错在哪里?(高一)

判别式的应用广泛,但也容易出错,请看:例1 若a b c=0,abc=2,c>0.求证:c≥2.证明因为a b c=0,abc=2,所以a≠0,x=1是方程ax2 cx b=0的一个根,因为x=1∈R,所以△=c2-4ab≥0.     

多动脑 证法巧

问题1 关于x的方程(a2 b2 c2)x2-2(ab bc ca)x a2 b2 c2=0有两个实数根,其中abc≠0.求证:a∶b=b∶c=c∶a. 证法1:∵方程有两个实数根, ∴△=[-2(ab bc ca)]2-4(a2 b2 c2)2≥0. 展开得a4 b4 c4-2a2bc-2ab2c-2abc2 a2b2 b2c2 c2a2≤0.     

数学奥林匹克初中训练题(81)

1.已知实数abc≠0,且三个一元二次方程ax2＋bx＋c=0,bx2＋cx＋a=0,cx2＋ax＋b=0有公共根.则a2/bc＋b2/ca＋c2/ab=（ ）. 　　（A）3 （B）2 （C）1 （D）0     

条件为a+b+c=0的一个命题及其应用

命题　若实数 a,b,c满足 a b c=0 ,则　 ( ) a3 b3 c3=3abc;( )关于 x的方程 ax2 bx c=0必有一根为 1;( ) b2 ≥ 4ac.证明　 ( )由乘法公式 (a b c) (a2 b2 c2 - ab- bc- ca) =a3 b3 c3- 3abc知 ,当 a b c=0时 ,a3 b3 c3=3abc.( )当 x=1时 ,ax2 bx c=a b c= 0 ,故 x=1是方程 ax2 bx c=0的根 .( )当 a≠ 0时 ,ax2 bx c=0是一元二次方程 ,由 ( )知它有实数根 ,故△≥ 0 ,即b2 - 4ac≥ 0 ,b2 ≥ 4ac.当 a=0时 ,b2≥ 4ac显然成立 .这是一个重要的命题 ,它的应用极为广泛 ,利用它来解决条件中出现 (或可化成 ) a b …     

2004年全国初中数学联赛试题解答集锦

第一试　　一、选择题(满分42分,每小题7分)1 .已知abc≠0 ,且a b c=0 ,则代数式a2bc b2ca c2ab的值是(　　) .A .3　　B .2　　C .1　　D .0标准答案:原式=-(b c)·abc -(c a)·bca -(a b)·cab =…=3 ,选A .别解1 :∵a3 b3 c3-3abc =…=(a b c)(a2 b2 c2 -ab-bc-ca) =0 ,∴a3 b3 c3=3abc.∴原式=a3 b3 c3abc =3 .别解2 :取a =b=1 ,c=-2 .下略.2 .已知p、q均为质数,且满足5 p2 3 q =5 9,则以p 3 ,1 -p q ,2 p q -4为边长的三角形是(　　) .A .锐角三角形　　　B .直角三角形C .钝角三角形　　　D .等腰三角形标准答案1 :…     

2014年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明: ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4. 证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数. 对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0. 则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c) ＜0＜abc/2+1/4. 对于后一种情形,由舒尔不等式有 a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) ≥0 (→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc ≥0.① 记p =ab +bc +ca,q=abc. 由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0. 从而,p≤9q/4+1/4. 因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以, √q≤√1/3＜2/9. 于是,9q＜2√q. 故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4 (→) ab+bc+ca＜√abc+1/4.     

函数问题错解剖析

有关函数问题,历来就是中考的重要考点。有些问题看似不难,但若数学概念模糊,掌握知识不够全面,或粗心大意忽视隐含条件,或考虑问题不周密,加上思维定式的影响,就会产生错误的理解,形成错误的判断,导致错误的结论。现略举几例加以剖析:例1.已知abc≠0并且c/a b=a/b c=b/c a=1/2p,那么一次函数y=px-P的图象一定经过____象限。(泰州市中考题)错解:由等比定理,得1/2p=a b c/2(a b c)=1/2从而p=1故直线y=x-1一定经过一、三、四象限剖析:这是由于受等比定理形式这一思维定式的影响,误以为只能是a b c≠0。事实上,当a b c=0时,a b=-c,1/2p=c/-c=-…     

条件式abc=a＋b＋c＋2的几个等价式与应用

本文谈谈条件式：abc=a＋b＋c＋2（a,b,c〉0）①下的不等式证明题.1①的等价式一与应用①式等价于1/（a＋1）＋1/（b＋1）＋1/（c＋1）=1（a,b,c〉0）②例1已知正数a、b、c满足abc=a＋b＋c     

与a3＋b3＋c3-3abc有关的恒等式及其应用

我们可以验证,若a、b、c∈C则关于a3＋b3＋c3-3abc有以下恒等式成立：（1）a3＋b3＋c3-3abc=（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2-ab-bc-ca）.（2）a3＋b3＋c3-3abc=1/2（a＋b＋c）[（ab）2＋（b-c）2＋（c-a）2].（3）设w2＋w＋1=0（即w=（（-1＋（3i）（1/2））/1）     

分式求值的技巧

<正>求分式的值是分式化简、计算的重要内容,经常出现在中考试卷中.这里介绍几种常用的解题技巧.一、特殊值法,巧取奏效例1已知abc≠0,且a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)的值为_.解依题意,不妨令a=1,b=1,c=-2,则原式=1×(1/1+1/(-2))+1×(1/1+1/(-2))+(-2)×(1/1+1/1)=-3.     

一道习题的推广及应用

在有关初中数学竞赛资料中,常有这样一道题: 已知:a·b·c=1,且a·b a 1≠0求代数式a/(ab a 1) b/(bc b 1) c/(ca c 1)的值。解;∵abc=1,且ab a 1≠0∴原式=a/(ab a 1) b·a/(bc·a ba a) 由此我们还易证:若ab=1,a≠-1,则a/(1 a) 1/(1 b)=1 (*),     

一类方程组的求解方法及其应用

早在上个世纪八十年代初，笔者就在文献[1]中看到过形如 ｛1/x＋1/y＋z=1/a,（1） 1/y＋1/x＋z=1/b,（2） 1/z＋1/x＋y=1/c,（3） （abc≠0，且a＋b-c≠0，b＋c-a≠0，c＋a-b≠0）的方程组，可惜该书没有提供这道题的参考答案，当时笔者也未能求解出结果，然而，事隔十几年之后，在2000年的理科综合的压卷题求解过程中，又碰到了这种方程组，但同样地，参考答案也仅给出最后结果，     

学习向量八注意

注意1 由a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c即消去律不成立.取 ,a与b的夹角为45°,|c|=1/2,a与c的夹角为0°.显然a·b=a·c=1/2,且a≠0,但b≠c.     

联想&#183;构造&#183;创新

实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一数大于3/2。     

2007年第2期问题解答

79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.解:因为函数(f x)=lnx在(0, ∞)上是增函数,所以对于任意a,b∈R ,恒有(a-b)[f(a)-f(b)]≥0成立,即a ln a b ln b≥a ln b b ln a.①同理,b ln b c ln c≥b ln c c ln b.②c ln c a ln a≥c ln a a ln c.③由① ② ③得2ln(aabbcc)≥(b c)ln a (a c)ln b (a b)ln c.所以有3ln(aabbcc)≥(a b c)ln(abc),即aabbcc≥(abc)a b c3.又因为abc=8,所以a b c≥3#3abc=6,即aabbcc≥82=64.当且仅当a=b=c=2时取等号,所以aabbcc的最小值为64.80.设a,b>0,求证:当λ>2时,有!a aλb$ !b bλa$≤λ$!λ2-1.证明:…     

2013年全国高中数学联赛B卷第10题的推广与证明

问题（2013年全国高中数学联赛B卷第10题）假设a,b,c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.这是一道优秀试题,现给出异于参考解答的几个证明.证法1由均值不等式得a2+1≥2a,b2+1≥2b,c2+1≥2c,a+b+c≥33（abc）^1/2=3,相加得a2+b2+c2+3≥2（a+b+c）=a+b+c+（a+b+c）≥a+b+c+33（abc）^1/2=a+b+c+3.     

线性分式函数的图像和性质讨论

在高中代数中,常常遇见形如y=(ax b)/(cx d)(1)(c≠0,a~2 b~2≠0,bc-ad≠0)的函数,我们称为线性分式函数,其中常数c≠0,是因为若c=0,这就不是分式函数,而是一次函数或常数了,若a~2 b~2=0,则a=b=0,y=0是一个常数,或称常值函数,而若bc=ad则a/c=b/d,函数(1)的解析式变成y=(a/c x b/c)/(x d/c)=(b/d x b/c)/(x d/c)=(b/d(x d/c))/(x d/c)=b/d,也     

04年全国初中数学联赛试题(初三)

1.已知abc≠0,且a b c=0,则代数式a2/bc b2/ca c2/ab的值是( )(A)3. (B)2. (C)1. (D)0.2.已知户,q均为质数,且满足5p2 3q=59,则以p 3,1-P q,2p q-4为边长的三角形是( )     

1986年献礼

1.若(a b)/(a-b)=(b c)/(b-c)=(c a)/(c-a) 求证:|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 【证明】:由条件(*)知a、b、c两两不等,且abc≠0,对(*)式用合分比定理得a/b=b/c=c/a=x≠1从而c=ax,b=cx=ax~2,a=bx=ax~3 ∴ x~3=1,可见x是1的立方虚根w或w~2。∴ c=aw,b=xw~2或c=aw~2,b=aw~4=aw, 于是|a~(1986)|=|(aw~2)~(1986)|=|(aw)~(1986)| 故|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 2.证明:是合数【证明】:=10~(1986)-1/9=(10~(993))~2-1/9=((10~(993) 1)(10~(993)-1))/9     

对一元二次方程根的研究所得

关于一元二次方程的两根之和m=x1 x2=-ab、两根之积n=x1x2=ac是大家都熟悉的,那么一元二次方程的两根之比λ和两根之差d与系数的关系又是怎样的呢?经过探索,可得定理1如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0,c≠0)得两根之比为λ,则有(λ 1)2λ=abc2.证明由题设得(λ λ1)2=λ2 2λ 1λ=λ 1λ 2=xx12 xx12 2=x12 2x1x2 x22x1x2=(x1x 1xx22)2将韦达定理代入(1)得(λ λ1)2=(-cab)2a=abc2.定理2如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)两根之差的绝对值为d,则有d=|aδ|(其中δ=b2-4ac).证明对称性,不妨设x1=21a(-b b2-4ac),x2=21a(-b-b2-4ac),所以d=|x1-x…