教材中两个函数相等的定义没有问题

<正>1 问题的提出在人民教育出版社(A版)高中数学必修1中,教材对"两个函数相等"是这样定义的:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等[1].从定义可见,两个函数相等必须满足两个条件:①定义域相同; ②对应关系相同.文献[2]中作者提出质疑:如果两个函数的定义域相同,对应关系不同,这两个函数还能相等吗?并举二例说明: 如果两个函数的定义域相同,对应关系不同,这两个函数也有可能相等.但这一结论是     

轻松突破求函数的值域

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.函数值域依解析式的特点分(1)常见函数值域;(2)简单的复合函数的值域;(3)由常见函数作某些"运算"而得函数的值域.一、直接法利用常见函数的值域来求(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R,值域为R(2)反比例函数y=k/x(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};(3)二次函f(x)=ax~2+bx+c(a≠0)的定义域为R,当a>0时,值域为{y|y≥4ac-b~2/4a};     

挖掘隐含条件 分析误解原因

一、从函数的定义域中挖掘隐含条件例1:求函数f(x)=12-ttaannx2x的最小正周期.错解:∵f(x)=12-ttaannx2x=tan2x,∴f(x)的最小正周期是T=!2.错因:忽视了原函数的定义域,误认为原函数与y=tan2x是同一类函数.我们在研究函数性质的问题时,要树立“定义域优先”的意识.必要时,可以画出函数图象.化简两函数知:(1)f(x)=12-ttaannx2x的定义域是:｛xx≠k!+!2,x≠k2!+!4,k∈Z｝;(2)f(x)=tan2x的定义域是:｛xx≠k2!+!4,k∈Z｝.可见,两函数的定义域不同,它们不是同一函数.只有在f(x)=tan2x的后面加注了x≠k!+!2(k∈Z)后它们才是同一函数.挖掘出这一隐…     

谈谈非周期函数的判定

基本初等函数的周期性,我们比较熟悉.而由基本初等函数复合而成的初等函数,它的周期性的判定,则麻烦多了.本文试图通过几个例子和结论,谈谈非周期函数的判定. 一、从周期函数的定义域来判定由周期函数的定义知,周期函数的定义战必须是没有上界或者没有下界的,所以如果定义域有界,那么马上就可以断定此函数是非周期函数.如函数f(x)=sinx~(1/2)+cos(1-x)~(1/2)的定义域[0,1]是有界的,所以f(x)不是周期函数. 例1 求证函数f(x)=sin 1/x不是周期函数. 证明:∵f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), ∴如果f(z)是周期为T的函数,那么对任何x≠0,都有f(x+T)=f(x)成立,令x=-T≠0,得     

浅谈用一次分式函数值域与定义域之间的内在联系解题

一次分式函数f(x)=(cx+d)/(ax+b)(a≠0,ad-bc≠0)值域的通常求法是逆求法:即先改写成x=f~1(y),由x∈A(A为函数f(x)的定义域),得f~1(y)∈A,解出y的取值范围,即可得到函数f(x)的值域.使用这种传统求法,思路比较清晰,易于操作,但是在求解过程中看不出结果与定义域之间的内在联系.下面我们就来研究一下函数f(x)=     

“经济数学基础”学习导引(二)

第四章多元函数微分学一、主要教学内容1.多元函数的基本概念主要是二元函数,其概念的要素还是对应关系与定义域,二元函数的定义域是平面上的某个区域,对应关系一般表示为:z=f(x,y) (x,y)∈D例如,设 z=f(x,y)=sin(x y)则 f(0,0)=sin(0 0)=sin0=0f(π/2,π/2)=sin(π/2 π/2)=sin=0f(t,s)=sin(t s)2.偏导数与全微分设 z=f(x,y),则     

抽象函数题的构造解法

<正>抽象函数因题目中没有具体的解析式,解题难度很大。如果能利用题目的条件,联想学过的函数类型,构造出相应的函数模型,则可快速解答这类题目。一、根据定义域构造函数(1)定义域为(-∞,+∞)时,构造f(x)=kx+b(k≠0)或f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0)。(2)定义域为(m,+∞)时,构造f(x)=log_a(x-m)。(3)定义域为(-∞,m)时,构造f(x)=     

函数解析式求解常用八法

把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.本文笔者对求解函数解析式常用的八种方法逐一进行介绍.一、配凑法已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的解析式,常用配凑法.该方法主要通过观察、配方、凑项等使原函数变形为关于“自变量”的表达式,然后以x代替“自变量”得出所求函数的解析式.例1已知f(1 1x)=x12-1,求f(x)的解析式.解析把解析式按“自变量”1 1x变形得f(1 1x)=(1 1x)2-2(1 1x),在上式中以x代替(1 1x),得f(x)=x2-2x(x≠1).这里需要特别注意的是,不要遗漏解析式的定义域x≠1.二、待定系数法已知函数类型或图像以及相关条件,求函数解析式时,常用待定系数法.此方法适用于所求函数的解析式表达式是多项式的情形,首先确定多项式的次数,写出它的一般表达式,然后由已知条件以及多项式相等的条件确定待定的系数.例2已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x 1)-f(x)=2x,求f(x).解析设f(x)=ax2 b...     

常见抽象函数题的解法

一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y),f(x-y)=f(x)-f(y).对应函数模型:f(x)=kx(k≠0).2.二次函数型抽象函数:f(a+x)=f(a-x).对应函数模型:f(x)=k(x-a)2+m(k≠0).3.指数函数型抽象函数     

例谈简单的初等代数函数方程的解法

在各类考试中,经常遇到与函数方程有关的问题,或直接求解某一给定的函数方程,或根据所给的函数方程确定某些函数值或确定函数具有某种性质,这类问题通常没有通法,解法因题而异,思路灵活而奇趣横生.本文以三个常见的初等代数函数方程为例,探讨其解法.在初等代数函数中,如下三种函数:(1)正比例函数:f(x)=kx(k≠0);(2)指数函数:f(x)=ax(a>0且a≠1);(3)对数函数:f(x)=logax(a>0且a≠1)在各自的定义域上都是单调函数,且它们分别满足性质:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x+y)=f(x)·f(y);(3)f(xy)=f(x)+f(y).现在我们探讨逆问题是否成立,即分别满足这三…     

一类函数定义域、值域为R的“转译”

以函数f(x)=lg(ax2 bx c)为载体求参数范围的问题.本文就此类函数定义域和值域分别为R的实质含义作出等价“转译”.1·解剖问题得出结论f(x)=lg(ax2 bx c)(a≠0)的定义域为R的等价说法是什么呢?容易看出,其实质等价于:当x∈R时,ax2 bx c>0恒成立,那么问题就转化为二次函数:y=ax2 bx c>0恒成立,则等价于a>0Δ<0(其中Δ=b2-4ac,下同)f(x)=lg(ax2 bx c)(a≠0)的值域为R的等价说法又是什么呢?注意到当y=lgx的定义域为(0, ∞)时,其值域为R,即y=lgx的值域为R是由其定义域决定的,若定义域不是(0, ∞),那么值域也就不是R了.如此,若f(x)=lg(ax2 bx…     

“恒成立”问题解题策略探究

<正>在学习过程中,经常遇到"恒成立"问题,且在各种考试中反复出现,可以说这一类问题是考试必考的一类题,因此把自己学习的经验与总结的解题策略写成本文,以期与同学们共同进步。一、判别式法例1设函数f(x)=e^x/xx/x²+ax+a,其中a为实数,若f(x)的定义域为R,求a的取值范围。解析:f(x)的定义域为R,则x2+ax+a,其中a为实数,若f(x)的定义域为R,求a的取值范围。解析:f(x)的定义域为R,则x²+ax+a≠0恒成立,Δ=a2+ax+a≠0恒成立,Δ=a²-4a<0,所以0相似文献   

