注意通法 淡化技巧(高一、高二、高三)

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二培训题68题为: 若3x。一xy+3y。一20,则8x。+23y。的最大值是——. 解法1 应用基本不等式 删一丢(4z㈡≤堕≯得 3zz+3yz一20≤毕朋 8z。+23y。≤160. 解法2 应用配方法, 8z。+23y。一8(3x。一删+3y。)一(16x。一8xy+Y。)一8·20一(4x一∥)。≤160. 两法快捷如口算,令人称巧叫绝! 在惊叹解法的巧妙之余,不禁会问: :ry一÷(4x·y)是怎么想到的? 8(3x。一删+3y。)一(16x。一8xy+y。)又是怎样观察出来的?如果不是已得出结果当4z===y时,8Iz。+23y。有最大值160,你能得出上面两个式子吗?比如: 已知322一删+2…     

一题错解的改正

〔们中有这样一道选择题:设实数m、:、二、即,满足。:’+。,二a,x’+,’二b则,x+,,介勺最大值是(月)件乙(。)、/而(e),/亘三亘二 艺书名、2冬了。、杯a’+卜:、‘产,一一一二一~一 艺〔1〕给出的解答为::二二十·,、鱼’丫十传“’一仓护 .’.,x+,y的最大值为(a+b)/2,答案: (A)。 上述解答是错误的。因为上述不等式中要使等号成立.必须二二x且:二刀,’而当口斗b时,上述要求是无法达到的,因此当。含西时,只有爪x+n夕<口+b 2所以〔1〕给出的答案是错误的。 事实上,考虑向量OA二二i+)ll’OB二xi+y广,、产口和召乙,州x+,‘岁二、/a则OA、OBO…     

速解 高考试题的几种策略

一、整体代入 例1.若虚数满足23一8,则23 Z, 22 2一 (1989年广东高考) 解:二23=8,:’ 23一8=0.即(Z一2)(22 22 4)O丫Z护2.’.Z2 22 4~0 22十22 2一一2 ① 用①整体代人原式,立即可得原式一8 (一2)-例2.,920。十‘g;o。 丫福~,920。的值是 (1996年全国高考) 解:用和角正切变形公式tg20o tg40o一tg(200 400)〔1一tgZootg400〕整体代入得原式=tg600〔l一。920。‘940。〕 丫万‘920·,940一,960。一丫万. 二、估算范围 例3·如果实数二、,满足(二一2,’ y’一”,那么子的最大值是丫万(,)粤(。)李(e)李(D) 乙j乙 (1990年全国高考) 解:取二一,…     

求解多元函数最值五招(高一、高二、高三)

1.配方 例1设实数a,b,。,d满足 aZ bZ cZ dZ~5, 则(a一b)2 (a一。)2十(a一d)2十 (b一e)2 (b一d)2十(e一d)2 的最大值是.(02年上海高数竞) 解将原式展开并整理,得 3a2十3b2 3c2 3d2一Zab一2盯一 2口d一2加一2反l一Zcd. 配方得原式 一4(aZ十护 产 dZ)一(a十b 。十d)2 一20一(a b c d)2 簇20, 所以原式的最大值为20. 2.引入参数 例2实数二,夕满足方程 尸 犷一6j一 4y一9, 则2二一3y的最大值与最小值的和等于 (第1。届99年“希望杯”高二) 解题设方程即 (了一3)2 (y 2)2一4, !‘ 2户。, {川抓二2:)一、. 俘说只贡.0’ 由对称性知,可只考虑y)…     

两类函数图象对称轴的辨析

下面是两个常见的有关函数图象对称的问题: 1．定义在R上的函数y=f(x)满足f(a -x)=f(a-x),那么y=f(x)的图象关于直线 _____对称; 2．定义在R上的函数y=f(a x)与y= f(a-x)的图象关于直线_____对称．这两个问题,外形相似,极易混淆．实际上,第1题是一个函数的自对称问题,答案是关于直线x=a对称;第2题是两个函数的互对称问题,答案是关于直线x=0对称．     

巧用配方求二元二次函数条件最值(高一、高二、高三)

题若3x2-xy+3y2=20,则8x2+23y2的最大值是__.(2002年“希望杯”培训题) 命题者的巧妙解法是引入参数(t):因为 xy=tx·y/t≤1/2(t2x2+(y2/t2))     

初二数学暑假练习(二)

(本练习题适合华东师大版新教材,满分150分,时间120分钟)　　一、选择题(每小题3分,共36分,每题只有一个正确答案,请把各题的正确答案填在下表相应位置)1.下列函数中,自变量取值范围正确的是(　　)A.y=3x-1中,x≠13B.y=x0中,x为全体实数C.y=x 2中,x>-2D.y=1x 1中,x≠-12.下列根式中最简二次根式是(　　)A.4x　　B.12x　　C.2x　　D.x2y3.如图1,不等式组2x≤1x 2>0的解集在数轴上可表示为(　　)图14.见初二数学暑假练习(一)中第11题5.已知:b ca=a cb=a bc(a,b,c都为正数),那么y=kx k的图象一定经过(　　)A.第一、二、三象限　B.第二、三…     

