完全平方公式的变式及应用

将完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-b)~2-2ab+b~2进行变形后易得以下几个公式:a~2+b~2=(a+b)~2-2ab=(a-b)~2+2ab,(a+b)~2=(a-b)~2+4ab(a-b)~2=(a+b)~2-4ab,(a+b)~2-(a-b)~2=2(a~2+b~2),(a+b)~2-(a-b)~2=4ab,(和差化积公式)ab=(a+b/2)~2-(a-b/2)~2.(积化和差公式)     

完全平方公式有“两个”

已知x2-2kx+1是完全平方式,求K2003=____.解析:题设式第一项、第三项相当于完全平方公式中的a与b,而-2kx相当于完全平方公式中的±2ab,又因为完全平方公式有两个:a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,因此k的值就有可能有两个,由于x2-2kx+1=(x±1)2=x2±2x+1,故-2kx=±2x,因此k=±1,所以k2003=(±1)2003=±1.     

极化恒等式的妙用

<正>初中代数中有一个常用的恒等式:4ab=(a+b)²-(a-b)2-(a-b)²,它由两个完全平方公式相减而成.而今在高中向量中有一个类似的恒等式:4ab=(a+b)2,它由两个完全平方公式相减而成.而今在高中向量中有一个类似的恒等式:4ab=(a+b)²-(a-b)2-(a-b)²或ab=((a+b)/2)2或ab=((a+b)/2)²-((a-b)/2)2-((a-b)/2)²,称之为极化恒等式.它有如下几何意义:如图1,△ABC中,取BC的     

变变形,大有用(初一、初二、初三)

由完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2经变形易得恒等式: ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2. 这个恒等式表明了两个代数式的积、和、差的一个相等关系,它有广泛的应用,下面举例说明. 例1 分解因式(x+y-2)(z+y-2xy)+(xy-1)2. (96年天津数竞)解原式=(2x+2y-2-2xy/2)3- (2xy-2/2)2+(xy-1)2     

公式变形 事半功倍

一、完全平方公式的变形变形一:a2+b2=(a+b)2-2ab.变形二:(a+b)2-(a-b)2=4ab.变形三:|a-b|=√(a+b)2-4ab.例1在实数范围内因式分解a4+1.解:由变形一,得a4+1=(a2)2+1=(a2+1)2-2·a2·1=(a2+2~(1/2)a+1)(a2-2~(1/2)a+1)例2 已知x2-5x+1=0,求x2+1/x2的值.     

完全平方公式的变形的运用

完全平方公式的变形运用广泛,灵活多变,对学生解题能力的训练有很大的功效.现举几例说明它的应用. 完全平方公式的变形有如下几种形式: 1.(a+b)~2=(a~2+b~2)~2+2ab; 2.(a-b)~2=(a~2+b~2)~2-2ab; 3.(a+b)~2+(a-b)~2=2(a~2+b~2); 4.(a+b)~2-(a-b)~2=4ab.     

巧用完全平方公式的变式解题

由完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2,可ab=1/4[(a+b)2-(a-b)2].(*) 解题中若能灵活、恰当地运用(*)式,常会收到化难为易,避繁就简的效果.现举例说明它的若干应用.     

完全平方公式的三种变形及其应用

正公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2和(a-b)~2=a~2-2ab+b~2统称为完全平方公式.熟练地掌握了这两个公式的应用后,在学习中,还应注意它们的三种变形及其应用.一、逆向变形a~2+2ab+b~2=(a+b)~2,a~2-2ab+b~2=(a-b)~2.例1计算999×999+1999.     

积化差公式及其应用

由完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2及(a-b)2=a2-2ab+b2容易推得我们把上述公式(*)称为积化差公式.应用它来解决某些与乘积有关的数学问题,显得简捷、巧妙.现举例说明如下.     

例谈运用公式法分解因式

公式法是因式分解的重要方法。常用的公式有: 1.平方差公式:a~2-b~2=(a+b)(a-b)。 应用条件:多项式是二项式,并且是两数(或式)的平方差的形式。 2.完全平方公式:a~2±2ab+b~2=(a±b)~2。 应用条件:多项式是二次三项式,首尾两项是两数(或式)的平方,且中间项是这两数(或式)的乘积的2倍。     

乘法公式的巧用

乘乘法公式是由形式特殊的多项式相乘总结出来的规律,共有两种:1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式(1)完全平方(和)公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)完全平方(差)公式(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行计算可大大提高运算速度,它的应用非常广泛.下面举例说明乘法公式的巧妙运用.一、巧换位置例1计算(-3t+4)2.解:原式=(4-3t)2=16-24t+9t2.二、巧变符号例2计算(-2a-3)2.解:原式=[-(2a+3)]2=(2a+3)2=4a2+12a+9.三、巧变系数例3计算(2x+6y)(4x+12y).解:原式=2(x+3y).4(x+3y)=8(x+3y)2=8(x2+6xy+9y2)=8x2+48xy+72y2.四、巧变指数例4计算(a+1)…     

完全平方公式的逆向应用

完全平方公式有如下两个: 1.(a+b)2=a2+2ab+b2 2.(a-b)2=a2-2ab+b2 熟练地掌握了它们的正向应用后,你是否想到过逆向应用它们?事实上,逆向应用它们,能把形如a2 ±2ab+b2的式子化为形如(a±b)2的式子.这种和差化积的思想方法,在解题中值得我们一试! 一、计算问题 例1 计算9999×9999+19999. 分析:由于19999=2×9999+1,原式即为形如a2+2ab+b2的式子. 解:原式=99992+2×9999+1=(9999+1)2=100000000.     

逆用完全平方公式解题

完全平方公式的代数式表示为 (a+b)2=a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2. 逆用它们,能把形如a2±2ab+b2的代数式化为形如(a±b)2的代数式.这种和差化积的思想方法,可帮我们巧妙地解题.     

活用组合式解题

完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2中含有两个等式,若用“加减法”对它们重新组合,则容易得出以下两个推论: a2+b2=1/2(a+b)2+1/2(a+b)2①ab=1/4(a+b)2-1/4(a-b)2 ②     

巧用公式(a+b)~2-(a-b)~2=4ab解竞赛题

由完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-6)~2=a~2-2ab+b~2即可得到公式 (a+b)~2-(a-b)~2=4ab.(※) (※)式和谐、对称、易于记忆.(※)式在初中数学中的应用十分广泛.下面用(※)式解一些初一同学能解的竞赛题.     

值得重视的二个推论

完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2中含有两个等式,若用“加减法”对它们重新组合,则容易得出以下两个推论: a2+b2=1/2(a+b)2十1/2(a-b)2 ①ab=1/4(a十b)2-1/4(a-b)2 ②如能灵活运用上述推论,则可较简捷地解决一类竞赛题.     

活用数学公式例说

应用数学公式解题时,不仅要学会直接应用,还应学会根据问题的需要,将公式加以变形而活用.下面通过例题来学习这种方法.一、完全平方公式的活用完全平方公式经过适当移项后得a2 b2=(a b)2-2ab.例1已知a、b为方程x2-3x 1=0的两根,求a2 b2的值.解:由韦达定理得a b=3,ab=1,所以a2 b2=(a b)2-2ab=9-2=7.例2分解因式x4 1.解:x4 1=(x2)2 1=(x2 1)2-2·x2·1=(x2 1)2-(2姨x)2=(x2 2姨x 1)(x2-2姨x 1).二、完全立方公式的变形完全立方公式经过移项后得a3 b3=(a b)3-3ab(a b).例3已知x2-5x 1=0,求x3 12的值.解:由韦达定理得x 1x=5,所以x3 1x3=(x 1x)3-…     

学习“乘法公式”六注意

乘法公式是一种特殊形式的多项式乘法,是初中代数的重要内容.初学者对于各乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义往往不易掌握,运用时容易混淆,因此要学习好乘法公式,必须注意以下几点:一、注意乘法公式的推导乘法公式是从直接计算特殊的多项式乘法中得来的,即平方差公式:(a b)(a-b)=a2-ab ab-b2=a2-b2;完全平方公式:(a b)2=(a b)(a b)=a2 ab ab b2=a2 2ab b2;(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab b2=a2-2ab b2.由此可见,理解乘法公式要与多项式乘法联系起来,这样对公式才理解得深、记得准,一旦把公式忘记了,自己也可以把公式推导出来.二、注…     

因式分解方法谈

学过因式分解的人爱说:“一提、二代、三分组”.“提”是指“提取公因式”,在因式分解时,首先应当想到的是有没有公因式可提.“代”就是指“应用公式”(代公式).将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式,常见的有七个公式:(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(3)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);(4)a2+2ab+b2=(a+b)2;(5)a2-2ab+b2=(a-b)2;(6)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3;(7)a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3.以上公式必须熟记,牢牢掌握各自的特点.如果“一提、二代”都不能奏效,就应当采用分组分解.一般地,分组分解大致分为三步:(1)将原式的项适…     

值得重视的两个推论

完全平方公式: (a+b)~2=a~2+2ab+b~2 (a-b)~2=a~2-2ab+b~2 将上面两个等式相加减,对它们重新组合,容易得出以下两个推论: