初中数学升学复习测试题精编──解三角形（二）

初中数学升学复习测试题精编──解三角形（二）一、填空题１．若四边形ＡＢＣＤ内接于圆，则ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＋ｃｏｓＤ＝２．△ＡＢＣ中，已知ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝３：５：７，那么最大角是度。３．△ＡＢＣ中，ａ＝ｂ＝１，ｃ，则三个内角为４...     

四边形海伦-秦九韶面积公式的一个推广

20 0 1年全国高考数学 (文史 )第 1 9题如下 :题　已知圆的内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ =2 ,ＢＣ =6,ＣＤ =ＤＡ =4 ,求四边形ＡＢＣＤ的面积。本题有七种以上解法 ,有利于考查学生灵活运用知识的创新能力。若用本文下述公式① ,则只要代入数据 ,即可算得面积△ =83。事实上 ,对圆的内接四边形 ,设其四边长为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,ｓ=12 (ａ ｂ ｃ ｄ) ,△为其面积 ,则有△ =(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) (ｓ-ｄ)①①式的证明参见文 [1 ],当ｄ =0时 ,①式变为△ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)②②式是著名的海伦 -秦九韶公式 (参见文 [2 ]) ,…     

凸四边形面积公式的证明及推广

对△ＡＢＣ ,记ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ,ｓ=(ａ ｂ ｃ) /2 ,△为其面积 ,则有海伦定理 :Δ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)。对上述定理 ,有熟知的推广 :定理 1　对圆的内接四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ ,ＤＡ =ｄ ,ｓ=(ａ ｂ ｃ ｄ) /2 ,△是其面积 ,则Δ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) (ｓ-ｄ)。当ｄ =0时 ,我们得到海伦定理。文 [1 ]给出了一个凸四边形的面积公式如下 :定理 2　对凸四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,ｓ=(ａ ｂ ｃ ｄ) /2 ,四边形ＡＢＣＤ的一组对角和为 2ｕ ,△是其…     

四边形对边分点间的距离公式的初等证明

四边形对边分点间的距离公式的初等证明山西省大同市二中杨吉淳文［１］中叶挺彪先生给出了空间四边形对边分点间的距离公式和它的证明．本文给出它的一个完全初等的证明．定理在空间四边形ＡＢＣＤ中，底ＡＢ＝ｂ，ＣＤ＝ａ，对角线ＡＣ＝ｃ，Ｐ、Ｑ为两腰ＢＣ、ＡＤ上分...     

解隐含条件型数学题的几种常用方法

一、定义法例１ （１９９８年上海初二数学竞赛试题）在图（１）中 ,已知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ ,如果∠ＤＡＣ是∠ＣＡＢ的ｋ倍 ,那么∠ＤＢＣ是∠ＢＤＣ的（）倍．分析 :由ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ ,联想到圆的定义 ,可知Ｂ ,Ｃ ,Ｄ三点都在以Ａ为圆心 ,ＡＢ长为半径的圆上（如图） ,借助圆周角与圆心角之间的关系 ,可使问题迎刃而解．显然 ,∠ＤＡＣ＝２∠ＤＢＣ ,∠ＣＡＢ＝２∠ＢＤＣ ,故选（Ａ）二、判别式法例３ 已知ａ,ｂ,ｃ是实数 ,且ｂ +ｃ＝８,ｂｃ＝ａ２ -１２ａ +５２ ,求ａ +２ｂ +３ｃ的值．解 :由ｂ +ｃ＝８得ｃ＝８ -ｂ,将其代入ｂ…     

圆内接四边形性质定理的应用

圆内接四边形性质定理揭示了圆内接四边形的两组对角以及任一外角与它的内对角之间的等量关系．因此，应用圆内接四边形性质定理可以证明两角互补或相等以及计算角的大小． 例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ内接于Ｏ，若∠ＢＣＤ＝１０°，则∠ＢＯＤ等于（）． （Ａ）１００°（Ｂ）１６０°（Ｃ）８０°（Ｄ）１２０° （２０００年辽宁省大连市中考题） 分析 由圆周角定理可知，∠ＢＯＤ＝２∠ＢＡＤ．因此，要求∠ＢＯＤ的度数，只须求出∠ＢＡＤ的度数即可．由已知条件和圆内接四边形的性质定理可知，∠ＢＡＤ＝８０°． ∠ＢＯＤ＝１６０…     

三角形的一个有趣性质

三角形的一个有趣性质兰州石油学校王江云若用Ａ，Ｂ，Ｃ表示凸ＡＢＣ的三个内角，以ａ，ｂ。ｃ分别表示它们的对边（即ＢＣ＝ａ“ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ）则有以下定期。定理在ＡＢＣ中，若Ａ≥Ｂ，则即ｓｉｎａ＝ｓｉｎｂ＋ｓｉｎＢ，正弦定理，得推论１在ＡＢＣ中，若Ａ＞...     

三角形中的射影定理及应用

正弦定理和余弦定理是解斜三角形的两个常用定理．但是对于某些问题,若运用射影定理解决则更为方便．１定理与证明射影定理在△ＡＢＣ中,ａ、ｂ、ｃ分别是角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边,则有ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢ,ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡ,ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．图...     

几种特殊形式成比例线段的证题方法

１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１　从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２　已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ…     

应用勾股定理进行几何计算

直角三角形两直角边ａ、ｂ的平方和，等于斜边ｃ的平方，即ａ２＋ｂ２＝ｃ２这就是我们所熟悉的勾股定理。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．灵活应用它，不仅可以解决与直角三角形有关的计算问题，一些与斜三角形有关的计算问题也可通过添作垂线后获得解决．现以近年来的中考题为例介绍勾股定理在几何计算中的应用．例１如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高，已知ＡＤ＝４，ＢＤ＝１６，则ＣＤ＝（１９９５年甘肃省中考题）解在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝２０，ＡＣＺ＋ＢＣＺ一ＡＢＺ一４００．在Ｒｔ凸ＡＣＤ和…     

《相似形》自测题

一、填空题（每题４分．共３６分）１．已知线段ａ＝８１ｃｍ．ｂ＝９ｃｍ．那么线段ａ和ｂ的比例中项３．已知两个相似三角形面积比是２５：３６．那么它们的对应边的比是，周长之比是５．已知线段ａ＝８，ｂ＝４。ｃ＝１０，欲使ａ、ｂ、ｃ、ｄ成比例线段、则应取ｄ＝６．如图１，ＣＤ是ＲｔＡＢＣ斜边上的高．则图中最多有对相似三角形．７．如图２．在ＡＢＣ中，ＤＥ／／ＢＣ，ＡＥ＝１．ＥＣ＝２，则．８．把一个三角形变换为与它相似的三角形．如果面积扩大为原来的１０倍，那么边长应扩大为原来的倍．９．相似三角形对应高的比。对应…     

转化──学好四边形的关键

要学好《多边形》一章的知识,关键要抓住下面三个转化．一、将多边形问题转化为三角形问题（或四边形问题）来研究例１已知一个四边形ＡＢＣＤ（如图１）,作一条线段ａ,使它等于四边形两条对角线长的和;作一条线段ｂ,使它等于四边形的周长．试比较线段ａ、ｂ的大小．（《几何》第二册１３０页Ａ组第２题）分析证明四边形中线段不等关系,可转化为三角形,利用三角形中的三边关系定理来处理．在四边形ＡＢＣＤ中,作对角线ＡＣ、ＢＤ．在△ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＢＣ＞ＡＣ;①在△ＡＢＤ中,ＡＢ＋ＡＤ＞ＢＤ;②在△ＢＣＤ中,ＣＤ＋ＢＣ＞…     

数学教学培养创造思维例析

一、培养学生多角度认识问题　　经常引导学生多角度地认识一个数学问题 ,可以使学生在解题中思路开阔 ,巧解频生 ,酝酿出多种不同的解题途径 ,激发学生创造性的思维品质。如对于几何问题中的线段 ,可设想为三角形的边、角平分线、高或中线、圆的割线或切线、圆内的弦、四边形的对角线等等。对于几何问题中的角 ,同样可设想为三角形的某一内角或外角 ,四边形对角线的交角、圆周角、圆心角、弦切角等等 ,从不同的角度丰富了对几何元素的认识。　　题 1　已知△ＡＢＣ中 ,角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边为ａ、ｂ、ｃ,∠Ｂ =2∠Ｃ ,求证ｂ2 =ｃ(ａ +ｃ)。…     