“函数”错解例析

一、函数概念上理解致错例1、函数f(x)=1-x2姨｜2-x｜-2是()(A)奇函数而不是偶函数.(B)偶函数而不是奇函数.(C)奇函数又是偶函数.(D)非奇非偶函数.错解:∵f(-x)=1-(-x)2姨｜2+x｜-2=1-x2姨｜2+x｜-2,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.故选(D).评析:①错在忽略了函数定义域.函数定义应满足1-x2≥0,｜2-x｜-2≠0 .即-1≤x≤1,x≠0 .则f(x)=1-x2姨(2-x)-2=-1-x2姨x.∴f(-x)=-1-x2姨-x=1-x2姨x=-f(x),f(x)为奇函数.故选(A).②判断函数奇偶性,首先要注意函数的定义域是否关于原点对称,是关于原点对称再判断f(-x)与f(x)的关系…     

三次函数的性质和应用

三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)已经成为中学阶段一个重要的函数.本文给出并证明三次函数的三个性质,并例说性质的应用.函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的导函数为f/(x)=3ax2 2bx c.导函数的对应方程为f/(x)=0即3ax2 2bx c=0,其判别式Δ=4(b2-3ac).若Δ>0,设其两根为x1、x2,并设x1相似文献   

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性是函数的重要性质,它既有"式"的形式:f(-x)与f(x)的关系;又有"形"的形式:图象的对称性.本文将从三类函数入手分析如何判断函数奇偶性.一、一般函数奇偶性的判断一般函数奇偶性的判断适合用定义法,用定义判定函数奇偶性要从三"看"入手,即:一"看"定义域是否关于原点对称;二"看"函数解析式在定义域内的等价变形;三"看"f(-x)与f(x)的关系,其中f(-x)=-f(x)(?)f(x)+f(-x)=0(?)f(-x)/f(x)=-1,即f(x)满     

一道无理方程根问题的多视角求解

<正>题目若函数f(x)满足下列两个性质:①f(x)在其定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在某个区间使f(x)在[a,b]上的值域是[1/2a,1/2b],则我们称f(x)为"内含函数".(1)判断函数f(x)=x¹/2是否为"内含函数"?若是,求出a、b,若不是,说明理由;     

挖掘二次函数的一个重要性质

这里挖掘二次函数的一个重要性质以及在解题过程中的具体应用.性质如果二次函数f(x)=ax2 bx c(a≠0)有两个不相等的实数根x1、x2且x10.b2-4ac>0.证明:①由二次函数有两个不相等的实数根x1、x2.故原二次函数可写为f(x)=a(x-x1)(x-x2)且b2-4ac>0.由x10,x-x2<0,故a f(x)=a2(x-x1)(x-x2)<0,其逆也真.②由x0,x-x2>0,故a f(x)=a2(x-x1)(x-x2)>0且b2-4ac>0.其逆也真.(得证)图1图2我们从二次函数的图象也可以直观地看出:当a>0时(如…     

导数在函数中显神通

一、求函数解析式【例1】设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=1时,f(x)取得极小值-2,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),由于其关于原点对称,为奇函数.故b=d=0.所以f(x)=ax3 cx,由f′(x)=3ax2 c,且x=1时,f(x)有极小值-2得f′(1)=3a c=0,f(1)=a c=-2,解之,得a=1,c=-3,所以f(x)=x3-3x.二、求函数单调区间与判断函数单调性【例2】求f(x)=x3 3x的单调区间.分析:首先确定f(x)的定义域,再在定义域上根据导函数f′(x)的符号来确定f(x)的单调区间.解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, ∞)f′(x)=3x2-3x2=3(x2 1)(x 1)(x-1)x2由于当x<-…     

十种求函数值域的常用方法

一、观察法通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图像的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域.例1求函数y=2+1x2的值域.解由上式可知,定义域为R.当x缀R时,2+x2≥2,所以0<12+x2≤12.故函数的值域为｛y｜0相似文献   

用虚设零点法解函数极值问题

解决有关函数极值问题,一般都是通过求导函数的零点求出极值点来实现,然而,有些时候这一招却不灵啦,请看下例: 例1 已知函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个极值点,证明:f(x)的极小值小于-3/2. 分析 第一步:求定义域.函数f(x)=ax2-2x+lnx的定义域为(0,+∞). 第二步:求导.f'(x)=2ax-2+1/x=2ax2-2x+1/x. 第三步:求极值点. 令g(x) =2ax2-2x+1,函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个极值点的必要条件是g(x)=2ax2-2x+1=0当x＞0时有两个不等实根.