活用一结论速解一类竞赛题

结论　若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明　∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1　 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明　由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32…     

一个恒等式的开发与应用

恒等式ａ3 ｂ3 ｃ3- 3ａｂｃ=12 (ａ ｂ ｃ) [(ａ-ｂ) 2 (ｂ-ｃ) 2 (ｃ-ａ) 2 ]( )已为人们所熟识 ,高中《代数》下册 (心修 )第 9页上给出了这一恒等式 ,并以此导出了一个重要不等式　ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ　 (ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ) .本文对恒等式 ( )作深入研究 ,并给出以下结论及应用 .1　三个命题命题 1　若ａ、ｂ、ｃ是不全相等的实数 ,则ａ ｂ ｃ =0 ａ3 ｂ3 ｃ3=3ａｂｃ.　　命题 2　若ａ、ｂ、ｃ是不全相等的实数 ,则ａ ｂ ｃ >0 ａ3 ｂ3 ｃ3>3ａｂｃ,或ａ ｂ ｃ<0 ａ3 ｂ3 ｃ3<3ａｂｃ .　　命题 3　若ａ ｂ ｃ=0且ａ3 ｂ3…     

巧用P＋3Q≥R证明三角形不等式

数学素质教育的核心问题是培养学生的数学创新能力 .笔者注意在不等式证明的教学和兴趣小组辅导中引进创新方法 :Ｐ -Ｑ -Ｒ法 ,巧用定理 :Ｐ 3Ｑ≥Ｒ证明一类三角形不等式 ,收到了较好的效果 ,现介绍给读者 .定理　△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ ,并记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,　　　Ｑ =ａｂｃ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 ,则　　　　　Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ .　　证明　考虑到三角形两边之和大于第三边 ,有(ａ -ｂ) 2 (ａ ｂ -ｃ)=ａ3 ｂ3 -ａ2 ｂ -ａｂ2 -ｂ2 ｃ-ｃａ2 2ａｂｃ≥ 0 ,(ｂ-ｃ) 2 (ｂ ｃ -ａ)=ｂ3 ｃ3 -ｂ2…     

擂台题(48)的评注

擂题 (4 8) (陆伟成提供 )　设ａ、ｂ、ｃ∈ (0 ,2 ) ,且ａ2 ｂ2 ｃ2 ａｂｃ=4 ,求证 :ａｂｃ≥ (2 -ａ2 ) (2 -ｂ2 ) (2 -ｃ2 )≥ (4ａ2 -ａ4 -2 ) (4ｂ2 -ｂ4 -2 ) (4ｃ2 -ｃ4 -2 )。本擂题共收到解答 1 3份 ,其中正确的 8份 ,按时间顺序 ,作者分别是黄军华 (长沙市湖南师大附中 ,4 1 0 0 0 6,本擂题奖金获得者 ) ,杨学枝 (福建福州 2 4中 ,3 5 0 0 1 5 ) ,张顺 (黑龙江宾县教科所 ,1 5 0 4 0 0 ) ,令标 (安徽当涂青山中学 ,2 4 3 1 5 1 ) ,杨彪 (湖南城步茅坪镇中学 ,4 2 2 5 0 3 )。来稿中所采用的方法主要有 :三角法、代数法。黄军…     

代换法证明不等式

例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明　设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2　在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明　设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ…     

成果集锦

一个不等式猜想的证明猜想见本刊2000年第5期”成果集锦”.证明:猜想的不等式等价于2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ≥ｍｂ ｍｃ,即(2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ)2≥(ｍｂ ｍｃ)2.应用中线公式,展开,有Ｔ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ)-8ｍｂｍｃ 8ａ2 11ｂ2 11ｃ2 8ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ≥0.①∵(4ｍｂｍｃ)2=(2ａ2 2ｃ2-ｂ2)(2ａ2 2ｂ2-ｃ2)=(2ａ2 ｂｃ)2-2(ａ ｂ ｃ)(-ａ ｂ ｃ)(ｂ-ｃ)2≤(2ａ2 ｂｃ)2,∴4ｍｂｍＣ≤2ａ2 ｂｃ.∴Ｔ≥16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) 4ａ2 11ｂ2 11ｃ2 6ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) (2ａ-ｂ-ｃ)(2ａ-7ｂ-7ｃ) 4(ｂ-ｃ)2≥(2ａ-ｂ-ｃ)(16ｍａ 2ａ-7ｂ…     

三角函数的三“性”

一、易变性 :三角函数和三角形中的有关知识相辅相承 ,将二者结合 ,能实现它们之间的相互转化 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,Ｓ△ＡＢＣ =ｐ(ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ) ,其中ａ、ｂ、ｃ分别为△ＡＢＣ的三边 ,ｐ =ａ +ｂ+ｃ2 ,试证明这个结论 .简证 :因Ｓ△ＡＢＣ=12 ａｂｓｉｎＣ ,故Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ｓｉｎ2 Ｃ .由余弦定理 ,ｃｏｓＣ =ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ ,∴　Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ( 1-ｃｏｓ2 Ｃ) =14 ａ2 ｂ2 1- ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ2=116 ( 2ａ2 ｂ2 + 2ａ2 ｃ2 + 2ｂ2 ｃ2 -ａ4-ｂ4-ｃ4) .而 ( ｐ( ｐ -ａ) (ｐ -ｂ) ( ｐ -…     

解题杂谈

一、分与合例 1　设ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 -ｂ2 ｃ21ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 -ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 =0 .①求证 :ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ与ａｂ ｃｄ -ｄａ -ｂｃ中至少有一个为零 .讲解　这是文 [1 ]谈数学和谐美的第一个例子 .整个分析处理过程如下 :已知条件是分式 ,而结论是整式 ,不和谐 ,且条件复杂 ,结论简单 .所以 ,可以运用顺推策略探索解题途径 ,并将分式化为整式 ,使条件与结论和谐化 ,另外 ,还需将结论等价地变为(ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ) (ａｂ ｃｄ…     

巧证平均不等式

平均不等式 :若ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,则ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ,当且仅当ａ =ｂ=ｃ时 ,取“ =”号 .教材上已给出一种证明方法 ,笔者再给出如下一种简捷证法 ,供读者学习时参考 .证明　由ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,得ａ+ｂ +ｃ+3 ａｂｃ=(ａ+ｂ) +(ｃ+3 ａｂｃ)≥ 2ａｂ +2ｃ· 3 ａｂｃ=2 (ａｂ+ｃ 3 ａｂｃ)≥ 4ａｂ·ｃ 3 ａｂｃ=4 4 ａｂｃ 3 ａｂｃ=44 3 ａ4ｂ4ｃ4=4 3 ａｂｃ .∴ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ.以上证明中等号成立 ,当且仅当ａ =ｂ,且ｃ =3 ａｂｃ,ａｂ =ｃ 3 ａｂｃ ,即巧证平均不等式@徐有林$云南省巧家县第一中学!654600…     

巧妙构造一元二次方程

一、利用根的定义构造一元二次方程例 1　已知ａ、ｂ为互不相等的实数 ,且ａ2 =7- 3ａ,ｂ2 =7- 3ｂ.求ａ2 +ｂ2 的值 .(2 0 0 2年北大附中中考模拟题 )分析　观察发现 ,ａ、ｂ实际上是方程ｘ2 +3ｘ-7=0的两个互不相等的实根 ,从而可以利用根与系数的关系求ａ2 +ｂ2 的值 .　解　由ａ2 =7- 3ａ ,ｂ2 =7- 3ｂ ,知ａ、ｂ是方程ｘ2 +3ｘ- 7=0的两个根 ,则ａ +ｂ =- 3,ａｂ=- 7.∴　ａ2 +ｂ2 =(ａ +ｂ) 2 - 2ａｂ =(- 3) 2 +2× 7=2 3.例 2　已知ａ2 +ａｃ+ｃ2 =0 ,ｂ2 +ｂｃ+ｃ2 =0(ｂ≠ａ) ,请猜想ａ2 +ａｂ +ｂ2 的值 ,并证明你的猜想 . (2 0 …     

IMO41第2题另证

20 0 0年 7月 19日举行的第 41届国际数学奥林匹克竞赛的第 2题为 :设ａ ,ｂ ,ｃ是正实数 ,且满足ａｂｃ =1,求证 :　 (ａ -1 1ｂ) (ｂ -1 1ｃ) (ｃ-1 1ａ)≤ 1.《中等数学》杂志 2 0 0 0年第 4期上刊登了此题 ,本文给出另一种证法 .证明 :由题设条件易知正实数ａ ,ｂ ,ｃ中有两个不小于 1,另一个不大于 1;或者有两个不大于 1,另一个不小于 1.此时在ａ -1 1ｂ,ｂ-1 1ｃ,ｃ -1 1ａ中至多有一个负值 .当ａ -1 1ｂ,ｂ -1 1ｃ,ｃ -1 1ａ中有一个负值时 ,原不等式显然成立 ,下面只要证明它们均为正值的情形 .∵ａｂｃ =1,∴ａ -1 1ｂ=…     

涉及三角形角平分线的一个不等式

文 [1]介绍了涉及三角形高线的不等式 :　 ｒ(5Ｒ -ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 .①文 [2 ]在①的基础上 ,建立又一不等式 :　　　 ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4 . ②由①、②笔者得到启发 ,得出了②的一个加强不等式 :定理　设ｔａ、ｔｂ、ｔｃ分别是△ＡＢＣ的ａ、ｂ、ｃ边上的高 ,则有　　 ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4 .③证明　记△ＡＢＣ的半周长和面积分别为ｓ和△ ,文 [3]证得　　　ａｂｃ≥ 233△ｓ.易得　ｔａ ≤ｓ(ｓ-ａ) ,ｔｂ ≤ｓ(ｓ-ｂ) ,ｔｃ ≤ｓ(ｓ-ｃ) ,于是应用 …     

涉及三角形高线的一个不等式的改进

设ａ、ｂ、ｃ分别表示△ＡＢＣ的三个边 ;ｈａ、ｈｂ、ｈｃ分别为ａ、ｂ、ｃ上的高 ;ｓ、ｒ、Ｒ分别表示△ＡＢＣ的半周长、内切圆半径、外接圆半径 .文 [1]证明了下面的不等式 :ｒ(5Ｒ-ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ,(1)当且仅当ａ=ｂ=ｃ时等号成立 .文 [2 ]给出了 (1)式的另一简洁证法 ,并得到一个与之类似的不等式(ｒＲ) 3 (16- 5ｒＲ) ≤ (ｈ2 ａｂｃ) 2 (ｈ2 ｂｃａ) 2 (ｈ2 ｃａｂ) 2≤ (1 ｒＲ) 4- (ｒＲ) 2 (16- 5ｒＲ) ,(2 )当且仅当ａ=ｂ =ｃ时等号成立 .本文给出 (2 )式的改进 ,即ｒｓ22…     

例谈初中数学竞赛题的常用解题策略

数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1　特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1　若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 (　　 )(Ａ) - 1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析　设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2　若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-…     

妙题巧解(五)

1 已知ｘ1、ｘ2 是关于ｘ的方程ｘ2 -ｋｘ +2ｋ -6 =0的两个根 ,且 0 <ｘ1<1 ,3<ｘ2 <4 ,求ｋ的取值范围 .2 已知 5 (ａ -ｂ) + 5 (ｂ -ｃ) + (ｃ-ａ) =0 ,且ａ≠ｂ.求证 :4ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 4ａｂ -2ｂｃ +4ｃａ.3 设有五个自然数 ,其中每四个数的和分别是 39,4 1 ,4 2 ,4 4,4 6 ,求这五个自然数 .4 若三角形内的数是 6 ,四边形内的数是1 0 ,五边形内的数是 1 5 ,六边形内的数是 2 1 ,根据上述规律请你猜想 ,二十边形内的数应是.5 已知ａ +ｂ +ｃ=0 ,4ａ -2ｂ +ｃ=0 ,ａ -ｂ +ｃ>0 .求证 :4ａ+ 2ｂ+ｃ<0 .参考解答图 11 若用方程的观点…     

两个重组公式的妙用

完全平方公式 (ａ±ｂ) 2 =ａ2 ± 2ａｂ +ｂ2 中含有两个等式 ,若用“加减法”对它们重新组合 ,则容易得出以下两个重组公式 :ａ2 +ｂ2 =12 (ａ +ｂ) 2 +12 (ａ -ｂ) 2 ,①ａｂ =14 (ａ +ｂ) 2 - 14 (ａ -ｂ) 2 .②如能灵活运用上述重组公式 ,则可较为简捷地解决一类竞赛题 .1　解含有Ａ2 +Ｂ2 和Ａ +Ｂ的竞赛题例 1　 (天津市“中华少年杯”初中数学竞赛题 )已知 :△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足 (1)ａ >ｂ >ｃ ,(2 ) 2ｂ=ａ +ｃ ,(3)ｂ是正整数 ,(4)ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =84 .求ｂ的值 .解　对 (4)运用重组公式① ,得12 (ａ+ｃ) 2 +12 (ａ-ｃ) 2…     

四边形外接圆半径公式

定理　设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′　 ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′…     

代数变换体系f(r_a,r_b,r_c)=f(x,y,z)导出sum(bc/h_a~2)≥4的不等式链

文[1] 介绍了涉及三角形高线的不等式 :ｒ(5Ｒ-ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ①文[2 ] 在①的基础上 ,建立的如下不等式 :ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4②文[3 ] 建立了比②更强的如下不等式 :ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4③　　本文提出如下涉及ｈａ,ｈｂ,ｈｃ 的不等式链 :　　 ｂｃｒ2 ａ≥ 2Ｒｒ = ｂｃｈ2 ａ≥ Ｒｒ 2= ｂｃｔ2 ａ≥ ｂｃｒｂｒｃ ≥4, ｂｃｍ2 ａ④而这一不等式④只须巧用三角形中诸元素的代数变换体系ｆ(ｒａ,ｒｂ,ｒｃ) =ｆ(ｘ,ｙ,ｚ)简证之 .1　三角形诸元素…     

一类三元分式不等式及其应用

本文给出关于三元ａ ,ｂ,ｃ轮换对称的一类不等式及其应用 .1　几个命题命题 1　设ａ、ｂ、ｃ为正实数 ,ｋ为常数 ,ｋ≥ 2 ,则(1) ａａ+ｋｃ+ｂｂ+ｋａ+ｃｃ+ｋｂ ≥ 31+ｋ;(Ａ)(2 ) ａｋａ+ｂ+ｂｋｂ+ｃ+ｃｋｃ+ａ ≤ 31+ｋ. (Ｂ)证明　 (1)由柯西不等式得(Ａ)式左边 =ａ2ａ(ａ +ｋｃ) +ｂ2ｂ(ｂ +ｋａ) +ｃ2ｃ(ｃ+ｋｂ) ≥ (ａ+ｂ +ｃ) 2ａ(ａ+ｋｃ) +ｂ(ｂ +ｋａ) +ｃ(ｃ +ｋｂ)= (ａ +ｂ+ｃ) 2ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +ｋ(ａｂ +ｂｃ+ｃａ) .又ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +ｋ(ａｂ+ｂｃ +ｃａ)=ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +ｋ - 23(ａｂ +ｂｃ+ｃａ)　 +2 (1+ｋ)3(ａｂ+ｂ…     

欢庆2003

1 .已知ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 =0 ,求ｘ2 0 0 3 1ｘ2 0 0 3 的值 .解 :由ｘ2 0 0 3 =ｘ2 0 0 3 0 =ｘ2 0 0 3 ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 =ｘ(ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 ) 1 =ｘ·0 1 =1得 1ｘ2 0 0 3 =1 ,故原式 =1 1 =2 .2 .已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ满足ａ ｂ=ｃ ｄ ,ａ3 ｂ3 =ｃ3 ｄ3 ,求证 :ａ2 0 0 3 ｂ2 0 0 3 =ｃ2 0 0 3 ｄ2 0 0 3 .证明 :因为ａ3 ｂ3 =ｃ3 ｄ3 所以 (ａ ｂ) (ａ2 -ａｂ ｂ2 ) =(ｃ ｄ) (ｃ2 -ｃｄ ｄ2 )因为ａ ｂ=ｃ ｄ ,故若ａ ｂ=ｃ ｄ =0 ,则ａ=-ｂ,ｃ=-ｄ ,从而ａ2 0 0 3 ｂ2 0 0 3 =(-…