对应关系不确定的两个相似三角形

当两个相似三角形的对应关系不确定时(若表述为"以某三点为顶点的三角形与△×××相似"或表述为"△×××与△×××相似",则认为对应关系没有确定. 但表述为"△×××∽△×××"时,则已指明了对应关系),应从对应顶点、对应角或对应边的角度,分类讨论各种可能的对应关系,同时应采用数形结合、方程和函数的思想方法,使解题有条不紊,使结果不重不漏.下面以近年的中考题为例进行讲练.     

“变”字当关,乐在其中——一道中考题的拓展思考

(2006·辽宁锦州)点P是△ABC中AB边上的一点,过P作直线(不与直线AB重合) 截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线最多有____条. 解析:画任意△ABC(三边互不相等,无直角),如图. 若以∠A为公共角,可画△APE～△ABC,△APF∽△ACB; 若以∠B为公共角,可画△BPG～△BAC,△BPH～△BCA; 所以满足题目条件的直线最多有4条. 拓展变式: 特殊化思考:如果△ABC是特殊三角形呢?     

初中数学几何题中相似三角形的巧妙运用

<正>初中数学几何问题中,如果包含线段比例或者数量关系,可通过这些线段构建“A字形”“8字形”相似三角形,构建方法是过比例线段的顶点作平行线,具体包括下面几种形式:在△ABC和△EDB中,∠B是公共角,直线DE和AC相交于点F．第一种方法:如图1,过点C作CG∥AB,与DE相交于点G,则可以得到结论:△GCE与△DBE相似、△FGC与△FDA相似．     

不同的描述 不同的含意——谈相似三角形问题

<正>相似三角形是初中数学的核心知识.我们在描述两个三角形相似时,要注意不同的描述有不同的含意.一、若用符号"∽"描述,则各边的对应关系确定,此时相关问题有唯一解例1 已知:如图1,在△ABC和△AED中,AB=6,AC=9,AE=2,△ABC∽△AED.求AD的长.分析与解本题中,对两个三角形相似的描述直接使用相似符号"∽",这时两个相似三角形的各对应点是固定的.即△ABC的顶点A、B、C分别对应△AED的顶点A、E、     

分类思想在相似三角形中的应用例

分类讨论是一种很重要的数学思想方法,渗透在整个初中数学结构体系之中,作为体现分类思想的一个绝好的载体,相似三角形常常因为对应边或对应角的不确定而需要加以分类讨论,本文就此略举几例说明如下.一、对应边不确定例1如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,点M在AB上且AM=3,点N在AC上,如果连结MN,使得△AMN与原三角形相似,则AN=.分析:△AMN相似于△ABC,但由题意AM的对应边是不确定的,可分两种情形讨论:解:1AM对应AB时,则ANAC=AMAB,∴AN=6×39=2;2AM对应AC时,则AMAC=ANAB,∴AN=3×96=92=4.5.故AN=2或4.5.例2如图,在直角梯形A…     

由三角形相似的表示谈其对应关系

在记两个三角形相似时和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出对应角和对应边．那么，反过来呢?这里应该明确：①“△ABC∽△A1B1C1”表明对应关系是惟一确定的，     

勃罗卡点到三顶点及三边的距离公式

如图1,P为△ABC中一点,若∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α,则称P点为勃罗卡点,角α为勃罗卡角。文［1］给出设P到三角形三边BC,CA,AB的距离分别为x,y,z,△表△ABC面积文［2］给出实际上,如图所示作出的勃罗卡点是唯一的,则P点到三顶点、三边距离应是确定的。定理1：P是△AB     

对应关系不全产生错解

在考察两个三角形相似时,不少同学找不全两个三角形的边、角对应关系,以致发生漏解现象.如下例.题目:在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始以2cm/秒的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以4cm/秒的     

相似三角形的性质与判定

[知识要点]1 相似三角形的性质: (1) 　　　　;(2) 　　　　;(3) 　　　　 　2 相似三角形的判定方法: (1) 　　　; (2) 　　　;(3) 　　　,两直角三角形相似的判定除上述方法外,还有　　　 典型考题解析例1　(2003年江苏省泰州市)在Rt△ABC 的直角边AC上有一点P(点P与点A、C不重合) 过点 P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线共有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 1条　　　(B) 2条　　　　(C) 3条　　　　(D)4条例2　(2004年湖北省宜昌实验区)如图1,在平行四40　　　边形ABCD 中,…     

一个值得命题者注意的问题

现行九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册(人民教育出版社中学数学室编著,以下简称教材)第226页有这样一段文字:“在记两个三角形相似时,和记两个三角形全等一样,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。”关于这段文字,现行九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册教师教学用书(人民教育出版社中学数学室编著,以下简称教参)第250页有以下注解:写成△ABC∽△A1B1C1,表明对应关系是惟一确定的:A→A1,B→B1,C→C1,如果仅说:“这两个三角形相似”则没有说明对应关系。教材…     

