巧构等比数列证明棣莫佛定理

棣莫佛定理是复数中的一个重要定理,高中代数课本第二册是用数学归纳法证明的。本文通过构造一个辅助等比数列,给出该定理的一个巧妙证法。 [棣莫佛定理]设n为自然数,r为正实数,i为虚数单位,则[r(cosθ+isinθ]~n=r~n(cosnθ+isinnθ)。证明:显然,只需证明(cosθ+isinθ)~n=cosnθ+isinnθ即可。令a_n=cosnθ+isinnθ,将n拆成(n-1)+1,并利用和角的正、余弦展开式易得:a_n=cosθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]+isinθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]=(cosθ     

变化出题角度加深概念理解

变化题目的出题角度,从各方面涉及基本概念、基本方法,能有数地加深学生对概念的理解。现举几例说明。 [例一]:把对应于复数3-3~(1/2)i的向量按顺时针方向旋转60°,求与所得向量相对应的复数。解:3-3~(1/2)i=12~(1/2)(3~(1/2)/2-1/2i) =12~(1/2)(cos330°+isin330°) ∵向量按顺时针方向旋转,∴旋转后的向量对应的复数的幅角主值为330°-60°=270。; ∴所求复数12~(1/2)(cos270°+isin270°)     

例说三角变换技巧

由于三角公式比较多,变换灵活多样,解答此类题时,考虑选择恰当的变换就能使复杂问题简单化,收到事半功倍之效果。下面介绍几种常用的三角变换技巧.变换三角函数名称一般地,在一个三角函数式中,若含有多种三角函数,则常把“切割”统一变为“弦”,减少函数种类,易于变形.例1.求tan20°+4sin20°的值.解:原式=sin20°+4sin20°·cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=(sin20°+sin40°)+sin40°cos20°=2sin30°·cos10°+sin40°cos20°=sin80°+sin40°cos20°=2sin60°·cos20°cos20°=2sin60°=3√.点评:本题的解题关键有二:一是把tan2…     

棣莫佛定理的一些应用

统编教材中有棣莫佛定理:设复数z=r(cosθ+isinθ),n∈N,则 z~n=r~n(cosnθ+isinnθ) (1) 利用复数的指数形式可以证明下列等式(证明从略): [r(cosθ+isinθ)]~(-n)=1/r~n[cos(-nθ)+1sin(-nθ)] (2) [r(cosθ-isinθ)]~n=r~n(cos nθ-isinnθ) (3) 下面分五方面举例说明(1)、(2)、(3)的应用。限于篇幅,仅各举一、二例。 (一) 求解复数的乘方。     

一类三角级数求和公式的导出

教师如何巧编三角题或论证题?本文对形如cosπ/7+cos3π/7+cos5π/7、cosπ/5-cos2π/5、cos~2π/5+cos~22π/5、cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的计算和cosA+cos(120°-A)+cos(120°+A)=0、cos~2A+cos~2(60°-A)+cos~2(60°+A)=3/2等证明的常见题,都可看作这里导出的一类三角级数求和公式的简单应用实例。     

“三角—复数”关系式(欧拉公式)的应用

由欧拉公式和棣莫佛定理可得如下三角一复数关系式:cosn α=(1/2)(z~n z~(-n))(1/2)=(e~(nαi) e~(-nαi)),sinnα=(1/(2i))(z~n-z~(-n))     

三角复习综合测验题

1.化简 (1+cos2α)/(ctg α/2-tg α/2).2.求值 log_2sin22.5°+log_2cos22.5°3.已知α、β是锐角,且 cosα=1/7,cos(α+β)=-11/14求β.4.设90°0.5.设α、β是锐角三角形二锐角,求证     

形态联想

联想是一种心理活动 ,即对欲感知的事物回想似曾相识的事物或意识到与之接近的事物 .解数学题离不开联想 ,常用的联想方式有相似联想、接近联想、对比联想、关系联想等 .但我们感觉形态联想也非常重要 ,即对题设条件或结论所呈现出的形象特征 ,想到其相应的数学现象 ,加以创造性地解决 .例 1　求和 C0n +C1ncosφ +C2ncos2φ +… +Cnncosnφ.分析 :据特征很容易联想二项式定理 ( 1+x) n,又由 cosnφ想到棣莫佛定理 ( cosφ +isinφ) n =cosnφ +isinnφ,于是有下面解法 :令 z=cosφ+isinφ,则 ( 1+z) n=C0n+C1nz +C2nz2+… +Cnnzn=C0n+C…     

灵活应用 不断探索——与三角形角平分线相关的结论

应用三角形的内角和定理与外角定理,可以推出许多有趣的结论,现举三例,供同学们参考,希望同学们从中得到启示,学会运用所学知识去探索新结论,从而不断提高自己数学的发现与创新能力. 结论1:在△ABC中,∠B∠C的平分线相交于P点,则∠BPC=90°+1/2∠A 证明:∵∠B、∠C分别平分∠ABC和∠ACB.∴∠PBC=1/2∠ABC,∠PCB=1/2∠ACB,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=180°-1/2(180°-∠A)=90°+1/2∠A. 结论2:在△ABC中,BP、CP分别是外角平分线,求证:∠BPC=90°-1/2∠A 证明:方法1:∵BP、CP分别平分∠EBC和∠FCB,     

