一道赛题的多种解法

[x]称为高斯符号,任意一个实数x．都可以写成一个整数与一个正的纯小数（或零）的和的形式,那么这个整数是[x],这个正的纯小数（或零）就是{x},即x=[x]＋{x）．     

取整函数的性质及其应用

设x是实数,用[x]代表不超过x的最大整数,即[x]≤x＜[x]+1.又称x-[x]为x的小数部分,记作{x},即{x}=x-[x],所以x=[x]+{x},并且0≤{x}＜1.有时为了书写简单起见,小数部分就用一个字母符号表示,而不打上花括号.例如:x=[x]+r,0≤r＜1.     

取整运算中[x]和{x}

对于任意实数x,[x]表示不超过。的最大整数,符号[ ]叫做取整号,或叫高斯记号.取整运算(函数)又叫做高斯函数.由定义可知,[x]≤x,x=2.3时,[2,3]=2,x=-2.3时,[-2.3]=-3.与[x]密切相关的是x的小数部分,我们用{x}表示,在定义下,x减去它的小数部分就等于它的整数部分,即x-{x}=[x],因此x=     

含[x]方程的常见求解策略

<正>定义对任意实数x,以[x]表示不超过x的最大整数,称为x的整数部分.[x]≤x,故x-[x]≥0,称x-[x]为x的小数部分,记作{x}.函数y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数,是重要的数论函数之一.含[x]方程的类型很多,各类数学竞赛中都有相关的题,本文对常见的几种方程类型的解法进行总结,供大家参考.     

含[x]方程的常见求解策略

定义 对任意实数x,以[x]表示不超过x的最大整数,称为x的整数部分．[x]≤x,故x-[x]≥0,称x-[x]为x的小数部分,记作{x}． 函数y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数,是重要的数论函数之一．含[x]方程的类型很多．各类数学竞赛中都有相关的题,本文对常见的几种方程类型的解法进行总结,供大家参考．     

新题萃荟

题1阅读材料题阅读下列文字,完成下列各题：对于任意实数x,符号[x]表示x的整数部分,即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴（箭头向右）上[x]是在点x的左侧的第一个整数点,当x是整数时,[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”,也叫高斯（Gauss）函数,它在数学本身和生产实践中有着广泛的应用．例如在学习和使用计算机时,在算法语言中,就有这种取整函数;再如电话中的电信资费和坐出租车时的路费（超过起步价）等常常要用到这个函数．     

函数[x]，{x}的性质及应用

数论中的函数Y=[x]，被称为高斯函数或取整函数．它是数学竞赛的热点之一．对任意实数x，[x]是不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分．与它相伴随的是小数部分函数y={x}，对任意实数x，都有x=[x]＋{x}，且0≤{x}〈1．由[x]，{x}的定义，不难得到如下常用性质：     

例谈高斯函数的性质及其应用

Gauss函数[x]是一个重要的数论函数,在中学数学竞赛中经常出现与[x]相关的赛题．在解题过程中经常与[x]配合使用的是实数．x的小数部分{x}=x-[x]．在此先给出有关高斯函数的常用性质：     

高斯（Gauss）取整函数[x]

1．高斯（Gauss）取整函数[x]及性质 设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为取整函数,也叫高斯函数．任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和．     

一些含有[x]的方程的解法

设x是实数,符号“[x]”表示不大于x的最大整数。例如:[7.5]=7,[1/6]=0,[-4.8]=-5,[n]=n(n为整数)。由[n]的定义可知:(1)x=[x]+α,0≤α<1;(2)〔x〕≤x<[x]+1或x-1<[x]≤x;(3)[n+x]=n+[x](n为整数)。利用这些简单的性质,可解一些含有[x]的方程。解法的基本思想是:先求出     

求解高斯函数方程的一些方法

函数f(x)=[x]叫做高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数.含有[x]的方程叫高斯函数方程．求解这类方程的重要方法是设法脱去符号“[]”.然而要脱去符号“[]”，不但需要一些基础知识，而且需要较强的技巧．本文以例说明一些常用技巧．一、巧用的性质由定义易得1.巧用这一结论解方程两边都是关于x的同次的问题，快捷简明.例1(1992年第2届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试试题)方程的解是从而二、放缩夹挤，缩小范围根据题意，用放缩法先求出x的范围，再由[x]是整数，即可求得其解．由定义易得x-1＜[x]≤x,这为用放缩法创造了条件.例2…     

对函数{x}的定义的一点看法

本文根据高斯函数[x]的定义及有理数的概念,简析数学观念“{有理数}={分数}={无限循环小数}”的建立过程,认为定义“函数{x}=x-[x]叫做x的小数部分”较妥。     

取整函数[x]在中学数学中的应用

取整函数[x]是《初等数论》中整数的整除性部分里的一个内容,其意义是：设x为任意实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],称[x]为取整函数（或高斯函数或方括号函数）．如[3．14]=3,[-3．8]=-4,     

数列中的高斯函数

定义1设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.显然,y=[x]的定义域是R,值域是Z.其对应法则不能用解析式表示,如图1所示,其图象呈阶梯状,要掌握高斯函数这一概念要抓住两个关键:(1)对任何x,[x]是整数;(2)[x]≤x<[x]+1;定义2{x}=x-[x]称为的“小数部分”,显然,函数y={x}的定义域为实数集,值域0≤{x}<1,其图象如图2所示.图1y=[x]的图象图2y={x}的图象数列———高考热点之一,高斯函数———竞赛考点之一.于是,近年数列与高斯函数结合的试题在高考、竞赛中频频出现,高斯函数关联着连续和离散两个方面,有其独特的性质和广泛的应用,因而两者结合的试题屡次出现,值得关注.1等差等比相关例1(2009年湖北文科9)设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则三个数5+12,52+1,52+1A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解可分别求得52+1=52-1,5+12=1,则由等比数列性质易得三者构成等比数列.答案:B点评本题主要考查等比的定...     

初中数学竞赛中的高斯函数问题

(本讲适合初中) 在初中数学竞赛中,经常出现含有取整符号[x]的问题.所谓的[x],就是表示不超过实数x的最大整数,例如,[3.4]=3,[-2.7]=-3.这一规定最早为大数学家高斯所使用,故[-]被称为高斯函数.     

数学奥林匹克问题高186的一点注记

题目 对质数P（P≥3），定义F（p）=∑p-1k=1k＇，其中，r为不超过p的正奇数；f（p）=1/2-{F（p）/2p}，其中，{x}=x-[x]表示x的小数部分．求f（p）的值．[第一段]     

新课程中的数学创新题初探

运算模型 例1设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2,[5/4]=1）．对于给定的n∈N^＊,定义Cn^x=n（n-1）…（n-[x]＋1）/x（x-1）…（x-[x]＋1）,x∈[1,＋∞],则C8^3/2=_.当x∈[2,3）时,函数C8^x的值域是_．     

新题荟萃

题1 阅读材料题 阅读下列文字,完成下列各题: 对于任意实数x,符号[x]表示x的整数部分,即[x]是不超过x的最大整数.在实数轴(箭头向右)上[x]是在点x的左侧的第一个整数点,当x是整数时,[x]就是x.这个函数[x]叫做"取整函数",也叫高斯(Gauss)函数,它在数学本身和生产实践中有着广泛的应用.例如在学习和使用计算机时,在算法语言中,就有这种取整函数;再如电话中的电信资费和坐出租车时的路费(超过起步价)等常常要用到这个函数.     

谈谈[x]和{x}

[x]表示实数x的整数部分,或者说[x]是不大于x的最大的整数。例如,[2.5]=2,[π]=3,[—5]=—5,[—5~(1/2)]=—3。如果把一个实数表示为一个整数与一个正的纯小数或零的和的形式,即x=[x]+{x},(x}是x的小数部分,那么{x}=x—[x]。例如,{2.5}=0.5,{π}=π—3,{—5}=0,{—5~(1/2)}=—5~(1/2)+3。     

初等数论基础知识选介及题例(中)

三、带余除法与同余式定义4 x为实数,不超过x的最大整数叫做x的整数部分,记为[x];而把x-[x]叫做x的分数部分,记为{x},即{x}=x-[x]。 []叫做高士符号,例如 [7]=7,[2.5]=2,[π]=3,[-π]=-4 性质7.1) [x]≤x<[x]+1 2) 若x≥y,则[x]≥[y] 3) 若n为整数,则[x+n]=[x]+n 例13.1) [x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 2) [x-y]≤[x]-[y]≤[x-y]+1 定理6 (带余除法)对任意整数a及正整数b,唯一存在整数q及r,使有 a=qb+r 0≤r<6 (10) 这里q叫做a被b除的不完全商,r叫做a被b除所