凹四边形的一个面积公式

文 [1 ]证明了凸四边形的一个面积公式 ,本文应用类似的方法 ,证明了该公式也适用于凹四边形 .定理　设凹四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,对角线ＡＣ =ｍ ,ＢＤ =ｎ ,则其面积Δ =144ｍ2 ｎ2 -(ａ2 -ｂ2 +ｃ2 -ｄ2 ) 2 .证明 :不妨设Ｃ是凹顶点 (如图 ) .延长ＡＣ交ＢＤ于Ｅ ,记∠ＡＥＢ =θ ,ＢＥ =ｘ ,ＥＤ =ｙ ,ＣＥ =ｚ,则ｘ +ｙ=ｎ ,ＡＥ =ｍ +ｚ .由余弦定理 ,有ａ2 =ｘ2 +(ｍ +ｚ) 2 -2ｘ(ｍ +ｚ)ｃｏｓθ ,ｂ2 =ｘ2 +ｚ2 -2ｘｚｃｏｓθ,ｃ2 =ｙ2 +ｚ2 +2 ｙｚｃｏｓθ ,ｄ2 =ｙ2 +(ｍ +ｚ) 2 +2 ｙ(ｍ …     

关于三角形内角的两个关系式及其应用

关于三角形内角的两个关系式及其应用曾思江（湖南省新化三中４１７６００）△ＡＢＣ中，设三内角Ａ、Ｂ、Ｃ所对边分别为ａ、ｂ、ｃ，由正弦定理有ａ＝２ＲｓｉｎＡ，ｂ＝２ＲｓｉｎＢ，ｃ＝２ＲｓｉｎＣ，以此代入ａ＋ｂ＞ｃ中，得２ＲｓｉｎＡ＋２ＲｓｉｎＢ＞２Ｒｓｉ...     

三角形中一类三角函数问题的解法

在△ＡＢＣ中,角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ,其内切圆半径为ｒ,现设ａ＝ｘ＋ｙ,ｂ＝ｚ＋ｘ,ｃ＝ｙ＋ｚ,则ｘ、ｙ、ｚ的几何意义如图１所示．显然有ｘ＝ｒｃｔｇＣ２,ｙ＝ｒｃｔｇＢ２,ｚ＝ｒｃｔｇＡ２．（Ⅰ）又半周长ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｘ＋ｙ＋...     

平行四边形的判定方法

要判定一个四边形是平行四边形,常用的判定方法有以下五种：两组对边分别平行从边的关系考虑两组对边分别相等一组对边平行且相等从角的关系考虑两组对角分别相等从对角线的关系考虑对角线互相平分平行四边形由于判定一个四边形为平行四边形的方法较多,因此要注意认真分析题目的特点,选取最简捷的证题思路．例１如图１,四边形ＡＢＣＤ中,ＡＢ＝ＣＤ,ＡＤＢ＝ＣＢＤ＝９０°．求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．分析１由已知条件和上述的方法２可知,欲证ＡＢＣＤ为平行四边形,只须证ＡＤ＝ＢＣＲｔ△ＡＤＢ≌Ｒｔ△ＣＢＤ　ＡＢ＝Ｃ…     

2002年全国初中数学竞赛试题

一、单项选择题 (本题共 6小题 ,每小题 5分 ,满分 3 0分 )1 设ａ <ｂ <0 ,ａ2 +ｂ2 =4ａｂ ,则ａ +ｂａ -ｂ的值为 (　　 ) .(Ａ) 3　　 (Ｂ) 6　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) 32 已知ａ =1 999ｘ +2 0 0 0 ,ｂ =1 999ｘ+2 0 0 1 ,ｃ=1 999ｘ +2 0 0 2 ,则多项式ａ2 +ｂ2 +ｃ2 -ａｂ-ｂｃ-ｃａ的值为 (　　 ) .(Ａ) 0　　　 (Ｂ) 1　　　 (Ｃ) 2　　　 (Ｄ) 3图 13 如图 1 ,点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连结ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ 等于 (　　 ) .(Ａ) 56　　(Ｂ) 45 　　 (Ｃ…     

等差三角形中的一个定理及应用

我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形．它有一个重要的性质如下：定理　在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ、ｂ、ｃ成等差数列，则有ｔｇＡ２ｔｇＣ２＝１３．证明　由题意知　２ｂ＝ａ＋ｃ，由正弦定理得　２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，∴　４ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝２ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ－Ｃ２．又∵　ｓｉｎＡ＋Ｃ２≠０，则有２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝ｃｏｓＡ－Ｃ２，即　２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２－２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２＝ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２，∴　３ｓｉｎＡ２…     

二倍角三角形的一个性质及应用

二倍角三角形的一个性质及应用姜玉田（山东省郯城师范学校２７６１００）有一个内角等于另一个内角的二倍的三角形,称为二倍角三角形,本文介绍它的一个重要性质及其应用．定理设△ＡＢＣ的三内角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ,若∠Ａ＝２∠Ｂ,则有ａ２＝ｂ...