错在哪里

!安徽省枞阳县会宫中学 王怀明 姚汉兵（邮编：246740） 题（2011年安徽卷理18，文21） 在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn,     

一个错解剖析及推广

文[1]最后一道例题的解答错误,现更正并进行推广．原题如下： 例把数列{2n＋1},（n∈N＋）依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,……,循环分为（3）,（5,7）,（9,11,13）,（15,17,19,21）,（23,……）,（35,37,39,41）,（43,……）．求第104个括号内各数之和．     

一道高考概率题的思考历程

2014年江西省数学高考理科第21题如下： 题目随机将1，2，…，2n（其中n∈N^＋，n≥2）这2n个正整数分成A组和B组，每组n个数，A组最大数为a1，最小数为a2；B组最大数为b1，最小数为b2，记ξ=a1-a2，η=b1-b2．     

一道数学竞赛题的探究

题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式.     

例析生物学中的“至少”与“最多”

在2009年上海高考生物试卷中有这样两道题：（1）某蛋白质由m条肽链n个氨基酸组成。该蛋白质至少有氧原子的个数是（）。A.n-mB.n-2mC.n＋mD.n＋2m（2）某条多肽的相对分子质量为2778,若氨基酸的平均相对分子质量为110,如考虑终止密码子,则编码该多肽的基因长度至少是（）。     

对两道小学数学题解的评析

例1从1~9这9张牌中任取4张,这4个数所组成的和或是奇数或是偶数,哪种可能性更大？这是苏教版数学六年级奥数读本第92页练习十二中的第12题。在该书224页给出了这样的＂参考答案＂：＂因为这9个数非奇即偶（共有五奇四偶）,从选出的4个数组成的和来看,如果是奇数,只有这样两种可能：（1）奇＋偶＋偶＋偶,（2）奇＋奇＋奇＋...     

关于素数个数的又一个不等式

对于正实数x,设π（x）表示适合p≤x的素数p的个数.对于正整数k、n,设fk（n）=π（x）＋π（2kx）＋…＋π（nkx）及Sk（n）=1k＋2k＋…＋nk.证明了：当x≥4且n≥[（k＋1）e1.2]时,fk（n）≥π（Sk（n）x）.     

不定方程正整数解的个数及其应用

我们常常遇到（或可化为）下列问题：求方程x1＋x2＋…＋xm＋n（m，n∈N^＊，m≤n）的正整数解的个数。下面笔者给出这一问题的计算方法及其应用，供大家参考。     

一道习题引发的探究

题目 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋a）=-f（x）（a〉0）,若将方程f（x）=0在闭区间[-2a,2a]上的根的个数记为n,则n的最小值为_．（以下简称原题）     

探索型试题解法例析

一、探索规律型 例1 观察1＋2＋3＋…＋10=55,1＋2＋3＋…＋100=5050,1＋2＋3＋…＋1000=500500,……请你猜想1＋2＋3＋…＋10^n=（ ）（n为正整数,以下n相同）。解 观察其规律不难发现结果都是由2个5或若干个0组成,而0的个数与最后加数10^n中的n有关,两个5之间和最后都有（n－1）个0。     

对数列求和问题的探讨

在高中数学教学中对于1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^21/6n（n＋1）（2n＋1）这道题是用数学归纳法证明的,而用数学归纳法证明问题,必须已知问题的结果,若在结果未知的情况下,能否直接推导出这个结果呢？回答是肯定的,这里用组合数性质等有关知识来讨论这个问题．     

一道课本复习题的证法探究与拓展

人教版新教材高中数学第二册（下B）146页第8题（2） 证明：C^1n＋2C^2n＋3C^3n＋…＋nC^nn=n·2^n-1（n∈N＊）． 一、问题的证法研究 根据此等式的结构特征,利用组合数的意义,运用联想、类比、转化等数学思想方法,多角度、多方向思维,笔者在教学中得到了多种不同的证法．通过这种一题多解的教学,对激发学生兴趣,拓宽思路,提高思维能力大有好处．下面给出这道题的六种证法,其中前三种为常见证法,后三种为创新证法．     

利用对偶空间构造最优等维码

令Aq（n,d,k）表示射影空间上的码所含码字的最大个数,Tuvi Etzion 等人给出了Aq（n,2k,k）的上界和下界。我们发现当q=2,n=2k＋1时上界和下界相等,并利用对偶空间给出了最优等维码（2k＋1,2k＋1＋1,2k,k）的一种构造。     

数列

试题 1（湖北卷，理科第15题）将杨辉三角中的每一个数C′n都换成1/（n＋1）C′n，就得到一个如图1所示的分数三角形，成为莱布尼兹三角形，从莱布尼兹三角形可看出1/（n＋1）C′n＋1/（n＋1）C′n=1/nC′n-1，其中x=_____，令an=1/3＋1/12＋1/30＋1/60＋…＋1/nC^2 n-1＋1/（n＋1）Cn^2,则liman（n→∞）=_____.     

素因子函数Ω（n）的二次均值

设Ω（n）表示正整数n的全部素因子的个数,即若n=PlαlP2α2…pr^αr,其中Pi（1≤i≤r）是不同的素数,则Ω（n）=α＋α2＋…＋α,．文章主要利用初等方法探讨Ω（n）的二次均值,并给出∑a≤x^Ω2（x）的渐近公式．     

一道高中数学联赛难度的考研题引发的联想——浅谈数列不等式的定积分证法和Bernoulli不等式的加强

2011年全国硕士研究生入学统一考试《数学I》中出现了一道高中竞赛难度的题,题目如下：证明：（1）对于任意正整数n都有1/n＋1＜ln（1＋1n）＜1/n;（设）an=1＋1/2＋…＋1/n-1nn（n=1,2…）,证明数列 {an}收敛.本题很基础,     

一个重要不等式的给出、证明及应用

探究2008年陕西省理科高考题第22题的求解过程中,对于问题（Ⅲ）证明：a1＋a2＋…＋an〉n^2/n＋1（注：由问题（I）可求得an=3^n/3^n＋2,n∈N^＊））,不少资料提供的解答参考     

一道集合竞赛题的随想

1问题的引入 题目 记号｜X｜表示集合X所含元素的个数．设｜X｜=n（n∈N＋）,X的全部子集为{A1,A2,…,Am}（m=2^n）．已知如下的子集交集的元素个数之和.     

由数列递推关系求通项——2011年高考广东理科数学20（1）评析

数列回归2011年高考解答题是今年广东高考数学卷的一大特点。该试题为：设b〉0,数列{an}满足a1=b,an=nban-1/an-1＋2n-2（n≥2）.（1）求数列{an}的通项公式;（2）证明：对于一切正整数n,an≤bn＋1/2n＋1＋1.     

整式乘法创新题

一、求值题 例1若（x^2＋nx＋3）（x^2-3x＋m）的展开式中不含x^2和x^3的项，求m和n的值．