两道三角竞赛题错误的辨析

原题1在△ABC中,对λ≥1,求证:tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)≥6tan(π/6λ),当且仅当A=π/6,B=π/3时等号成立.原证明如下:当α>0,β>0且α+β<π时,有:tanα+tanβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)=(sin(α+β))/(cosαcosβ)     

杨辉三角形的进一步推广(下)

三、C(s~m,r)数的三组求和公式引理1.任一和式f(x)=∑a_kx~k,记w为1的n次根 (w=cos(2π)/n+isin(2π)/n-e~(i(2π)/n)), 则对任二整数n>k≥0,有 a_kx~k+a_(k+u)x~(k+k)+a_(k+2n)x~(k+2n)+… =(1/n)sum from j=0 to n-1 (w~(-jk)·f(w~j,x).(A)     

用两角和差公式求值

例1求(2cosπ/(18)-sinπ/9)/(cosπ/9)的值.解原式=(2cos(π/6-π/9)-sinπ/9)/(cosπ/9) =(2(cosπ/6cosπ/9+sinπ/6sinπ/9)-sinπ/9)/(cosπ/9)     

谈特取法在解题中的应用

在允许取值范围内赋变量予特殊值,从而使问题获解的方法称为“特取法”。 [例1] 公式(Acos(θ+α)+Bsin(θ+β))/(A′(θ+α)+B′(cosθ+β))的值与θ无关,求证:AA′-BB′=(A′B-AB′)sin(α-β)。证:∵公式的值与θ无关,∴当θ分别取特值0,π/2时分式的值相同: (Acosα+Bsinβ)/(A′sinα+B′cosβ)=(-Asinα+Bsinβ)/(A′cosα-B′sinβ)去分母,整理即得。 AA′-BB′=(A′B-AB′)sin(α-β)。 [例2] 关于x的不等式acosx+bcos3x>1无解,证明:|b|≤1。(苏联15届奥林匹克赛题)     

一组不等式题(日本)

一、中央大学高考题题对于 x 的一切实数值,不等式((x~2+1)cosθ-x(cosθ-5)+3)/(x~2-x+1)>sinθ-1成立。求θ值的范围.解∵((x~2+1)cosθ-x(cosθ-5)+3)/(x~2-x+1)=((x~2-x+1)cosθ+5x+3)/(x~2-x+1)     

一个三角恒等式的简证及其它

第5届国际数学竞赛有这样一题: 证明:cosπ/7-cos(2π)/7+cos(3π)/7=1/2,①①式可等价变换为: cosπ/7+cos(3π)/7+cos(5π)/7=1/2, ②文[1]中用复数方法将②式推广为: cosπ/n+cos(3π)/n+cos(5π)/n+…+cos(n-2)/nπ =1/2(n为奇数,且n≥3)。③本文用纯几何构造方法更简洁的证明③式,其证明过程可作为③式的几何解释,并同时得到n为偶数时的两个恒等式。如图示,作∠XOY=π/n。     

三角函数最值的几种求法

一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f…     

用复数证明一组三角恒等式

在三角经常遇到证明下列恒等式 cos(2π/5)+cos(4π/5)=-1/2, cos(2π/7)+cos(4π/5)+cos(6π/7)=-1/2, cos(2π/9)+cos(4π/9)+cos(6π/9)+cos(8π/9) =-1/2,……或cos(π/5)+cos(3π/5)=1/2, cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)=1/2, cos(π/9)+cos(3π/9)+cos(5π/9)+cos(7π/9) =1/2, ……一般有     

一类三角级数求和公式的导出

教师如何巧编三角题或论证题?本文对形如cosπ/7+cos3π/7+cos5π/7、cosπ/5-cos2π/5、cos~2π/5+cos~22π/5、cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的计算和cosA+cos(120°-A)+cos(120°+A)=0、cos~2A+cos~2(60°-A)+cos~2(60°+A)=3/2等证明的常见题,都可看作这里导出的一类三角级数求和公式的简单应用实例。     

一个三角不等式的修正

文[1]证明了以下 命题在△ABC中,对k≥1,有tan(A)/(k)+tan(B)/(2k)+tan(C)/(3k)≥6tan(π)/(6k),(1)当且仅当A＝(π)/(6),B＝(π)/(3)时,等号成立.     

