一类方程f[f(x)]=x的有解问题

一道好题犹如一首诗,需要我们细细品味;一道好题犹如一件宝,需要我们精心鉴赏.作为教学过程中的组织者,引导者和启发者,既要会品诗,也要能鉴宝.能让学生在诗的韵味中感悟,在宝的挖掘中升华.同时,也要使学生慢慢掌握品鉴的方法,从而提升自身的鉴赏水平.二次函数作为最基本的幂函数,它有着丰富的     

符合f[f（x）]= x＋1/x＋2的f（x）存在吗？

文[1]指出，标题中函数方程的解不仅有f（x）=1/1＋x，还有f（x）=2x＋1/x＋3．     

方程f（x）＝x与f[f（x）]＝x的一个特例

关于方程f(x)=x与方程f[f(x)]=z的讨论常见于高中函数综合题,特别当f(x)是二次函数的情形。本文用一种初等方法分析这两个方程之间的关系。     

利用f^—[f（x）]=x解决反函数问题

若函数 y=f ( x)存在反函数 y=f-1( x) ,则对于定义域中的任何一个 x都有 f-1[f( x) ]=x成立 .同样 f[f-1( x) ]=x也成立 .这种性质在处理反函数的有关问题中有着很多应用 .1　求值例 1、方程 log2 x x=3的根为 x1,方程 2 x x=3的根为 x2 ,求 x1 x2 的值 .分析 :直接求解比较困难 .由题可知 ,其中 y=log2 x 与y =2 x 互为反函数 ,利用反函数性质来处理 ,令 f ( x) =log2 x,则 f-1( x) =2 x.解 :f( x1) =3 -x1,1 f-1( x2 ) =3 -x2 2由 2两边同取 f ,得 f ( 3 -x2 ) =x2 .3另一方面 y=f ( x)是单调递增的 .比较 1 3当 x1>3 -x2 ,即 x1 x2 >3时…     

函数方程f[m]=1/f的亚纯解

研究了何时一个函数的某次迭代等于它的倒数,给出该函数方程所有亚纯解的精确公式.     

方程f（x）=f^-1（x）与方程x=f（x）何时同解

文[1]中指出了y=f(x）与y=f^-1(x)的交点不一点在直线y=x上．读后很受启发，但美中不足的是文[l]没有解决y=f(x)与y=f^-1(x)在什么条件下它们的图象相交?若相交，在什么条件下它们的交点必在直线y=x上?本文试图解决这方面的问题。     

方程f（x＋y）=f（x）·f（y）解函数特性

本文从一道高考题出发,运用了数学分析理论,较为深刻地揭示了方程f(x+y)=f(x)·f(y) 解函数特性,导出了函数,f(x)的重要解析特征。     

关于x的方程f（x）=p有解,求p的取值范围的问题

我们经常会遇到形如关于x的方程f（x）=p有解,求a的取值范围的问题,本文给出了解决这一类问题的一般方法。我们先看下面的例题。     

P（f）=R（f）的一类差分方程

将区间上一维连续自映射的结果Ｐ（ｆ）＝Ｒ（ｆ）推广到任意维的差分方程上去,定义这类差分方程的第ｉ个分量仅依赖于前面的ｉ个独立变量。     

f[f（x）]=（x＋1）／（x＋2）确定的函数f（x）是1／（1＋x）吗？

在近期出版的一些参考资料中,均选编了下面一道题目并给出下述解法:已知ｆ(ｘ)满足ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2.求ｆ(ｘ).解:∵ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2=11 11 ｘ,∴ｆ(ｘ)=11 ｘ.该解法属定义法,看似简捷明快,令人耳目一新,但仔细推敲,题目和解法均有值得商讨之处.众所周知,两函数ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)构成复合函数ｆ[ｇ(ｘ)],需具备条件ＲｇＤｆ,其中Ｒｇ是ｇ(ｘ)的值域,Ｄｆ是ｆ(ｘ)的定义域.ｆ(ｘ)=11 ｘ的定义域Ｄｆ={ｘ|ｘ∈Ｒ,且ｘ≠-1},值域Ｒｆ={ｙ|ｙ∈Ｒ,且ｙ≠0}.因为ＲｆＤｆ,所以ｆ(ｘ)=11 ｘ在自然定义域上不能构成复合函数ｆ[ｆ(ｘ)].当然,如…     

关于函数方程f（x＋y/2）=f（x）＋f（y）/2的通解

用分析方法给出了一个网上征解函数方程问题的通解。     

用函数f（x）=x＋k/x的图象求一类方程中参数的范围

对于函数f（x）=x＋k/x（k≠0）,可总结出如下性质： ①定义域为（-∞,0）∪（0,＋∞）．     

高等数学中关于方程f（x）=0根的讨论

本文介绍了方程根f（x）=0的等价概念，对方程f（x）=0根的四种类型的判定作了理论阐述，最后给出了判定实例。     

迭代方程x（P（z）＋bx（z））=h（x（z））的解析解

用优级数法给出一类迭代函数方程解析解存在的充分条件．     

（3,n）型多项式函数方程xf^2（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解

讨论在复数域上,当f（x）与g（x）的次数都等于3,并且g（x）的次数不超过3时,多项式函数方程xf（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解的情况,得到部分结果.主要结果为：如果h（x）的次数等于1,那么这个函数方程无解;如果h（x）的次数等于2,那么这个函数方程一共有8组解;如果h（x）的次数等于3,那么h（x）的1次项系数等于零时,这个函数方程一共有24组解;当h（x）的2次项系数等于零时,但1次项系数不等于零时,这个函数方程一共有36组解.     

如何解含有函数记号“f（x）”的有关问题

由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号f（x）的问题感到困难．本文将此类问题的常见解法总结如下．[第一段]     

f^-1（x＋1）是f（x＋1）的反函数吗？

学生在学习反函数时，常常把f^-1（x＋1）认为是f（x＋1）的反函数，现就这一问题加以辨析。     

低次多行式函数方程xf~2（x）＋xg~2（x）=h~2（x）解的讨论

讨论复数域上多项式函数方程xf2（x）＋xg2（x）=h2（x）,得到这个函数方程的一些基本性质,以及当f（x）,g（x）,h（x）的次数都不超过2时,该函数方程的所有解。其解的情况如下：在复数域上,如果上述三个多项式的次数都不超过2,那么该函数方程有解当且仅当下列3个条件之一成立：（1）h（x）是零多项式;（2）f（x）,g（x）,h（x）都是1次多项式;（3）f（x）,g（x）,h（x）都是2次多项式。更进一步地,满足条件（1）的解只有1组;满足条件（2）的解一共有4组;满足条件（3）的解一共有16组。