几个三角函数式的值的巧合与必然

1995年全国高考数学试题理科(22)题:求 sin~2 20°+cos~2 50°+sin20°cos50°的值.答案为3/4,又当我们将式中的20°和50°分别换为10°和40°,奇妙地发现 sin~2 10°+cos~2 40°+sin10°cos40°的值仍为3/4,由此引起我们思考:20°,50°,与10°,40°之间有什么关系呢?容易发现等差关系50°-20°=40°-10°=30°.是否有一般性呢?再求 sin~2 19°+cos~2 49°+sin19°cos49°的值.解:原式=1/2(1-cos38°)+1/2(1+cos98°)+sin19°cos49°     

x^2＋xy＋y^2的一种变形及其巧妙应用

代数式x2+xy+y2是一个非常特别的式子,它的一种特殊的变形与余弦定理的结构式非常吻合,即x2+xy+y2=x2+y2-2xycos 120.°这种特殊的变形可以用来处理一些相关的问题,往往能使某些问题化生为熟、化繁为简、化难为易,达到非常好的效果.例1(1995年全国高考题)求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.分析标准答案和其他一些解法都利用了和差化积、积化和差等公式,而现在这两组公式不作为学生的记忆公式,要求已经淡化.能否利用其他方法来解答陈题就是一个挑战.由于sin220°+cos250°+sin 20c°os 50°=sin220°+sin240°-2sin 20°sin 40°·c…     

巧用正—余弦定理解题

我们在初中已学过正弦定理和余弦定理:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其外接圆半径为R,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R及 a~2=b~2+c~2-2bccosA. 应用正弦定理把余弦定理中的边都化为角,则有: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA. 可以证明当A+B+C=kπ,k为奇数时此式都成立。我们不妨把上式称为正——余弦定理。下面举例说明这个定理的应用。例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°的值。     

关于复数的根

假如我们要求复数W=r(cosθ+isinθ)的n次方根,这就是求满足W_k~n=W的复数W_k.方法考虑W_k=r~(1/n)(cos(2kπ+θ/n)+isin(2kπ+θ/n)),这里k是任意整数使用棣美佛定理,就得到因此,对任意整数k,W_k是W的n次方根.因为W_k~n=W,即W_k~n-W=0,于是,对任意整数k,Z=W_k是以Z为变量的n次多项式方程Z~n-W=0的一个解.因为n次多项式方程有且仅有n个解(可以是重解),因此方程Z~n-W=0存在且只存在n个解,换句话说,即使存在无限多个W_k＇~s,赋予不同的整数k,它们中仅有n个是不同     

2002年数学总复习质量检测题

一、填空题（每小题3分,共30分） 1.分解因式 a3-4a2+4a= 2.关于x的一元二次方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,则k= 3.抛物线y=x2+8x十15的顶点坐标是 4.若2相似文献   

绝妙解法

题目求 sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°的值.解△ABC 中,由余弦定理和正弦定理,有a~2=b~2+c~2-2bccosA, (1)(a/(sina))=(b/(sinB))=(c/(sinC))=k (2)由 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC 代入(1)得sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinC·cosA. (3)     

代数与初等函数自测试题(二) 三角函数

(一)填空 1.已知角α的终边过点(7~(1/2),-3),则sin α=____,sosα=____,tgα=____,ctgα=____,seaα=____,cscα=____。 2.3pcos0°+sin30°+(p~2+q~2)cos90°-3pctg225°tg45°的值为____。     

三角形内角和定理及推论的应用

三角形的内角和定理及推论有着广泛的应用,现归类举例说明. 一、求角度的大小例1 在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠C= ——. 分析与解:依题意,不妨设∠A=x°,则∠B=2x°,∠C=3x°,由三角形内角和定理知x+2x+3x=180°,即x=30°,故∠C=3°=90°. 例2 如图1,∠α=125°,∠1=50°,则∠β的度数是——. 分析:易求得∠2=55°,由推论2知∠β=∠1+∠2=50°+55°-105°     

2014年高考数学必做客观题——解析几何

第1点直线方程及位置关系()必做1动点M(x,y)满足(x-sinα)2+(y-cosα)21/2=|xsinα+ycosα-1|(其中α为常数),那么动点M的轨迹是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线牛刀小试精妙解法动点M(x,y)的几何意义是到定点P(sinα,cosα)的距离等于到定直线l:xsinα+ycosα-1=0的距离,又P∈l,所以点M的轨迹是过P且垂直于l的直线.故选A.()必做2数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、     

一道三角题的多种解法及其推广

例求sin2 20°+cos2 50°+sin20°cos50°的值．解法1:原式点评:本解法先通过半角公式进行降幂,然后运用三角函数的和差化积与积化和差公式进行化简,同时把握对公式的灵活应用,体现了数学中     

思维定势与解题——兼谈几种思维能力的培养

我们先来看一个测验题的解法在△ABC中,求证sin~2A+sin~2B-sin~2C=2·sinAsinB·cosC。证明左边=1/2(1-cos2A)+1/2(1-cos2B)-(1-cos~2C)=cos~2C-1/2(cos2A+cos2B)=cos~2C-cos(A+B)·cos(A-B)=cos~2C+cosC·cos(A-B)=cosC[cosC+cos(A-B)]=cosC2cos1/2(C+A-B)cos1/2(C-A+B)=2cosCcos1/2(180°-2B)cos(1/2)(180°-2A)=2cosCcos(90°-B)cos(90°-A)=2sinAsinBcosC=右边