韦达定理及其应用研究

一、基础知识“若实数x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a”,这一关系称之为韦达定理;其逆定理是:“若实数x1,x2满足x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,则x1,x2是方程ax2+bx+c=a(a≠0)的两个根”,韦达定理及其逆定理在各类数学竞赛中具有广泛的应用,下面举例加以说明:二、应用举例1.用于求方程中参系数的值例1 设m是不小于-1的实数,使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等     

含参数的二次方程的解法

题目已知关于x的方程x2+(1-2m)x+m2-m=0有两个根,其中一个根大于2,一个根小于2,求m的取值范围.     

一元二次方程根的讨论

二次方程、二次函数无疑是初中数学的重中之重,而一元二次方程根的讨论能融汇方程、函数和不等式的知识,对强化数形结合能力,培养思维的严密性与灵活性,都是很好的课题,值得我们重视.本文相对集中有关内容,使读者便于比较和掌握.例1当m是怎样的值时,方程x2-(m+1)x+m=0的根分别满足:(1)两根都是正根;(2)两根互为相反数;(3)两根异号,且负根的绝对值大于正根的绝对值;(4)两根都大于-1.分析注意观察方程的特点,不要贸然动用求根公式、判别式和韦达定理.解原方程即(x-1)(x-m)=0,有x1=1,x2=m,因此(1)只要x2>0,即m>0;(2)已知x1=1,只要m=-1;(3)因为x…     

活用一元二次方程根的定义解题

我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x…     

判别式问题中的错解剖析

在解与实数相关的问题时,常常用到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,这里谈谈判别式的具体应用中的一些错解。一、待定系数的求值问题例1.已知关于x的方程x2-mx-n=0的两根的积比两根之和的2倍小12,并且两根的平方和为22,求m,n的值。错解:设两根分别为x1、x2则x1+x2=m,x1x2=-n依题意,得2(x1+x2)-x1x2=12x21+x22=2 2即2m+n=12m2+2n=2 2解得m1=7n1=-272 或m2=-3n2=132 分析:∵方程有两根,∴△≥0即m2+4n≥0,但m1=7,n1=-272时,△<0。不合题意,应舍去。当m2=-3,n2=132时△>0∴m=-3,n=132例2.已知一元二次方…     

韦达定理的重要推论及其应用

如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1、x2,那么x1+x2=-b/a,x1·x1=c/a这已为人们所熟知的韦达定理.其逆定理是:如果x1、x2满足x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a,那么x1,x2一定是x1十x2=-b/a,x1·x2=c/a,那么x1,x2一定是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根也成立.有趣的是以此导出一个重要的推论.     

一类无理函数值域问题的通用解法

无理函数 y =mx +n + lax2 +bx +c(mla??綒 0 )的值域已有好多文章通过举例进行了讨论 ,如文 [1]、[2 ]、[3],各自从不同的角度 ,用不同的方法作了分析 ,但没有给出一个通用的结论表达式 .本文通过换元、构造圆锥曲线 ,利用解析的方法分五种情形解决这一问题 .1　a >0 ,b2 - 4ac>0 ,l >0此时 ,函数y =mx +n +lax2 +bx +c的定义域为 {x|x≤x1或x≥x2 } ,其中x1、x2 是方程ax2 +bx +c =0的两个根 ,且x1相似文献   

数形结合解题

例题1°.关于 x 的方程2x~2-(m+1)x-m=0的一个根在1和2之间(不包括1和2),另一个根小于1,求m的取值范围.2°.关于 x 的方程 x~2+(m-7)x+m=0的两根都在1和2之间(不包括1和2),求 m 的取值范围.解1°解法1 利用求根公式得 x=     

根与系数关系作用大

在一元二次方程ax2 +bx +c =0(a≠0)中,若两根为x1、x2,则x1+x2=-b/4,x1·x2=c/a,根与系数的这种关系又称为韦达定理.它的逆定理同样成立,即当x1+x2=b/a,x1·x2=c/a时,那么x1、x2是ax2 +bx +c=0(a≠0)的两根. 一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛. 一、确定符合条件的方程 例1 (2012年烟台卷)下列一元二次方程两实数根的和为-4的是().     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

中考训练ABC卷

A卷每题5分满分100分时间40分钟1.若方程m扩+4二十3一。有一个根是1,那么阴一2.一元二次方程(3x十1)’一4一O的根是3.已知一元二次方程护十Zx一1一O,它的根的判别式△~ ,根的情况是4.若。,口是一元二次方程*一3x一5一。的两个实数根,则生十粤 “尸5.方程x(x+1)~2的根是6.一元二次方程a护+bx+c一O有一个根是零的条件是((A)bZ一4ac=0(B)b=0(C)c二0(D)c共07.方程xZ一4x+2的根是( (A)x-一2 8.用换元法解方程于t的方程是(B)x--井一)2J丁—1了(C)x~士2(D)x=了3-2三J一+12=0,设t-王杏I,则关 ,.解方程、任丁不万~一x的结果是 10,关于x的一元…     

一元二次方程根的符号的确定及其运用

一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两根x1、x2 与系数有如下关系 :x1+x2 =- ba ,x1·x2 =ca ,在不解方程的情况下可利用以上关系确定方程两根的符号 ;反过来 ,在已知方程两根关系及符号的情况下可求出方程中字母系数的值或取值范围。一、两根同号的判定△ >0ca>0 两根同为正 ;①若 - ba >0 ,则两根同为正 ;②若 - ba<0 ,则两根同为负。例 1　已知关于x的一元二次方程x2 - (m2 + 3)x + 12(m2 + 2 ) =0。试证 :无论m取任何实数 ,方程有两个正根。分析 :要证方程有两个正根 ,只需证明①△ >0 ,② ca>0 ,③ - ba>0。证明 :∵△ =(m2 + 3) 2…     

构造一元二次方程解题时应注意的问题

一般而言,对于二次方程ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0(a,b,c为常数,且a≠0),其中的x1,x2可看作方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的前提是x1≠x2,这是因为当x1=x2时,x1与x2并不能完全保证是方程ax2+bx+c=0的两根,此时存在两种可能:     

数学奥林匹克高中训练题(76)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知函数f(x) =- 2x3-x .若x1、x2 、x3∈R且x1 x2 >0 ,x2 x3>0 ,x3 x1>0 .则f(x1) f(x2 ) f(x3) (　　 ) .(A)大于零　 (B)小于零　 (C)等于零(D)大于零或小于零2 .在△ABC中 ,a2 b2 =7c2 .则(cotA cotB)tanC =(　　 ) .(A) 1     

一道习题的推广

由义务教育初中《代数》第三册51页B组第1题(1):解关于x的方程x+1/x=c+1/c,得方程的两根是x_1=c,x_2=1/c。 易将此习题推广为如下规律:x±m/x=c±m/c(m≠0)的两根为x_1=c,x_2=±m/c。 利用此规律的关键是识别与构造方程成为“x±m/x=c±m/c(m≠0)”的形式。 当方程较复杂时,直接使用此规律比用换元法快,现举例如下:     

一元二次方程根的分布问题例析

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且一个大于m,一个小于m,这是一元二次方程根的分布典型问题.本文就这一类问题的常规解法举例分析. 一、直接利用方程的根讨论     

用一元二次方程巧解竞赛题

有许多竞赛题,如果用一元二次方程来解,往往会收到奇妙的效果.现举例说明. 例l 已知x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,且S1=x1 +x2,S2 =x12+x22,S3=x13 +x23,求aS3+bS2+cS1的值,(广东奥林匹克寒假集训试题) 解;因为x1,x2是方程ax2 +bx +c =0(a≠0)的两个根 所以:ax12+bx1+c=0 ax22+bx2+c=0 则:ax13 +bx12 +cx1 =0 ax23+bx22 +cx2 =0 所以:两式相加得:a(x13 +x23)+b(x12 +x22)+c(x1+x2)=0 即:aS3 +bS2 +cS1 =0.     

一元二次方程根的妙用

若x1、x2是方程ax2+bx+c=O(a≠O)的两根,则ax_(1)~2+bx1+c=0和ax_(2)~2+bx2+c=0.方程与方程根的这一关系在解题中有着广泛的应用. 例1(1994年河南省中考题)以x2-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是( ). (A)y2-11y+1=0 (B)y2+y-11=0     

根与系数的关系的应用

如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.现以2012年各地中考试题为例,说明根与系数的关系的应用. 一、已知一元二次方程,求两根关系式的值 例1 (2012年日照卷)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么x2/x1+x1/x2的值为____.     

用构造法解代数题

本文介绍用构造法解代数题的几种方法 .一、构造方程 (组 )例 1　如果x3+ax2 +bx+ 8有两个因式x+ 1和x+ 2 ,则a +b的值是 (　　 )(A) 7　　 (B) 8　　 (C) 1 5　　 (D) 2 1( 2 0 0 2年湖北省武汉市初中数学竞赛 )解　设x3+ax2 +bx+ 8的另一个因式为x+c,则有x3+ax2 +bx+ 8=(x + 1 ) (x+ 2 ) (x+c)=x3+ (c+ 3 )x2 + ( 3c+ 2 )x+ 2c∴a=c+ 3 ,b=3c + 2 ,8=2c.∴a=7,b =1 4,c=4.从而有a+b =7+ 1 4=2 1 .二、构造函数例 2　设关于x的方程ax2 + (a + 2 )x+9a =0有两个不相等的实数根x1 、x2 ,且x1<1 相似文献