一道几何赛题的简证与启示

2007年南昌市高中数学竞赛的一道几何试题是:如图1,ABCD,BCFE皆为直角梯形,其中,DC∥AB,CF∥BE,BC⊥AB,EF⊥BE,A,E,D,F在一直线上,P是     

从一道美国数学赛题引出的一组几何定理及代数证法

第五届美国邀请赛有一试题是:如图1示,正方形S1、S2内接于直角△ABC,如果S1的面积是441,S2的面积是440,求:AC BC·在解题中笔者获得下面的数学信息:CD=AACC× BBCC.图1图2笔者还发现下面的试题,如图2示,在以AB为直径的半圆中,CD在AB为直径的半圆中,CD在AB上有一内接正方形CDEF,     

一道不等式赛题的多种证法

题目 设3/2≤x≤5,证明：不等式 2√x＋1＋√2x-3＋√15-3x〈2√19.     

一道几何赛题的六个思路

例 如图1,在凸四边形ABCD中,AB—BC—BD,∠ABC-80°,则∠ADC等于（ ）     

一道赛题的另解

安徽省高中数学竞赛初赛的第15题是:已知数列{an}(n≥0)满足a0=0,对于所有非负整数n,有an+1=230an(an+1)+11an+5.求an的通项公式.参考答案是通过移项两边平方变形化简,最后求3次方程的特征根得到通项.下面给出两种较为简便的解法.解法1显然an+1>an≥0,n∈N,an+1=230an(an+1)+11an+5=5(an+1)+230an(an+1)+6an=(5(an+1)+6an)2,∴an+1=5(an+1)+6an,即an+1-6an=5(an+1),两边平方,化简得:an+1+an-26an+1an=5,n以n+1代替得:an+2+an+1-26an+2an+1=5,以上两式相减得:an+2-an-26an+1(an+2-an)=0;∵an+2>an+1>an,∴an+2+an-26an+1=0.令bn=an,则bn+2-2…     

一道几何题的简证

笔者看到一道几何题,原解答利用的是牛顿定理.本文给出另一个证法. 题目 已知圆内接四边形ABCD,两组对边AB和DC、AD和BC分别交于点E、F,M、N分别是AC、BD的中点.证明: 2MN/EF=|AC/BD-BD/AC|. 证明 如图1,以B、C、D为顶点作(◇)BCDR,DR与AB交于点P,BR与AD交于点Q.联结AR、PQ、CR.     

赛题的别证与推广

比较原证第一步来得突然,一般较难发现,并且这一证法似乎仅适用于本题,很难能在证明的过程中又有新的发现．而别证则显示出“通性通法”的特点,如综合思考原题及别证的全过程,容易发现原结论的一个推广．     

一道几何题的多种证法及其引申

本给出一道试题的多种方法，并由这道题引申出四个命题。     

一道赛题的简证

题目　已知a、b、c为正实数.证明:a2 b2 c2 abc=4a b c≤3.(第20届伊朗数学奥林匹克(第2轮))文[1]利用三角法给出了证明,本文给出一种代数证明.证明:若a、b、c都大于1,或者都小于1,显然不满足题设条件.因此,a、b、c中一定有两个或者都不大于1,或者都不小于1,不妨设为a、b.则(1-a)(1-b)≥0,即　ab≥a b-1.①由a2 b2≥2ab,有4=a2 b2 c2 abc≥2ab c2 abc,即　ab(2 c)≤4-c2.于是,ab≤2-c.②由①、②,有a b c≤3.一道赛题的简证@羊明亮$湖南师范大学附属中学广益高中!410081[1] 第20届伊朗数学奥林匹克(2002—2003)[J].中等数学2004增刊.70.…     

Steiner定理及其逆定理与四道几何赛题的新证

Steiner定理[1]设D,E是△ABC的边BC上两点,且∠BAD=∠CAE.则有AB2=B-DD·BE.其逆命题也成立,即有 Steiner定理的逆定理设D,E是△ABC的边BC上的两点,若有AB2/AC2=BD·BE/CD·CE,则∠BAD=∠CAE.     

一道CMO赛题的简证

2007年中国数学奥林匹克（CMO）第一题为： 设a，b，c为给定的复数，记｜a＋b｜=m，｜a—b｜=n，已知mn≠0，求证： max{｜ac＋b｜，｜a＋bc｜}≥mn/（√m^2＋n^2）（1）[第一段]     

一道几何题的另解及变形

作对一道几何题的解答进行了分析，指出了该解答的欠妥之处，给出了两种更简洁明了的解法，并给出了这道题的种种变形。     

一道巴尔十赛题的巧妙证法

有一道巴尔干地区数学竞赛试题如下： 设a,b,c为正实数,求证： 1/a（1＋b）＋1/b（1＋c）＋1/c（c＋a）≥3/1＋abc^＊①笔者曾在本刊2006年第11期上,将不等式①推广为：     

2002年安徽省高中数学初赛一道几何题另证

题如图,⊙O是△ABC的外接圆,I点是它的内心,射线AI、BI、CI各交对边于点D、E、F,并各交⊙O于点A'、B'、C'.     

一道赛题的拓展与简证

题目:圆内接凸四边形 ABCD 的面积记为S,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,证明:(1)S=((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))~(1/2),其中 p:(a b c d)/2;(2)如果四边形 ABCD 同时具有外接圆和内切圆,则 S=abcd~(1/2).(2005年北京市高一赛题)本题可作如下拓展:定理:任意凸四边形 ABCD 的面积是 S=     

一道平面几何题的几种证法

在数学习题教学过程中,要引导学生对一些题目用不同的思想方法,从不同的思维角度去寻找多种解法,不仅有助于培养学生灵活运用知识的能力,而且也有助于对他们发散思维的训练和创新能力的培养.例:已知AD是△ABC的角平分线,求证:BDDC=ABAC.证法一:如图1,过D作DE∥AB,交AC于E,则BDDC=AEEC.由∠1=∠2,∠1=∠3,得∠2=∠3,∴AE=DE,故AEEC=DEEC,又DEEC=ABAC,∴BDDC=ABAC.证法二:如图2,过D作DE∥AC,交AB于E,则BDDC=BEAE.由∠1=∠2,∠2=∠3,得∠1=∠3,∴DE=AE,故BEAE=BEDE,又BEDE=ABAC,∴BDDC=ABAC.证法三:如图3,过C点作CE∥AD,交BA的延长线于E,则BDDC=ABAE.由∠1=∠2,∠2=∠3,∠1=∠E,得∠3=∠E,故AE=AC,∴BDDC=ABAC.证法四:如图4,过B点作BE∥AD,交CA的延长线于E,则BDDC=AEAC.由∠1=∠2,∠1=∠3,∠2=∠E,得∠3=∠E,故AE=AB,∴BDDC=ABAC.证法五:如图5,过B点作BE∥AC,交AD的延长线于E,则BDDC=BEAC...     

一类不等式赛题的简证通法

在各级各类数学竞赛中，经常涉及在a＋b＋c=1条件下的不等式问题，经探索，此类问题有统一的简单证法，其思路是构造最简单的不等式（x-y）^2≥0．     

一道奥赛几何题的多种证明

题目设H是锐角△ABC的垂心,M是BC边的中点,过H作AM的垂线,垂足为P．证明：AM·PM=BM^2．这是2011年一道日本奥赛题．文给出一种证法,其要点是：ME（参见图7）是为以AH为直径的圆的切线,E为切点,注意BM=ME,     

运用“求根公式”证几何题

中考试题和数学竞赛题中出现的几何证明题，往往有多种证法，这里介绍运用一元二次方程的求根公式证有关平几题的方法，供大家参考．