向量走进三角形的“心”

新的一轮课程改革,向量进入高中数学教材.向量作为高中数学新增内容之一,又具有几何与代数的双重意义,备受关注.向量与三角形知识的交汇,成为高考命题及模拟考试的热点.特别是向量走进了三角形的“心”,即运用向量来探讨有关三角形的重心、垂心、外心,内心等问题,成为一道亮丽的风景线.向量走近三角形,走进三角形的“心”中,注重向量的知识性,工具性的教学,考查,为提高学生的数学素养,培养学生的数学思维能力发挥着显著的作用.     

一变再变仍求“心”

分析此题在三角形的背景中设计向量的运算,旨在考查同学们熟练运用向量的运算法则（向量加法的平行四边形和三角形法则,向量减法的三角形法则）解题的意识与能力．     

点击向量与三角形的交汇

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用。由于三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,而且三角形中的线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量式表示,三角形的“四心”与向量也有紧密的联系,这就为向量与三角形的沟通、交汇提供了条件。向量与三角形的交汇问题已经成为近几年高考的新热点,预计2006年的高考还要加大对这种问题的考查力度。下面结合部分高考题或高考模拟题介绍这种问题的四大类型,供复习参考。     

平面向量、解三角形

本专题包括平面向量和解三角形两大部分,其中平面向量主要包括向量的概念与运算、平面向量基本定理及其坐标表示、向量的数量积(模与夹角问题)、向量的应用问题等;解三角形主要包括正弦定理、余弦定理及其应用.近些年来,平面向量和解三角形的高考试题难易适中,一般为基础题或中档题,常在选择题、填空题中直接考查向量的概念、性质及其几何意义以及正、余弦定理在解斜三角形中的简单应用;在解答题中考查向量工具在平面几何、三角函数、解析几何等问题中的应用以及运用正、余弦定理等知识解决数学建模问题和与测量和几何计算相关的实际问题.     

例谈向量与三角形问题的解法

向量的加、减几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则,这为向量与三角形的综合应用提供了很好的背景.近几年的高考试卷中,向量与三角形的综合问题不断出现,因形式新颖,方法灵活,往往成为考试的亮点.本文试举几例,探讨这类问题的解法.     

例谈三角形面积的向量形式

2007年高考数学大纲明确指出：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景．下面我们用向量方法来研究三角形的面积问题．     

向量与三角形的不解之缘

向量是沟通代数与几何的重要工具,它集数与形于一身,既有代数的抽象性,又有几何的直观性,因而向量是几何研究的一个有力工具．而向量的加减法都符合三角形法则,其中加法符合“首尾相接,首指向尾”,减法符合“共起点,指向被减向量”,因而两不共线的向量与它们的和向量、差向量都可以构成三角形．与三角形有关的考查向量的运算和性质的题在各类试卷中出现的频率极高,解题时选用向量的几何法还是向量的坐标法是很重要的一个环节．本文就用具体的例子解读向量与三角形的不解之缘．     

平面向量与三角形的“心”

在近几年的高考题和高考模拟题中,与三角形四心——重心、垂心、内心、外心相关的问题频频出现,这主要是考查向量和三角形的基本知识,试题的陈述简明流畅,内涵丰富.既考查了向量的几何运算,又考查了三角形的基     

向量与三角形的“四心”

三角形与向量的加减法紧密相关,而三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面将给出向量与三角形＂四心＂相关的几个结论.     

活跃在三角形中的向量

我们都非常熟悉的三角形有着非常丰富的内涵,其中蕴含:正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角形中三角函数等.特别是与向量相结合,在近年的高考试题中越来越活跃,到处可见向量在三角形中的影子.请看下面的例子:     

三角形“四心”的向量表示

向量的加减法运算是通过三角形法则来完成的,向量与三角形有着密不可分的关系,三角形的“四心”（重心、垂心、内心、外心）又是三角形的重要内容,与“四心”相关的向量题目也是频繁出现,用向量表示“四心”则是常见问题,现归结如下．     

三角形内共点向量的结论及其应用

把几个有共同起点的向量称为共点向量.三角形内的一点分别与各顶点连线对应的向量把三角形分成3部分,共点向量与各部分三角形的面积之间满足一定的关系;三角形各＂心＂对应的指向顶点的共点向量即共心向量,与各部分三角形的面积之间也满足一定的关系.通过归纳和证明这些关系式,有助于强化知识结构,深化理解有关平面向量知识.1三角形内共点向量的加权和为零线性加权和的定义为：若有n个参数x1、x2、…、xn,则这n个参数的线性加权和为S=λ1x1＋λ2x2＋λ3x3＋…＋λnxn.上式中各参数对应的系数称为权系数.     

例谈三角形面积的向量形式

<正>2007年高考数学大纲明确指出:会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题.向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景.下面我们用向量方法来研究三角形的面积问题.     

新教材中三角函数的复习

新教材中, 《三角函数》比过去从公式到内容有所删减,考题难度有所降低. 新教材体现在本章的另一个新变化是把解三角形放在了《向量》一章的后面部分,向量与三角形有千丝万缕的联系,因此,三角形中的三角函数问题也常与向量相联系,如:     

用向量的眼光“透视”三角形的“四心”

用向量作为工具研究平面图形是高中数学的重要方面,其充分体现了向量知识与平面几何的内在联系．故而对于三角形的“四心”（重心、外心、内心和垂心）而言,就更加明显;并且近几年的高考题中也不断出现用向量表示的三角形“四心”问题。因此,用向量的眼光透视三角形的“四心”,进而解决与之相关的问题,就显得尤为重要,下面就从这一方面人手。     

例谈向量与三角形的交汇

向量与平面几何的交汇已经成为高考数学试题中的一道靓丽风景．三角形是平面几何中的最基本、最重要的几何图形，而且三角形中的线与线的位置关系、数量关系均可用向量形式来表示，这就为向量与三角形的交汇提供了条件．本结合一些典型考题，谈谈向量与三角形的边角、三“线”及四“心”、面积的交汇问题．[第一段]     

向量走进三角形的“心”

新的一轮课程改革,向量进入高中数学教材。向量作为高中数学新增内容之一,又具有几何与代数的双重意义,备受关注。向量与三角形知识的交汇,成为高考命题及模拟考试的热点。特别是向量走进了三角形的“心”,即运用向量来探讨有关三角形的重心、垂心、外心,内心等问题,成为一道亮丽的风景线。     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出：要加强平面向量在平面几何中的应用，纵观近几年的高考题。我们已经体会到这种命题思想的变化，在平面向量在平面几何中的应用问题中．又以涉及三角形“四心”的试题为热点．由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系．这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性。预计2006年的高考还要加大对向量与三角形“心”的交汇问题的考查力度．对此，笔者给出三角形“四心”的向量式充要条件．并结合部分高考题．说明这些充要条件的应用。[编者按]     

向量与三角形的“四心”

<正>三角形的“四心”即重心、垂心、内心、外心,在三角形中有着极其重要的地位,涉及到“四心”的问题既简洁明了,又新颖别致.向量是高中数学的新增内容,是一个具有代数与几何双重属性的量,向量能以独特的形式反映三角形的“四心”所具有的性质.下面例举有关三角形“四心”的向量关系式.     

活跃在向量中的三角形

向量是高中数学的工具性内容之一，三角形是我们非常熟悉的图形．在近年的高考试题中兴起了三角形和向量的交汇，试题从不同的角度展现三角形的丰富内涵，使向量的内容变得灵活多变．下面我们通过近几年的高考试题来看一看三角形是如何活跃在向量中的．[第一段]