三角形中的内接三角形

(本讲适合初中)若点 D,E,F 分别、在△ABC 的边 BC,CA,AB上,则称△DEF 为△ABC 的“内接三角形”,而△ABC 为△DEF 的“母三角形”.关于“母子三角形”的面积关系,有下述重要结论.定理如果△DEF 为△ABC 的“子三角形”,且     

如何确定相似三角形

利用相似三角形的性质可以证明角相等、对应边成比例。因此证明角相等、对应边成比例的关键是证三角形相似。为此 ,我们在教学实践中探索出从求证的比例式或乘积式中寻找相似三角形 ,取得了显著的效果。　　例 1　如图 ,△ ABC中 ,∠ C为直角 ,△DEF中 ,∠F为直角 ,DE⊥ AC,DF⊥ AB。求证 :ACDF=ABDE。　　分析 :根据相似三角形对应边成比例 ,设想比例式中的一、三项线段是一个三角形的两边 ,二、四项线段是另一个三角形的两边 ,找出这对相似三角形即可。　　例 2　已知△ ABC的边AC、AB上的中线 BE、CF交于点 G。求证 :GEG…     

相似三角形的一个基本图形及其应用

如图1，△ABC中，点D为AB上一点（异于A、B两点），连接CD，此时，图中共有三个三角形．其特征：△ACD和△CBD分别与原三角形ABC有一条公共边（AC和BC），一个公共角（∠4与∠B）；三条边AD、BD、AB均在一条直线上．在这里我们把它们称为“共角共边”三角形．[第一段]     

垂足三角形的相似比

<正>概念设P是△ABC内的任意一点,从该点向BC、CA、AB分别引垂线PA1、PB1、PC1(如图1),以它们的垂足A1、B1、C1为顶点的三角形A1B1C1称为△ABC关于"垂心"P的垂足三角形.问题对任一给定的△ABC与△ABC中给定的一个内点,第三个垂足三角形A3B3C3与△ABC相似吗?若相似,相似比能恰当地表示吗?纽伯格(J.Neuberg)已证明了第三个垂足三角形与原三角形是相似的.     

怎样的三角形可以被分割为两个等腰三角形

问题：已知△ABC,当△ABC满足什么条件时,可以用过顶点的一条直线将它分割成两个等腰三角形？如何分？ 一、探索结论 可以按三角形三个角的关系,分类讨论如下： （一）当△ABC是等边三角形时,显然不能分为两个等腰三角形。     

三角形若干共点线的问题探究

三角形中三条角平分线(高、中线、边垂直平分线)共点,在三角形中还有其它一些三线共点的问题,举例如下:问题1以△ABC的三边为底,分别向外(内)作三个相似的等腰三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,则'AA、'BB、'CC三线共点.问题2以△ABC的三边为底,分别向外作三个三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,使'BACCAB=?'ABCCBA=?'BCA'ACB=?则'AA、'BB、'CC三线共点.问题3设P为△ABC内的一点,由P向BC、CA和AB三边作垂线,垂足为'A、'B、'C,则(1)当P为内心时,有'AA、'BB、'CC三线共点;(2)当P为外心时,有'AA、'BB、'CC三线共点…     

垂足三角形的一个性质

文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD…     

探寻未被覆盖的相似三角形

将三角形的某个顶点沿一条直线折叠,顶点落在对边上,未被覆盖的两个三角形相似吗?若相似,相似是唯一的吗?如何准确地找到折痕呢?若不相似,适当增加一些条件后,能相似吗?笔者针对上述问题展开研究,希望能得到一般性的结论,撰文如下,抛砖引玉,期盼同行斧正.1正三角形用纸剪一个正三角形ABC,然后如图1折叠,使直线FE∥BC,点A落在BC边上的一点D上(点A落在三角形ABC内部,未被覆盖的部分不直接构成三角形不研究)那么,点D一定是BC的中点,并且△BDF≌△CED(自己完成证明),如果直线EF与BC不平行(图2),显然,点D不再是BC的中点,△BDF与△C…     

“子母”三角形相似在几何证题中的作用

如图,P是△ABC的边AB上一点,连结CP,我们称△ACP和△ABC为“子母”三角形“子母”三角形有两个明显的特点:其一,有一条公共边;其二,有一个公共角,要证其相似,只需证∠ACP=∠B或AC:AP=AB:AC(即AC~2=AP·AB)即可. 在几何证题中,从分析要证的结论和观察图形入手,结合题目的已知条件,对照“子母”三角形的相似特点,就会自然迅速地打通思路,本     

发掘生活中相似知识的巧妙应用

一、相似知识回顾 1.如果选用同一个长度单位量得的两条线段AB、CD的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n,或写成AB/CD=m/n.分别叫做这条线段比的前项后项. 2.三角形ABC与三角形A'B'C’是形状形同的图形,其中各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似多边形的比叫做相似比. 4.三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.若三角形ABC与三角形DEF相似,记作△ABC～△DEF,把对应定点的字母写在相应的位置上.