等差数列前n项和的一个性质及应用

性质　已知数列 an 为等差数列 ,若Sm =a ,Sn =b ,其中m ≠n ,则Sm +n =(m +n) (a-b)m -n .证明　∵数列 an 为等差数列 ,∴Sn =An2 +Bn .由题设得Am2 +Bm =a ,①An2 +Bn =b ,②①·n-②·m ,得Amn(m-n) =an-bm ,即Amn =an -bmm -n .∴Sm +n =A(m +n) 2 +B(m +n)=Am2 +Bm +An2 +Bn　 + 2Amn=a +b + 2an -2bmm -n=(m +n) (a-b)m -n .运用此性质 ,可速解下列问题 .例 1　等差数列的前m项和为 3 0 ,前 2m项和为 10 0 ,则它的前 3m项和为 (　　 )(A) 13 0　 (B) 170　 (C) 2 10　 (D) 2 60解　∵Sm =3 0 ,S2m =10 0 ,∴S3m =(m+ 2m) …     

等差数列中前n项和Sn的最值

在等差数列{an}中,设前n项和为Sn,若a1＞0,d＜0,则Sn有最大值;若a1＜0,d＞0,则Sn有最小值.要求出最值,关键是确定n值.     

等差数列前n项和的最值

公差ｄ≠ 0的等差数列 ａｎ ,它的前ｎ项和Ｓｎ 是关于ｎ的二次函数 :Ｓｎ =ｎａ1 +ｎ(ｎ- 1)2 ｄ =ｄ2 ｎ2 +ａ1 - ｄ2 ｎ .所以 ,当ｄ >0 ,Ｓｎ 有最小值 ;当ｄ <0 ,Ｓｎ有最大值 .由于函数Ｓｎ 与一般二次函数ｆ(ｘ) =12 ｄｘ2+ａ1 - ｄ2 ｘ(ｘ∈Ｒ)的定义域不同 ,因此在求最值的方法上又有其特殊性 .下面就这类问题探讨几种思考途径 .一、研究通项的符号 ,求Ｓｎ 的最值例 1　一个首项为正数的等差数列ａｎ ,前 3项之和与前 11项之和相等 ,则前几项和最大 ?解　由Ｓ3=Ｓ1 1 ,得ａ4 +ａ5+… +ａ1 0 +ａ1 1 =0 ,∵　ａ4 +ａ1 1 =ａ5+ａ1 0…     

等差数列Sn的最值问颢

等差数列Sn的最值问题，是数列中常见题型之一，如何根据题目的不同条件，选用简便的解题方法，下面就此举例予以说明。     

圆锥曲线中最值问题的处理方法

圆锥曲线的最值问题,内容十分丰富,联系极为广泛. 它既包括了代数、几何及三角等章节中的众多的基础知识,又容纳了许多的解题技巧. 容量大、综合性强、相互渗透是最值问题的基本特征,每年高考均有所体现,往往用来考查考生综合运用数学知识、思维的敏捷程度和分析解决问题的能力. 其重要性,不言而喻.     

三角函数的最值问题

求三角函数的最值(值域)是近几年高考的热点之一．解决此类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，概念性强，具有一定的综合性和灵活性．     

闭区间上二次函数最值的解法探究

二次函数内容应用广泛，其中渗透着诸多的数学思想方法，尤其在解决闭区间上二次函数最值的问题上体现的更为明显．求二次函数在闭区间上的最值，其题目灵活多变．现对含有参数的这类问题略举几例．     

一道数学问题的两种别解及推广

<数学通报>2004年第4期数学问题1487题:有两个等差数列{an},{bn},它们的前n项Sn与S'n之比(Sn)/(S'n)=(7n 2)/(n 3).     

高中数学特长生学习特点的个案研究

“授人以鱼不如授人以渔”，要使学生实现从“学会”到“会学”的转变，关键之一是加强对学生的学习方法指导．对数学特长生学习特点进行个案研究，从中总结出值得借鉴的学习方法，将有助于我们指导广大学生尤其是学困生的数学学习．笔者在教上海市二期课改教材(以下简称课本)的过程中，经常与数学特长生L之间师生互动，本文分析其中的几个案例并简要谈谈从中获得的有关学法指导的启示．     

应用闭区间上二次函数的最值求解数学题

文[1]较系统地介绍了二次函数在闭区间上的最值问题的各种基本题型的求解方法,读后获益匪浅. 近年来的高考或竞赛重视能力立意,常在知识网络的交汇点上设计试题. 二次函数与二次方程、二次不等式和二次曲线等的交汇自然贴切,一脉相承,试题常以二次方程、二次不等式和二次曲线等为载体,对二次函数这一基础内容进行综合考查. 闭区间上二次函数的最值是二次函数中的重要内容之一,它作为求有关问题最值的常用工具,经常穿插于二次方程、二次不等式和二次曲线中进行考查. 本文在文[1]的基础上,进一步探讨应用闭区间上二次函数的最值求解有关二次问题的最值.     

三角函数中的最值问题分类解析

含有三角函数的复合函数的最值,一般是通过三角函数的恒等变形,使变量归一,函数归一,下面就其类型与解法列举数例加以说明.     

利用导数法求解应用性最值问题例析

导数作为新课标的新增内容．由于其应用的广泛性．因而也倍受高考命题者的青睐，成为近几年来新课程卷中的一个命题热点．导数法为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，合理地运用它可以简捷地解决一些实际最值应用问题．下面举例说明．．     

用均值不等式求最值取等号的错因剖析

用均值不等式求最值是高中代数教学的一个重点和难点,也是高考在综合题、应用题中出现频率很高的一个知识点.运用时必须注意三个限制条件,即"一正、二定、三取等".笔者在教学实践中,发现很多同学在"取等"这一环节上由于观察不仔细,条件分析不充分,知识方法应用不恰当等原因,经常出现最值易得,得而便错,错而不知的现象.     

例说解几最值问题

解析几何中的最值问题一直是高考和竞赛中的热点、难点问题之一，许多同学对此感到比较棘手．本文通过一个典型的例子，介绍求解这类问题的常用方法，供大家参考．     

两类和式的估计及其应用

本文探讨了与递增正项等差数列有关的两类和式的上、下界,并给出了它们的应用.     

等差数列前n项和的构造求法及其应用

教材（全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册上,人民教育出版社）中利用等差数列的性质a1＋an=a2＋an-1=…=an＋a1,通过“倒序相加”的方法推导等差数列的前n项和公式Sn=n（a1＋an）/2.本文现给出等差数列前n项和的一个构造性求法,及构造法在数列求和中的一些应用。     

关于一类数学期望的简单求法

某先生居住在A处，准备开车到B处去上班，若该线路堵车的事件都是相互独立的，且在同一路段上堵车的事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示。     

等差数列前n项和公式的变形及应用

学习了等差数列前n项和Sn的公式后，在具体解题过程中，若对公式进行合理的整合，变形，不但可以加深学生对知识的理解，还可以在解题中起到简捷巧妙的作用．     

等差数列前n项和的最值问题解法探究

本文对一道等差数列前n项和问题给出三种解法.第一种解法是利用等差数列的性质,等差数列的前n项和公式.第二种解法和第三种解法更加突出数列的函数性质.其中,第三种方法是在和学生的共同探究中产生的,针对学生“等差数列通项公式对应的函数“零点”与其前n项和对应的函数对称轴具有某种关系”这一猜想,师生共同探究,并发现它们之间相差1/2的规律,从而获得本文例题的第三种解法.