=>< 1b<1)ab>>或; (2)若1,inxriipapa=则1(nxsiipbpbb=<< 11)aba<>>或. 本文从幂的角度亦给出文[1]的推广: 定理 设,,,,iiapars均为正数,(ippi? 1,2,.2)nnL. (1) 若1,nrriiipapa= 则 1nssiiipapa=>()sr<. ① (2) 若1,nrriiipapa= 则 1nssiiipapa=<()sr>. ② 证明 11()()…     

换个角度 美不胜收——对《调和平均数与几何平均数的一种隔离》一文的思考

<正>文[1]先指出风靡数坛的"对数平均不等式"可看成是两个不等正数a,b的算术平均数和几何平均数的一种隔离,■(以下简称"不等式链①"),后给出两个不等正数a、b的调和平均数■和几何平均数■的一种隔离,即:■<■<■(以下简称"不等式链②").文[1]更换角度认识不等式链①,令人耳目一新.接下来,笔者也学着"换个角度"看问题.     

杨乐不等式的注记

我国著名的数学家杨乐院士在函数值分布论的研究中曾建立如下的一个三角不等式 :cos2 λA cos2 λB- 2 cosλAcosλBcosλπ≥sin2 λπ (1 )其中 A>0 ,B>0 ,A B≤π,0 <λ<1 .此不等式有许多证法见文 [1 ]～ [3 ],文 [4]～ [6]对不等式 (1 )进行各种探索和推广 .如文 [4]一下子给出 1 5个类似于不等式 (1 )的新三角不等式 ;文 [5 ],[6]对不等式 (1 )给予推广和加强等 .笔者指出 :所有这些三角不等式均可由因式分解法[1 ] 给出统一的、简洁的、本质的证明 .还可以削弱一些条件 ,例如不等式 (1 )转化为证明 :[cosλ(A B) - cosλπ]· [c…     

欧拉不等式又两则简证

<正>不等式"R≥2r",也即"三角形的外接圆半径不小于其内切圆直径",这就是著名的欧拉(Euler)不等式.文[1]、[2]给出的欧拉不等式"证法不容易",文[3]、[4]给出了"更简捷证法",受其启发,本文将再给出两则新简证.本文中,设△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C,△ABC的外接圆和内切圆的     

一个分式不等式的多参数推广及应用

文[1]从指数及项数方面推广不等式 (a+1)3/b+(b+1)3/c+(c+1)3/a≥81/4.(1) 其中a,b,c∈R+(<中学数学>2000年第4期数学奥林匹克问题高91.)     

两个不等式的再思索

文[1]有这样两个不等式: 若a, b∈R+, a+b=1, 则 4/3≤1/(a+1)+1/(b+1)<3/2,(1) 3/2<1/(a2+1)+1/(b2+1)≤8/5.(2) 文[2]建立了如下两个新不等式: 若a, b∈R+, a+b=1,则 3)/2<1/(a3+1)+1/(b3+1)≤16/9,(3) 1)/(an+1)+1/(bn+1)>3/2.(4) 且在文末提出如下猜想:     

一个分式不等式的指数推广

文[1]利用柯西不等式与算术--几何平均不等式证明了如下分式不等式(即文[1]推论2): 若ai∈R+(i=1,2,…,n),2≤n∈N,m∈N,且S= ai,则有 (1) 本文给出不等式(1)的一个指数推广.     

一个三角不等式的面积证明

<正>构造图形解决数学问题是一种重要的方法.文[1]多次使用这种方法,解决了若干个数学问题.本文参考文献[2],用构造图形的方法解决一个三角不等式,这个三角不等式最初出现于1946年莫斯科中学生数学竞赛.     

究竟什么时候|x 1/x|<2?

文[1]给出一对姊妹不等式:(1)x是非零实数时,|x (1/x)|≥2;(2)x不是虚数时,|x (1/x)|<2。     

一个数学问题的再研讨

1 问题 《数学通报》2002年 8月号问题1388为: 已知 x > 0, y > 0 ,且 x y =1,求证 1 1 4 ( x y)( . (1) 1 x 1 y ) ≤ 3 文[1]给出了不等式(1)左式的下界估计:     

限定条件下nⅡi=1(1/xi-xi)的下界研究

文[1]提出了一个二元对称不等式: 命题1 已知x,y∈R ,且x y=1,则2＜(1/x-x)(1/y-y)≤9/4 (1) 文[2]用微分法证明了不等式(1)的三元推广:     

一个数学问题的再探讨

1 问题 《数学通报》2002年8月号问题1388为: 已知x>0,y>0,且x+y=1,求证 文[1]给出了不等式(1)左式的下界估计:文[2]给出了不等式(1)的指数推广:     

三个二元无理不等式的推广与统一简证

<正>安振平先生在《数学通报》2003年第5期上提出第1435号征解题,即^[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)^(1/2)+(b/3a+b)(1/2)+(b/3a+b)^(1/2)≥1.并在2003年第6期运用分拆法提供了一种巧妙的解法.安振平先生在《不等式探究》一书中又提出     

对一道竞赛不等式再探究

1问题的提出2015年全国高中数联赛安徽省初赛给出了如下一个不等式:设正实数a、b满足a+b=1,求证:a 2+1 a+b 2+1 b≥3①文[1]、[2]、[3]分别给出了上述不等式的别证和探讨,其中文[2]、[3]对文[1]中提出的添“0”法提出质疑与看法,给出了适度的解释,读后受益匪浅.文[3]利用待定参数法给出了解释说明,文[4]通过导数法中的Jensen不等式给出了不等式①的证明.我们利用选修4-5(不等式选讲)教材中介绍的柯西不等式和向量的三角不等式去重新证明该题.这两种证法简洁、通俗、易懂,完全适合中学生阅读.最后我们给出一些推广结论.     

也谈利用柯西不等式及其推论证明不等式

文[1]在分析文[2]解题过程后,从柯西不等式出发,推导出两个推论(推论1和推论2),并通过举例试图说明利用这两个推论可方便迅速地解决很多不等式证明问题.笔者仔细研读后,发现文[1]中给出的方法比文[2]的方法方便得多;但同时也发现文[1]对柯西不等式表达不够严谨,给出的两个推论过于特殊化(受条件     

云南省普通高中新课程改革课程实施指导意见(试行)

根据<基础教育课程改革纲要(试行)>(教基[2001]17号)、<普通高中课程方案(实验)>(教基[2003]6号)和<云南省普通高中新课程改革工作方案(试行)>(云教基[2009]24号)等文件精神,结合云南实际,制定本指导意见.