换元与一元二次方程实根的讨论

关于实系数一元二次方程ax~2 bx c=0,我们有如下三个重要的结论(记Δ=b~2-4ac,x_1和x_2表示方程的两根): (1)当Δ≥0,x_1·x_2>0,x_1 x_2>0时,方程的两根都是正数; (2)当Δ≥0,x_1·x_2>0,x_1 x_2<0时,方程的两根都是负数;     

一元二次方程实根范围的判定及其几何解释

如所周知,关于实系数一元二次方程Q_o:ax~2 bx c=0(a≠0)有两项重要的充要条件: 1.Q·有相异两实根△>0, Q_o有相等两实根△=0, Q_o有共轭两虚根△>0,(其中△=b~2-4ac) 2.复数x_1、x_2是方程Q_o的两根     

asinx+bcosx=c的判别式及其应用

已知方程 asinx+bcosx=c。①其中a、b、c都是给定的实数,且a、b不同时为零,x∈[x_0,x_0+2π),x_0是任一固定常数。设△=a~2+b~2-c~2,则当△>0时,方程①有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程①有两个相等的实数根; 当△<0时,方程①没有实数根; 证明∵a、b不同时为零, ∴(a~2+b~2)~(1/2)≠0。∴sin(x+φ)=C/((a~2+b~2)~(1/2))。②(其中φ是辅助角,a≠0时,tgφ=b/a;b≠0     

浅谈判别式法的应用

我们知道,对于实系数一元二次方程ax^2＋bx＋c=0,其根的判别式为△=b^2-4ac,当△〉0时,方程有2个不相等的实数根;当△=0时,方程有2个相等的实数根;当△〈0时,方程没有实数根．所以有关一元二次方程或能转化为一元二次方程的题目,可以考虑用判别式法．     

有关一元二次方程的一个有用公式

一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)是初中代数的重点内容,除了求根公式和韦达定理(根与系数关系)外,我们可进一步推得如下有用定理设x_1、x_1是方程ax~2 bx C=0(C≠0)的两根,则有|x_1-x_2|=△~(1/△)|a|(△=b~2-4ac)(*) (*)式的证明很简单,利用求根公式即可.但它的作用却不可小看,特别是用它求二次函数y=ax~2 bx C与x轴两个交点之间的距离较为简捷.     

特别的方程,特别的根

实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有性质: (1)若a+b+c=0,则方程的两根为x_1=1,x_2=c/a;反之,若一根为1,则a+b+c=0。     

一元二次方程的演绎

1根与系数的关系对于一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的韦达定理x_1 x_2=-b/a、x_1x_2=c/a (x_1,x_2是方程的两个根)是大家都熟悉的,那么两根之比λ和两根之差d与系数的关系又是怎样的呢?     

“顺向”的情理与“逆向”的情理

题:已知二次方程x~2-2px+p-2=0一根在-1与1之间,另一根在1与2之间,试求p的值所在的区间。一部分学生的解法如下: △=4p~2-4(p-2)=4(p~2-p+2)。∵p~2-p+2中二次项系数为正,其判别式△′=1-8<0, ∴p~2-p+2恒正。因此原二次方程总有两个不等的实数根x_1、x_2。∵-1相似文献   

实系数一元二次方程虚根的分布

对于实系数一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0) (*)当△=b~2-4ac≥0时有实根,且实根的分布情况常借助抛物线y=ax~2+bx+c (a≠0)与x轴的交点来实现的。当△=b~2-4ac<0时,方程(*)无实根。由于在复数范围内,任何一个实系数一元二次方程都有两个根,因此,当△=b~2-4ac<0时,方程(*)只有两个虚根且共轭。显然,这两个虚根对应的点不在x轴上。那么虚     

根与系数的关系的应用

设方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x_1,x_2,那么 x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a).这就是一元二次方程根与系数的关系.由根与系数的关系,我们知道:以两个数 x_1,x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1+x_2)x+x_1·x_2=0.根与系数的关系使我们能够由方程来讨论根的性质;反之,则可以由根的性质来确定方程的系数.因而,根与系数的关系的应用相当广泛.我     

巧用韦达定理解竞赛题

如果ax~2 bx c=0=(a≠0)的两个根是_x_1、x_2,那么x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a.这个定理是数学家韦达发现的.它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系.应用这个定理来求解的数学竞赛题在历年的初中数学竞赛中,频频出现.下面我们一起探讨几个问题。一、讨论方程的根的状况例1 当m是什么整数时,关于x的方程x~2-(m-1)x m 1=0的两根都是整数?     

《学习报》第二届初三数学公开赛

一、选择题(共45分,每小题3分) 1.如果x_1、x_2是二次方程x~2 px q=0的两个实数根,△是方程的判别式,则△与两根的关系为     

浅谈一元二次方程根与系数的关系

1基本内容1)如果ax~2 bx c=0(a≠0)的2根是x_1、x_2,那么x_1 x_2=-b/a·x_1·x_2=c/a.一元二次方程根与系数的关系叫做韦达定理.2)以2个数x_1、x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1 x_2)x x_1x_2=0.这种根与系的关系叫做韦达定理的逆定理.     

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根与系数之间存在着下列关系:如果ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a.这就是有的参考书所讲的“韦达定理”.     

根与系数的关系及其应用

正如果一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x_1,x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a这就是根与系数的关系,也称为韦达定理.下面以2011年中考试题为例,归纳它在中考解题中的几种典型应用,供你复习时参考.     

求一元二次方程的整数根

(本讲适合初中) 对于一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的实数根的情况,可以用根的判别式△=b~2-4ac来判别,但对于它的有理数根、整数根的情况,就没有统一的方法来判别,只能对具体问题寻找具体解题方法,本文约定方程的两根为x_1、x_2(x_1≤x_2)。     

谁对谁错——评一道数学题的两种解答

题目:当m取什么实数时,方程x~2 (m-2)x (m 3)=0两根平方和有最小值?最小值是多少?解法一:设此方程的两根为x_1、x_2,则x~2_1 x~2_2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=〔-(m-2)〕~2-2(m 3)=m~2-6m-2∴当m=-(b/2a)即m=3时,x~2_1 x~2_2=m~2-6m-2 有最小值为:3~2-6×3-2=-11。解法二:设此方程的两根为x_1、x_2,则     

三次函数的图象、性质及应用

一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的     

有关一元二次方程根的中考题归类举例

全国各地中考涉及一元二次方程ax~2 bx c=0（a≠0）两根x_1、x_2的综合试题屡见不鲜，大凡解这类问题往往用到求根公式、根的判别式、根与系数关系，根的意义等知识．现筛选各地中考题中常见的问题，分六个方面归类解析．一、确定参数值（或范围）1．含有一个参数．例1已知：抛物线y＝（m-1）x~2 (m-2）x-1，（m为实数）（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）若关于x的方程（m-l）x~2 （m-2）x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．（3）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，且△ABC的面积等于2…     

韦达定理的意义及应用

一、韦达定理的意义一元二次方程ax~2+bx+c=0的根x_1、x_2与系数a、b、c有如下关系:x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a. 这是法国数学家韦达于1559年首先给出的,因而称为“韦达定理”.特别地,对于方程x~2+px+q=0而言,它的两根x_1、x_2满足x_1+x_2=-p,且x_1x_2=q. 顺便提一下韦达定理的逆定理: