对一个充要条件的正确表述与理解

<正>许多教辅资料中都有这样一个命题"直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1和B1不同为0),直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2和B2不同为0),l1∥l2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)."一学生运用上述结论解答2009年高考上海文科第15题时出现了错误.题目已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的     

求三角形面积的一个公式

定理已知点P(a,0)、Q关于直线l:Ax+By+C=0对称,点R(x_0,y_0)是直线PQ外一点,则证明:设Q坐标为(X,Y)。∵直线PQ和直线l互相垂直, ∴ Y-b/X-a=B/A,即 BX-AY=Ba-Ab. (1)又∵ P、Q关于直线l对称,且在l的两侧, ∴ AX+BY+C=-(Aa+Bb+C),即 AX+BY=-(Aa+Bb+2C). (2) 将(1)、(2)联立,可得如下关于X、Y的线性方程组: BX-AY=Ba-Ab, AX+BY=-(Aa+Bb+2C),解之得X=Au+a, u=-2(Aa+Bb+C)/A~2+B~2 Y=Bu+b, ∴点Q坐标为(Au+a,Bu+b).     

巧用直线与圆的位置关系解题

<正>设直线l:Ax+By+C=0(A、B不同时为0),圆O:(x-a)2+(y-b)2=R2,则圆心O到直线l的距离为d=|Aa+Bb+C|/A~2+B~2.由直     

浅议直线与圆、圆与圆的位置关系

<正>一、基础知识,要点回顾1.直线与圆的位置关系设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0),圆O2:(xa2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).二、题型分类,深度剖析题型一:直线与圆的位置关系例1已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.(1)试证明:不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;     

数学(理工农医类)

第工卷(选择题共45分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共印分。的。(,)已知·任(一晋,0)Cosx二音,则t必=在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求Olj一门D00一C 一一(2)圆锥曲线 (A)那翻二一2(3)设函数f(x)=的准线方程是 (B)邵。闭=2(C)娜in日=一2(D)声i胡=22一x一l,x鉴0, 李。xz,x)U-若f(勒)>1,则勺的取值范围是 (A)(一l,l)(B)(一l,+ao)(C)(一ao,一2)U(0,+二)(D)(一ac,一l)U(l,+二)(4)函数y二Zsinx(sinx+。。)的最大值为 (A)l+拒(B)拒一l(C)拒(n)2(5)已知圆C:(x一a)2十(y一2)“=4(a>0)及直线l:x一y+3=0.当直线l被c…     

有关组合数的倒数的几个问题

本文运用数学分析中的方法和一些著名不等式才解决几个有关组合数的倒数的问题。文中的组合数记号鲤止里一m,l 2局( 1C,盖一; 1、.1.‘二二,~二,~~;.一~r~. L’;:二1~‘,_Zm+l 2C黯=”(”一1)…(倪一k+1) 幻—狡l’笼‘二井k二。‘2云一11=-lc 问题1.求S。公式。 l厂己十幻万万万石八+点的递推 七.=竺土里节 2局C,竺z=竺土15。_. 2.’.由(一)、(2)知:当n)2时,有套解:丫当n》2时,有②S。=军: 弋,11’户1疏=1+葱声1︷工k=卜层争=.l+告蕙粉宕无+l_,+i。三载=半s,_1将②式代入①式,得:。‘.n+l。万,=l+厄常合。一‘此即所求的递推公式。问题2…     

对称曲线的方程及其应用

[定理1] 设曲线a:F(x,y)=0关于直线l:Ax+By+C=0的对称曲线是a’,则a’的方程为 F(x-(2A(Ax+By+C))/(A~2+B~2),y-(2B(Ax+By+C))/(A~2+B~2))=0 (1) 证:设a上任一点P(x_1,y_1)关于l的对称点是M(x,y).则PM的中点((x+x_1)/2,(y+y_1)/2)∈l,且PM⊥l.当A≠0且B≠0时,     

似曾相识燕归来——解析几何相似题探究

<正>引例(2015年全国高考题)已知椭圆C:9x²+y2+y²=m2=m²(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A、B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率之积为定值;(2)若l过点(m/3,m)延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?     

对1992年全国高考理科试题中的一个题的商榷

下面是 1 992年全国高考理科试题中的一个选择题 :已知直线 l1和 l2 的夹角的平分线为 y =x,如果 l1的方程是 ax + by + c=0 ,(ab>0 ) ,那么 l2 的方程是 (　　 )(A) bx + ay + c=0 .(B) ax -by + c =0 .(C) bx + ay -c=0 .(D) bx -ay + c=0 .答案为 (A) .可是这个题是错题 ,原因如下 :图 1如图 1 ,直线 l1:bx + ay+ c=0 ,当 ab>0的倾斜角为钝角 ,直线 y =x与 l1的夹角大于 45°,直线 y =x平分的角是α,而角α不是 l1和l2 的夹角 .人民教育出版社中学数学室编著的全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 .必修 ) ,《数学》第二册 (上 ) 4 8…     

2004年高考一道解几题的新颖解法

一、准备知识问题1:对二次齐次方程Ax2+Bxy+Cy2=0(1)①当B2-4AC>0时,方程(1)表示过原点的两条相交直线;②当B2-4AC=0时,方程(1)表示过原点的两条重合直线;③当B2-4AC<0时,方程只表示原点.事实上,当B2-4AC>0,则方程(1)可化成(px+qy)(mx+ny)=0(A=mp,B=mq+np,C=nq)结论成立当B2-4AC=0时,则方程可化为(px+qy)2=0(A=p2,B=2pq,C=q2)结论成立.当B2-4AC<0时,只有(0,0)点坐标适合方程结论成立.问题2:若方程Ax2+Bxy+Cy2=0表示过原点的两条相交直线l1,l2,则l1到l2的角α满足tanα=±B2-4ACA+C事实上,由问题1得tan2θ=(mq-npmp+nq)2=(mq+n…     

一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

二项系数的定间和

二项展开式(1+X)”=刃以刃,中顺次各项的系数是以,CC矛,……C其中第(:+1)个系数起每隔。一其间隔为。一1个系数(此处,二,了口,r表示。例如 i)间隔为2(个系数)之和,1个就择取一个来求和,此和叫做二项系数的定间和,。.:,l都是自然数,且1(:+l(。(:),此和用共有三组,它们分别是:‘公3,。二l夕3.:=C牙+C沪+C凳+…+C护·!《一’/3“一我介ZcOS愕一)、,Z、./ 兀冗 一c;十。,+。;+…+侧(。一)厂:1一抓2一ZcOSC气+C雳+C飞+一+C‘+!‘一2’厂3〕一专(2一2一n+1 3夕3,。=儿一1 3 11)间隔为。,1的情况已载入中学数学教材〔1〕,间隔为2的情况也已…     

初三代数第十二章一元二次方程(全国各省市中考题)测试题(人教版)

一、选择题(每小题3分,共36分) 1.(2(X)2年甘肃省)方程(。+2)x,”+3二+1二0是关于:的一元二次方程,则() (A)。=士2(B)m二2 (C)m=一2(D)。尹士2 2.(2(X)3年辽宁省)已知2是关于x的方~3,__.,,,__._曰_,.、~程宁‘一2“=“的一个根,则2“一’的值是() (A)3(B)4.(C)5(D)6 3.(2(X)2年浙江省)方程x(二+l)(二一2)二0的根是() (A)一l,2(B)l,一2 (C)0,一l,2(D)0,l,一2 4.(2(X)3年北京市)如果关于x的一元二次方程标2一6:+9二0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是() (A)kl 5.(2003年宁夏回族自治区)一元二次方…     

圆锥曲线问题的常见错误

一、利用判别式确定位置关系时导致丢解例1已知双曲线C:x2-y24=1,过点P(1,1)作直线l,使得l与C有且仅有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有()(A)1条.(B)2条.(C)3条.(D)4条.错解:设直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1,与x2-y24=1联立消去y,得(4-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-5=0.要直线l与C有且仅有一个公共点,必须△=(2k2-2k)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0.解得k=52.故满足条件的直线l只有一条,选(A).评析:以上解法有三个问题,一是双曲线与直线只有一个交点,除了利用△=0得出相切的一条外,还有与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个交点;二是利用…     

高二数学测试

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l1:y=1,l2:3x+y-1=0,那么直线l1与l2的夹角为()(A)60°(B)120°(C)30°(D)150°2.若a,b∈R,且a3>b3,则下列判断正确的是()(A)1a<1b(B)1a>1b(C)ab3.若直线l经过点(3,-3),且倾斜角为30°,则直线l的方程是()(A)y=3x-6(B)y=33x-4(C)y=3x+43(D)y=33x+24.已知F1、F2是椭圆x42+y22=1的两个焦点,P是椭圆上的点,若PF1·PF2=0,则这样的点P有()(A)2个(B)4个(C)6个(D)0个5.抛物线y=-31x2的准线方程是()(A)y=23(B)x=61(C…     

直角坐标平面内点与直线的位置关系及应用

命题 已知直线l：Ac+By+C=0，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(1)若P1、P2在l的两侧，则(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)&;lt;0；(2)若P1、P2在l的同侧，则(Ax1+By1+C)(4K+By2+C)&;gt;0。     

关于1984的数学题

1.试证:1984可以表为某些i生井自然数证明f限设 1984=l、十(l、+!、干…+(k+n).(空}吸2沁一卜n)(n十卜)二2?·只1.川洁为素炎交.(k2kneN)那么198、!业旦士髻竺卫一,11斗+n二2‘,}二3 1.(])(2)2二31=(Zk+n)(n+1) 2 (l) 21=3 0. 故19 84可自然数的币约两式联立解之.得k二Jg,火表为拍一j不为49.末顶为79的3}个为.46“甲,泞纵与-一-~一...‘匆........‘二.数 2.试证:1984不能表为c:+C己+C乏+…+C公的和。(11任N) 证明根据二项式定理,有 (1+:).=C呈+C二x+C呈x“+…+把!:面的n个等式两边相加.便得 厂n(n+1)、 ]。+2。+3。+…+no=l——I .二…     

几个复数公式的应用

复数Z=eosa+1 sina的共扼复数是万=eosa_fsina,显然 Z·Z=l,Z+Z二2 eosa,Z一Z=21 sina 可以推导出: 例3.求tgg’+etg 117一tgZ军3一etg 35!’的值(82年高考文科数学试题、 解:设z=cosg’+‘sing‘那么矛二‘,沙”~一l则tgg“= 22一li(二2+l)COS口=之2十l 2之Slna二二沙一l 2万z,tga=沙一l公(:2+l)再根据棣莫佛定理,可得tg27 护一lf(:6+1)COS月口=之Zn+1 2二刀Sln路a=之Zn一l Zf之路tg 63 之2。一之5‘(22。+:舀) 才一卜l公(之。一l)tg”a二了zZn一1(zZn+l)tg 81。_zl’一l一i(zl4千一已 218一l i(:,8+l) 22了,_之2i(之20+之2之2+If…     

直线系与圆系方程

内容概述 具有某种性质的直线(圆)的集合叫直线(圆)系.通常方程中含有一个或几个参变数. 1.直线系常见类型 (1)过定点(a,b)的直线系为:λ1(y-b)+λ2(x-a)=0,其中λ1、λ2为参数 (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系为:Ax+By+λ=0,(λ≠C,λ为参数) (3)与直线Ax + By + C=0垂直的直线系为:Bx-Ay+λ=0(其中λ为参数) (4)若直线l1与l2的一般式分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则曲线系:λ1f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λi为参数)     

关于直线与圆的两个重要模型及应用浅析

构造是一种重要的数学思想 ,在数学解题教学中 ,教师应注意引导学生依据题目特征 ,类比相关知识 ,通过相关数学模型来促使问题的解决 .本文利用直线与圆有关常用数学模型求解一类数学题 ,供参考 .1　利用点到直线的距离公式解题设 A(x0 ,y0 ) ,直线 l:Ax + By+ C=0 ,则 A到 l的距离 d=| Ax0 + By0 + C|A2 + B2 .例 1　已知实数 a,b满足 a+ b=1.求证 :(a-3) 2 + (b+ 4 ) 2 ≥ 2 .图 1证明　不等式左端可视为点 P(a,b)到点 Q(3,- 4)的距离的平方 ,而点 P(a,b)可看作直线 l:x+ y=1上的任意一点 ,于是问题转化为点 P在直线l上什么位置时线…