“至少”与“至多”

题目:已知sin2α=a,cos2α=b,则 tan(α+π4)的值是(　　) (A)b1-a(B)1+ab (C)1+a+b1+b-a(D)a-b+1a+b-1 解法(一):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=cos2α-sin2α(cosα-sinα)2=cos2α1-sin2α =b1-a.故选(A) 解法(二):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α …     

两个新的三角命题

文[1]给出了两个用处较大的三角命题: 命题1 △ABC中,设角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,则cos(A-C)/(2)＝2*cos(A+C)/(2)且tan(A)/(2)tan(C)/(2)＝(1)/(3).     

关于CMO_(18-1(3))的探究

第 18届中国数学奥林匹克 (CMO)第一天试题第 3题是 :给定正整数n ,求最小的正数λ ,使得对任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i =1,2 ,… ,n) ,只要tanθ1 tanθ2 …tanθn =2 n2 ,就有cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 不大于λ .解答试题可得cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 的最小上界 ,那么 ,自然要问cosθ1 +cosθ2 +…+cosθn 的最大下界是什么 ?笔者探讨得到了更为一般的结果 ,并一举两得———推广了第 4 2届国际数学奥林匹克试题 2和文 [1]的结果 ;给出了IMO42 -2 推广的最小上界 .定理 1　给定正整数n和λ≥n2 - 1,对于任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i …     

用“待定常数法”求最值几例

[例1]:求函数y=sinθ(1+2cosθ)的最大值。解:不妨限制0≤θ≤π/2,于是: y=sinθ(1+2cosθ)A为待定正常数1/A (Asinθ)(1+2cosθ)     

数学练习题(十八)解答

103.α,β,τ为锐角且 cos~2α cos~2β cos~2τ=1,试证:(3)/(4)π<α β τ<π.证由条件可得:cos~2α=sin~2β-cos~2τ>0及 cos~2α=sin~2τ-cos~2β>0.因而又有:sinβ>cosτ及 sinτ>cosβ.于是:sinβ·sinτ>cosτ·cosβ,即 cos(β τ)<0,得:β τ>(π)/(2)·同法可证得:α β>(π)/(2)及τ α>(π)/(2),因而得:α β τ>(3)/(4)π·     

不等式（1／n＋1＋1／n＋2…＋1／2n）^2〈1／2的六种不同证法

给出了不等式((1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(2n))2＜(1)/(2)的六种不同证法.     

新题赏析

题目:设曲线C是由曲线C’:y=sin2x-2(3)~2 cos(x+π)cos(x-π/2)+3cos2x-1向右平移(?)((?)>0)个单位得到的,且曲线C关于点(-π/6,m)对称．(1)求(?)的最小值和m的值; (2)若x∈(b,-π/2)时,曲线C上任意两点的连线的倾斜角均为钝角,求b的取值范围。     

用构造法解三角题

一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c…     

等比数列求和公式一个推论的应用

等比数列前n项的求和公式的推论: (a-b)(a~(n-1)+a~(n-2b)+…+b~(n-1))=a~n-b~n以及它的特殊形式: (1-q)(1+q+q~2+…+q~(n-1))=1-q~n都是因式分解的重要公式,而因式分解则是解题(如求值,证明等)的重要手段,以下各例,可以说明。例1 分解因式X~(12)+x~9+x~6+x~3+1(1978年全国数学竞赛决赛题) =(x~4+x~3+x~2+x+1) (x~8-x~7+x~5-x~4+x~3-x+1) 例2 已知ω=e~((2π/5)i),求1+ω~4+ω~8+ω~(12)+ω~(16)之值。解原式=((1-ω~4)(1+ω~4+ω~8+ω~(12)+ω~(16))/1-ω~4 =(1-ω~(20))/(1-ω~4)=(1-(ω~5)~4)/(1-ω~4) ∵ω~5=(e~((2π/5)i))~5=e~(2πi)=1 ω~4=e~((8/5)πi)≠1 ∴原式=0 例3 求能使2~n-1被7整除的所有正整数n。(第六届国际数学竞赛题) 解分二种情况讨论。 (1)如果n是3的倍数,我们设n=3k(k为正整数),这时     

一组三角函数有限和公式及推导

本文对三角函数有限和式sum from k=1 to n(sec~m)(2k)/(2n+1)π进行了化简计算,得到了结果sum from k=1 to n(sec~m)(2k)/(2n+1)π=2~(m-1)(2n+1)A_1_0(m,n)-2~(m-1)(n+1)~m其中m≥2,41_0≡-m(mod2n+1),A_1_0(m,n)是与m,n有关的式子。为简便起见,本文中将使用如下记号: