一道条件不等式的证法综述

引导学生开展“一题多解，一题多证”的训练和探究，必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，启迪他们的创新思维，培养数学综合能力，进而提高他们的数学素质． 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例，从九个方面研究其证明的策略和技巧． 题（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题）设 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证；ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１／３１ 代入法 证１ 注意恒等式 ３（ａ２十ｂ２十ｃ２）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋（ａ－ｂ）２十（ｂ ｃ）’＋（ｃ ａ）’将已知ａ＋ｂ＋ｃ二ｌ代人得 ３（ａ’＋ｂ‘＋ｃ’）二１：…     

函数复习课中“一题多变”的教学实例

复习题课对学生所学过的知识能够起到检查、巩固、提高、拓展的功效,在进行高三复习课的教学过程中,应当适当安排一些习题课．然而,习题课的选题,容量怎样安排才合理,效益如何提高,如何培养学生的良好思维品质,我一直在思考、在尝试．我认为习题课绝不是简单的习题介绍,也绝不是对教辅资料的处理,     

从三种课型人手培养学生的思维品质

在数学教学中,如何开发学生的数学思维品质,是我们在教学中经常遇到并必须解决的问题。本文从新授课、习题课、讲评课三个方面,对学生数学思维品质的培养进行了探究。     

数学教学中培养学生思维品质的几点体会

发展智力,培养能力,尤其是培养思维品质,是数学教学的一项重要内容,数学教学中如何利用数学问题注意培养学生良好的思维品质,进而提高学生分析问题、解决问题的能力,这对提高学生的数学素质具有重要意义。以下笔者就如何通过例题讲评培养学生的思维品质谈几点个人的体会。一、勇于探索,培养思维的创造性创造性思维的本质特征是思维过程具有独创性,其结果不再是原有的形象,而是奇特、新颖的复合形象,创造性思维是获取和发现新知识、解决数学问题的一种重要的思维品质。例　已知:正数ａ、ｂ、ｃ、ｍ、ｎ、ｐ满足条件ａ ｍ=ｂ ｎ=ｃ ｐ=ｋ　　…     

运用学习的迁移原理 优化数学习题课教学

习题课是数学教学活动的一个极为重要的形式．目前我国中学数学教学中，习题课教学占有较大的比例．在习题课教学中，师生通过对一些典型例题的分析讨论，使学生对所学过的基本概念、公式、定理及其运用有进一步的理解，以达到夯实基础的目的．在对例题解题策略的思考和解题方法的探求中，要启迪学生的思维，培养学生的品质，提高学生的能力．     

等差数列的性质及应用

性质１若｛ａｎ｝成等差数列,公差为ｄ,则｛ｋａｎ＋ｂ｝也成等差数列,公差为ｋｂ．（其中ｋ≠０,ｋ,ｂ是实常数）例１已知ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,求证１ｂ＋ｃ,１ｃ＋ａ,１ａ＋ｂ亦为等差数列．（高中代数〈必修〉下册１２８页题６）证明：由已知,ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,由性质１,ａ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｂ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｃ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ成等差数列,即（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）,（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ）,（ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ）成等差数列．又有（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）,（…     

习题课应重点抓好两项工作——提高习题课教学质量之我见(下)

要提高初中数学“习题课”的教学质量,教学中教师必须重点抓好以下两项工作。 第一项:培养良好的数学思维品质 “习题课”教学的一个重要目的,就是通过分析、解答例题和习题,进行数学思维训练,培养学生良好的数学思维品质,使学生思维的广阔性、深刻性、灵活性、敏     

一道课本习题的引伸与一道名题的妙证

一道课本习题的引伸与一道名题的妙证张贝斌（甘肃省金昌市一中７３７１００）题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．（１）这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原...     

巧用等比性质解题例谈

巧用等比性质，可使许多问题变得简单易解，下面举例说明之．例１　已知ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，求ｂａ的值．解　∵ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，∴　ｂａ＝ａ－ｃ＋ｃ＋ｂｂ＋ａ＋ｂ＋ａ＝ａ＋ｂ２（ａ＋ｂ）＝１２．例２　已知ｃｔｇα＝２，求ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα的值．解　∵ｃｔｇα１＝２１＝ｃｏｓαｓｉｎα，∴ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα１＋１＋ｓｉｎα＝２，即ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα＝２．例３　求ｎ３ｎ－９ｎ＋２７ｎ５ｎ－１５ｎ＋４５ｎ的值．解　∵３ｎ５ｎ＝－９ｎ－１５ｎ＝２７ｎ４５ｎ＝３…     

shc58的证明

文［１］提出了如下一个漂亮猜想．猜想（ｓｈｃ５８）　设ｍａ,ｍｂ,ｍｃ,ｗａ,ｗｂ,ｗｃ,ｒａ,ｒｂ,ｒｃ,ｐ分别表示△ＡＢＣ的中线、角平分线,旁切圆半径及半周．则在锐角△ＡＢＣ中有∑ｍａ（ｒａ＋ｗａ）≤２ｐ２．（＊）经研究,上述猜想成立．以下给出证明．证明　由旁切圆半径及中线公式,得ｐａ－２ｒａｍａ＝ｐ２ａ２－４ｒａ２ｍａ２ｐａ＋２ｒａｍａ＝｛ｐ［ｐ（ｐ－ａ）ａ２－（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）（２ｂ２＋２ｃ２－ａ２）］｝／｛（ｐ－ａ）（ｐａ＋２ｒａｍａ）｝＝ｐ（ｂ－ｃ）２（ｂ２＋ｃ２－ａ２）２（ｐ－ａ…     

构造长方体巧证一道名题

题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原文给出的证明非常繁．本刊１９９８年第４期《一道课本习题的引伸与一道名题的妙证》一...     

例谈变式教学设计在习题课教学中的作用

教学设计是灵活多样的,而习题的变式教学设计对学生思维品质的培养是很有效,尤其是对学生的创新和创造性思维的培养．下面就一个例题的简单变式设计,来说明习题的变式设计在数学习题课教学中的重要意义．     

运用“a＋b≥2ab”求最值错解2例

运用“ａ＋ｂ≥２ａｂ”求最值错解２例兰州市十六中景曼桂在求解最值问题时，巧妙地运用重要不等式“ａ＋ｂ≥２ａｂ”（或ａ＋ｂ＋ｃ≥３３ａｂｃ）常常能使问题简化。但一些学生在运用中容易忽视公式成立的条件，以致造成错解。现举２例。例１．已知ｘ，ｙ＞０，ａ，ｂ...     

不等式的PQR证法

定理　设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则　２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形…     

三元均值不等式的加强及其应用

高中《代数》下册给出的三元均值不等式是：如果ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,那么ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ,①当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时取“＝”号．此不等式可加强为：定理如果ａ,ｂ,ｃ≥０,那么ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ＋ａ（ｂ－ｃ）２＋ｂ（ｃ－ａ）２＋ｃ（ａ－ｂ）２．...     

数学习题教学中对学生思维品质的培养

如何进行数学习题教学 ,是数学课教学中急待解决的问题。“题海战术” ,不仅加重了学生的课业负担 ,又违背了国家关于素质教育的方针 ,更不利于学生身心健康发展和思维品质的培养。因此必须加强和改进习题课教学。一般来说 ,习题课有两个作用 ,一是系统概括知识内容 ,沟通各类知识的联系 ,提高理解力。二是提高逻辑思维能力和形象思维能力 ,在此基础上培养学生的创造思维能力 ,以达到对学生思维品质的培养。一、研究课本例题的应用 ,培养学生思维的广阔性和敏捷性。例 1 建筑学规定 :民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比 ,但窗户面…     

在定理教学中培养学生的思维能力

在定理教学中培养学生的思维能力省教科所王志亮一、研究定理的成立条件，培养思维的严谨性引导学生研究定理成立的条件以及不成立的情况，防止思维片面性而导致错用定理，从而培养学生思维的严谨性。求其值。有些学生往往根据等比定理直接得出ｋ＝。事实上若ａ＋ｂ＋ｃ＝...     

二元二次多项式的因式分解

本文给出了二元二次多项式ｆ（ｘ,ｙ）＝ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ（１）在整数及实数范围内可分解因式的充要条件,使用所给出的方法,使得二元二次多项式的因式分解规范化,并且简单易行．一、在整数范围内分解定理１　设（１）是整系数多项式,则它可分解为因式（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＋ｃ２）的充要条件是（Ⅰ）ａｘ２＋ｄｘ＋ｆ＝（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）,ｂｙ２＋ｅｙ＋ｆ＝（ｂ１ｙ＋ｃ１）（ｂ２ｙ＋ｃ２）,ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＝（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ）．只要比较ａ…     

成果集锦

成果集锦不等式ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３Δ的一个对偶定理在非钝角△ＡＢＣ中,有１ａ２＋１ｂ２＋１ｃ２≥５４Δ．（＝｜△ＡＢＣ为等腰直角三角形）①证明：由ｃｔｇＡ＝２ｂｃｏｓＡ２ｂｃｓｉｎＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２４Δ,及ｃｔｇＢ、ｃｔｇＣ的类似表达式,知①等价...     

深入贯彻教学大纲,培养学生思维品质

数学教学主要是数学思维活动的教学,如何在数学教学中培养学生的思维能力．养成良好的思维品质是教学改革的一个重要课题．本文从教学大纲入手,简单谈谈如何培养学生的思维品质．