一道WMTC赛题的简明解法

题目已知正数x,y,z满足x＋y＋z=1且xy＋yz＋zx＋λ√xyz≤1,求λ的最大值．（第二届世界数学团体锦标赛青年组团体赛第20题）     

对一道课本习题的探究

题目:已知x2 y2=16,求x y的最大值和最小值.(人民教育出版社高中数学第二册(上)复习参考题七B组第6题) 求代数式的最大值和最小值,关键是构造出关于该代数式的不等式.     

数形结合求最值(高二)

原答案用代数法求解，下面运用数形结合， 以数定形，以形助数. 解由已知可得 0簇x毛1，O镇y镇1，O簇z成1， 斗。 例1实数x，y满足了十4犷一4一0，则 扩 犷一2x 1的最大值为_. (第十五届04年“希望杯”高二培训) 原答案根据椭圆的参数方程，利用三角代 换求解.下面用代数法求解     

不等式x21/y1+x22/y2≥(x1+x2)2/y1+y2的解题功能

这是1990年一道脍炙人口的全国高考试题: 题如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3,求u=y/x的最大值. 此题是个多解题,考生往往借助三角知识,或求助于数形结合解之.其实,下述代数方法也颇为有趣.     

酒杯中的学问——对一道课本题的探究

<正>一、课本题赏析例1一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是χ²=2y(0≤y≤20).在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,那么玻璃球的半径r应满足什么条件?本题是苏教版选修2-1第68页第10题.它是以抛物线为背景的一道应用题,转化为数学问题后可以从不同的视角求解.解法1(几何法)设玻璃球轴截面所在     

一道例题的推广及其应用

题:已知x,y>0,x y=S,xy=p,求证(1)如果p是定值,那么当且仅当x=y时S取最小值;p~(1/2);(2)若S是定值,那么当且仅当x=y时p取最大值S~2/4(见高中代数第二册)。利用此例求函数的最值时,必须满足x=y这个条件。本文推广上题的结论以应用于x=y不能成立时的函数最值问题。     

三角换元技巧与竞赛最值问题

<正>本文以部分高中数学竞赛题为例,介绍三角换元法在求最大值和最小值问题中的应用,供高中师生教与学时参考.例1(2016年河北省高中数学竞赛高二年级组第7题)已知实数x、y满足x²+y2+y²+xy=     

一道常规题的多角度思考

题已知x、y∈R 满足4/x 9/y=1,则xy有 A.最小值12 B.最大值12 C.最小值144 D.最大值144     

对一道年号趣题的修改

拜读贵刊 2 0 0 0第 1期上刊登的一组新年趣题 ,不禁为各题的巧妙构思和深刻寓意所折服 ,但百密难免一疏 ,其中第 4题就出现了一个小小的疏忽 .第 4题的原题是 :对于互不相等的 xi∈ Z (i=1,2 ,… ,6 5 ) ,满足∑6 5i=1 =10 8,试求 ∑6 5i=1 x2i 的最大值 .其答案是 :取 x1 =x2 =… =x6 4 =1,x6 5 =44时 ,其平方和最大 ,且最大值为 2 0 0 0 .显然 ,这个答案与“互不相等”的假定是相违背的 .事实上 ,在互不相等的前提下 ,条件 ∑6 5i=1 xi=10 8是不可能成立的 ,因为∑6 5i=1 xi≥∑6 5i= 1 i=2 145 .所以 ,如果一定要满足 ∑6 5i =1 xi=10…     

由一道高考题谈椭圆弦长的一点性质

"2001年广东省普通高校高职班招生单独考试"数学试题第18题:实数x, y满足4x2+3y2=3x,则x2+y2的最大值是( ) A 3/8 B 3/4 C 9/8 D 9/16     

酒杯中的学问——对一道课本题的探究

一、课本题赏析 例1一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,那么玻璃球的半径r应满足什么条件？本题是苏教版选修2-1第68页第10题．它是以抛物线为背景的一道应用题,转化为数学问题后可以从不同的视角求解．     

简证一道竞赛题

第31届西班牙数学奥林匹克第2题:证明:如果(x+x2+1)(y+y2+1)＝1,那么x+y＝0.本刊2001年第4期P16给出了上题的一种证法,现给出更简捷的证法.     

一道竞赛题的简证及推广

第31届西班牙数学奥林匹克第2题是: 证明:如果(x x2 1)(y y2 1)=1,那么x y=0.