柯西不等式的若干变式及其应用

柯西不等式是由法国数学家柯西最早发现的,因而被命名为柯西不等式.由不等式2ab≤a²+b²,这里只要令a=a₁b₂,b=a₂b₁,便可得到,二维的柯西不等式为（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）,而等号成立时就是完全平方公式,这时a=b,也就是a₁:a₂=b₁:b₂.n维的柯西不等式为:设a₁,a₂,…,     

排序不等式的应用举例

设有两个有序数组a₁≤a₂≤…≤a_n及b₁≤b₂≤…≤b_n.则a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n（顺序和）≥a₁b_j1+a₂b_j2+…+a_nb_jn（乱序和）≥a₁b_n+a₂b_n-1+…·+a_nb₁（逆序和）。其中j₁,j₂,…,j_n是1,2,…,n的任一排列。当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号（对任一排列j₁,j₂,…,j_n）成立。以上就是新课程介绍的排序原理（或排序不等式）,以前是竞赛数学中的一个重要的不等式,现在新增至高中数学选修教材中。排序不等式和柯西不等式一起作为两个基础而重要的不等式,形式优美、意思非常简单明了,很容易理解和记忆,而且它的应用十分广泛和而又富有技巧性,掌握和利用好排序不等式,对证明不等式,比较大小,求最值,以及解决一些应用题都很有帮助,体现了数学的对称美,有利于培     

竞赛中的数列

数列在中学数学中占有很重要的地位,是数学学习的一项基本内容,本文主要介绍了数列在竞赛中的应用.例1（2001年全国高中数学联合竞赛）设{a_n}为等差数列,{b_n}为等比数列且b₁=a₁²,b₂=a₂²,b₃=a₃²（a₁2）,又（?）(b₁+b₂+     

几道与填装问题相关的数学竞赛题

问题设有重为a₁,a₂,…,a_m的货物,能否用载重为b₁,b₂,…,b_n的卡车一次全部运走?这即为填装问题.若能够一次运走,则用记号（a₁,a₂,…,a_m）→（b₁,b₂,…,b_n）表示.显然,能够一次运走需有下列必要条件:（?）寻找充分条件是一个困难的问题,比较有意思的情形是a_i、b_j均为正整数,且（?）在数学竞赛中有很多与填装问题相关的题     

一道数学练习题的启示

<正> 在全日制普通高级中学教科书（必修）数学（人教版）第一册（上）第137页上有这样一道题目:有两个等差数列{a_n},{b_n},且（a₁+a₂+…+a_n/b₁+b₂+…b_n）=（7n+2/n+3）,求（a₅/b₅）。这是一道利用等差数列的性质（在等差数列{a_n}中,若 m+n=p+q,则 a_m+a_n=a_p+a_q）和等差数列前 n 项和的公式[S_n=（a₁+a_n）·n/2]求解的综合试题。本文想通过这道题目的求解思路和方法,给出解这类问题的一般思路和方法。首先来解这道题:     

一道联赛不等式的简证、变式及推广

<正>题目设a₁,a₂,...,a_n,b₁,b₂,...,■该题是全国高中数学联赛第二试的一道不等式题,本文将给出的一个简证及变式,并进一步将其推广该题．简证:设■     

一道2013年波罗的海奥赛题的推广

（2013年波罗的海奥林匹克数学竟赛）已知x,y,z,是正数,求证（x³/y²+z²）+)（y³/z²+x²）+（z³/x²+y²）≥（x+y+z/2）。本文给出它的推广:已知n个正数:a₁,a₂,a₃…a_n,求证:(a₁ⁿ/a₂^n-1)+(a₂ⁿ/a₃^n-1+a₄^n-1+…a_n^n-1+a₁^n-1)+…+(a_n-1ⁿ/a_n^n-1)+(a₁^n-1+a₂^n-1)…+(a_nⁿ/a₁^n-1+a₂^n-1…a_n-1^n-1)≥（a₁+a₂+…+a_n/n-1）.     

再探等差与等比数列前n项和的性质

文[1]作者得到下列两个性质:①若数列{a_n}是以口a₁为首项,d为公差的等差数列,则a₁Ca_n⁰+…+a_n+1C_nⁿ=（a₁+n/2d）·2ⁿ.②若数列{a_n}是以a₁为首项,q为公比的等比数列,贝a₁C_n⁰+a₂C_n¹+…+a_n+1C_nⁿ=q（1+q）ⁿ.文[2]作者得到性质:对于任意以口l为首项,q为公比的等比数列{a_n}（a₁≠0,q≠0）,任意以b₁为首项,d为公差的等差列{b_n},总有:     

特殊解法与通用解法

例1（1995年高中联赛）设等差数列|a_n|满足3a₈=5a₁₃,且a₁>0,S_n为其前n项之和,则S_n（n∈N^*）中最大的是（）（A）S₁₀（B）S₁₁（C）S₂₀（D）S₂₁分析:若能找出等差数列|a_n|中的相邻两项a_k,a_k+1,使得0介于这两项之间（或使得a_k=0）,则可确定等差数列前n项和S_n的最值.例如,当a₁>a₂>…>a_k>0>a_k+1>…时,     

数论性质在不等式问题中的应用

（本讲适合高中）数论与不等式是奥林匹克数学的两个重要分支,在解数学竞赛题时,需要解题者将这两方面的知识与技巧融合起来,如一些不定方程需要利用不等式估计来求解或研究解的性质,反之,在一些上下界估计的问题中,除了代数技巧之外,还需要借助整数的特性.本文主要针对后者展开讨论,即通过一些例题,介绍数论性质在上下界估计中的一些应用以及相关的问题.文中所使用的记号约定如下:（a₁,a₂,…,a_n）表示正整数a₁,a₂,…,a_n的最     

不同的思考方向引出不同的解法

在人教版普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）第二章《数列》习题2.5A组中的一道题目:在等比数列{a_n}中,已知a₃=/2,S₃=9/2,求a₁与q.根据题目条件,不同的思考方向会为我们引出不同的解法,在算法上也有所体现.思考方向一:根据已知联想到和的定义式S₃=a₁+a₂+a₃,出现两个未知数a₁、a₂,利用等比数列的概念及已知量a₃与要求的量q表示未知数a₁、a₂求解.解:因为a₃=3/2,S₃=9/2,又S₃=a₁+a₂+a₃=a₃(q^-2+q^-1+1),所以q^-2+q^-1+1=3,即aq²-q-1=0,解得q=1或q=-1/2.当q=1时,a₁=3/2;当q=-1/2时,a₁=6.思考方向二:根据已知联想到和的定义式S₃=a₁+a₂+a₃,出现两个未知数a₁、a₂,利用等比数列的概念用基本量a₁与q表示未知数a₁、a₂求解.解:因为a₃=3/2,S₃=9/2,所以（?）     

2014年高考新课标Ⅱ卷数列题解答分析

一、试题2014年高考数学课标卷试题:已知数列{a_n},满足a₁=1,a_n+1=3a_n+1.（Ⅰ）证明{a_n+1/2}是等比数列,并求{a_n}的通项公式;（Ⅱ）证明1/（a₁）+1/（a₂）…+1/（a_n）<3/2.此题设置两道小题,融数列、方程与不等式等高中数学主干知识,以及换元、放缩、数学归纳法等核心数学思想方法,逻辑推理、归纳类比等核心能力于一体,具有较强的探索性,考查学生对数学主干知识与核心思想方法的深层次理解与掌握.第（Ⅰ）小题待求结论     

2013年高考数学湖北理科卷第12题的背景素材

（2013年高考湖北卷·理12）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=_<sub>.解析（1）a₁=10,i=1;（2）a₁为偶数,则a₂=a₁/2=5,i=2;（3）a₂为奇数,则a₃=3a₂+1=16,i=3;（4）a₃为偶数,则a₄=a₃/2=8,i=4;（5）a₄为偶数,a₅=a₄/2=4,i=5.故答案为i=5.本题立意新颖,其背景是世界数学名题"3x+1问题":即任意一个正整数,若是偶数则除以2;若是     

一类数列单调性的探究

数列是定义在正整数集或其子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,数列的函数特征——单调性,在近几年各省市的高考中有充分表现.有一类递推数列可表示为a_n+1=f（a_n）的形式,这类数列的单调性与函数y=f（x）的单调性之间的关系密切.本文先给出几个数列单调性的结论,然后例析其应用.定理1设a_n+1=f（a_n）,若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增,对于任意a_n∈D.（1）当a₁2时,数列{a_n}单调递增;（2）当a₁>a₂时,数列{a_n}单调递减.我们用数学归纳法来探究:假设当n=k时,若     

放缩法与绝对值不等式

放缩,是证明含绝对值不等式的重要手段,主要依据是:|a+b|≤|a|+|b|（或推广为|a₁+a₂+…+a_n|≤|a₁|+|a₂|+…|a_n|）,具体应用此式时,要注意等号成立的条件.     

2012欧洲女子数学奥林匹克

第一天1.如图1,O是△ABC的外心,点D、E、F分别在线段BC、CA、AB上,使得DE⊥CO,DF⊥BO.设K为△AFE的外心,证明:DK⊥BC.2.设n是一个给定的正整数.求最大的正整数m,使得具有如下性质:存在一张m行n列的实数数表,满足对任意两行数[a₁,a₂,…,a_n]和[b₁,b₂,…,b_n]均有     

构造等比数列巧证一类数列不等式

数列不等式是近年来高考和竞赛中的热点题型,其中一类形如∑ a_in},将不等式改为证明∑ a_i<∑ b_in}的首项b₁∈（0,+∞）,公比     

数列通项公式和前n项和的求法

一、数列通项公式的求法1.通项法:当我们明确该数列是等差数列或者是等比数列时,可以直接通过等差数列的通项公式a_n=a₁（n-1）d,或者等比数列的通项公式a_n=a₁q^n-1求得.2.观察法:例（1）2,4,6,8,……参考答案:a_n=2n     

一类数列题的解法探究

在江苏高考和各地的模拟试题中,常常会出现下列这些问题,这些问题表面上看都是一些数列题,实质都是不定方程的整数解的问题.本文谈谈此种问题的常见解法.一.从等式两边的大小来看（用不等式方法研究比较）例1已知各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q,且0n}中是否存在三项,使其成等差数列?说明理由.解由条件知a_n=a₁q^n-1,01>     

n个自然数的积与最小公倍数、最大公约数的关系

我们知道,对于任意两个自然数a₁、a₂,它们的最大公约数（a₁,a₂）、最小公倍数[a₁,a₂]和乘积a₁·a₂之间满足关系式[a₁,a₂]=a₁·a₂/（a₁,a₂）.那么对于任意n个式[a₁,a₂]=a₁·a₂/（a₁,a₂）.那么对于任意n个自然数a₁、a₂、a₃、…、a_n,它们的最大公