一道平面几何赛题的思考

题目如图1,四边形ABCD内接于圆,P是AB的中点,PE⊥AD,PF⊥BC,PG⊥CD,M是线段PG和EF的交点,求证:ME=MF.(2006年江西南昌市高中数学联赛题)     

一道赛题简解

题目 如图设D、E分别在△ABc的边AC和4B上,BD与CE交于F,AE—EB,AD/DC     

一道全国赛题的解析与思考

前段时间,笔者参加了衢州市全国初中数学竞赛的阅卷工作。阅后,从数千份试卷中抽取400份样卷进行统计,其中第11赛题统计结果如下:能用不同方法证明的有191人,占48%左右;错解本题有142人,占35%左右;不会的有67人,占17%左右,从前两者近83%考生的解答情况来看,学生的解题     

一道“希望杯”赛题的思考

在一次“说解题”比赛中,市教研员给出了这样一个题目：     

一道赛题的推广

题 如图,ABCD为正方形,∠EAF=45°。求证S_(△AEF)=2S_(△APQ)。(1990,四川赛题) 推广1 如图,ABCD为正方形。如设∠EAF=α,∠DAF=θ,则     

一道赛题的推广

1978年安徽中学数学竞赛第二试的第3题是:过三角形的重心任作一直线,把三角形分成两部分,证明这两部分面积之差不大于整个三角形面积的1/9.本文先给出更有一般性的结论,然后再将其推广到四面体中.     

一道赛题的推广

引理 已知A0是平面α的斜线,A为斜足,OBα⊥,B为垂足,AC是平面α内的任一直线,∠0AB=θ,∠OAC=θ1,∠BAC=θ2,则cosθ1=cosθcosθ2． 根据角的放置形式,可形象地称引理为“斜（斜角）立（立角）平（平角）余弦定理”．     

一道赛题的图解法

第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初一决赛试题中有这样一道题 :一段跑道长 10 0米 ,甲、乙分别从 A、B两端点同时相向出发 ,各以每秒 6米和每秒 4 .5米的速度在跑道上来回往返练习跑步 .问 :在 10分钟内 (包括第 10分钟 ) (1)甲和乙在途中迎面相遇多少次 ?(2 )甲在途中追上乙多     

由一道竞赛题想到的

题目 如图1,在正方形ABCD中,已知E、F分别是边BC、CD上的点,满足EF=BE＋DF,AE、AF分别与对角线BD交于点M、N,求证：     

一道联赛题的另解

题目 一张纸上画有半径为R的⊙O和圆内一定点A，且OA=a．折叠纸片，使圆周上某一点A1刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A1取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．     

一道数学竞赛题的另解

题目　已知在△ABC中 ,∠ACB =90°,如图 1所示 .当点D在斜边AB上 (不含端点 )时 ,求证 :CD2 -BD2BC2 =AD -BDAB .( 2 0 0 3,全国初中数学联赛 )　　证明 :作CE⊥BA于点E .设BC =a ,AB=c ,CE =h ,BD =m ,AD =n ,CD =t,BE =p ,ED =k .显然 ,p k =m .则CD2 -BD2BC2 =t2 -m2a2=h2 k2 -m2a2 =h2 (k m) (k -m)a2 .将h2 =p(k n) ,k -m =-p ,a2 =pc代入上式 ,得CD2 -BD2BC2 =p(k n) -p(k m)pc=p(n -m)pc =n -mc =AD -BDAB .当D与E重合时 ,h =t,k =0 ,上述证明同样成立 ;当D在E左侧时 ,k <0 ,同理可证结论成立 .…     

一道数学奥林匹克问题的思考

命题 1 [1] 　平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .若确保图形中出现以给定点为顶点的三角形 ,求证 :x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) .笔者认为 ,x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) 是充分不必要条件 ,并发现如下命题 .命题 2　平面上给定n(n≥3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .图形中出现以给定点为顶点的三角形的充要条件是x≥ n2 n - n2 1 ,其中 ,[x]表示不超过x的最大整数 .证明 :设平面上给定的n个点分别为…     

一道数学竞赛题的几种证法

题目如图1,⊙O是以AB（A、B为平面内两定点）为直径的圆,M、N是⊙O上（异于A、B）的两个定点,P是线段AB上（不包括A、B两点）的动点．求证：tan∠PMA·tan∠PNB为定值．     

对一道2007年全国初中数学联赛题的新想法

本刊2007年第8期刊登的《2007年全国初中数学联赛》第二试A卷最后一题是： 例1 已知a是正整数．如果关于x的方程     

一道初中数学竞赛题的推广

2010年《数学周报》杯全国初中数学竞赛有一道染色问题,题目是这样的：     

剖析一道数学题蕴含的数学思想

数学题的求解过程是一个运用数学思想、方法的过程.而人们多注重解题的过程,忽视了其中蕴含的数学思想,淡化了对数学思想的认识,使数学思想的理论与实际脱节,反映了数学教学的不完善,数学思想是数学的精髓,它对数学问题的解决起着高层次的指导作用,是知识转化为能力的桥梁.数学教学如能恰到好处地溶入一些数学思想,不但会加深各科间的纵横联系,提高数学能力,而且还能激发学生学习的兴趣,调动学习的积极性,更好地开辟数学思维的空间.     

一道国外竞赛题的多种解法

题目如图1,已知⊙I、⊙O分别为△ABC的内切圆、外接圆,⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F．作圆ωa、ωb、ωc,记ωa切⊙I、⊙O于点D、K,ωb切⊙I、⊙O于点E、M,ωc切⊙I、⊙O于点F、N．证明：     

关于2003年全国高中数学联赛加试第二题

题目　设三角形三边长分别是整数l、m、n ,且l>m >n .已知　3l1 0 4 =3m1 0 4 =3n1 0 4 ,其中 {x}=x - [x],而 [x]表示不超过x的最大整数 .求这种三角形周长的最小值 .1　试题的另解解 :由已知得3l≡3m ≡3n(mod 1 0 4 ) .①式① 3l≡3m≡3n(mod 2 4 ) ,3l≡3m≡3n(mod 54 ) 3l-n≡3m -n≡1 (mod 2 4 ) ,3l-n≡3m -n≡1 (mod 54 ) .因为 ( 3,2 4 ) =( 3,54 ) =1 ,根据欧拉定理得 3φ( 2 4) ≡1 (mod 2 4 ) ,3φ( 54) ≡1 (mod 54 ) ,其中φ(2 4 ) =2 4 1- 12 =8,φ(5 4) =5 41- 15 =5 0 0 .设k1、k2 是分别使 3k≡1 (mod 2 4 ) ,3k≡1 (mod …