新颖的分式问题

分式是竞赛的热点.本文就几年来各地数学竞赛中与分式有关的问题进行简单归纳.一、分式有无意义和值为零问题例1 已知分式(x-8)(x 1)/|x|-1的值为零,则x的值为( ). A.±1 B.-1 C.8 D.-1或8 解:由分子为零,得x=8或x=-1;由分母不为零,得x≠±1,故x=8,选C.     

细嚼一个一元二次不等式恒成立题组

含参的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单最常见的恒成立问题,它具有一元二次(不等式、方程和二次函数)的最基本特点,又是研究恒成立问题的最典型的例子.下面通过一个题组来看在新课标条件下,此类题目又有什么新的特点.【题组】(1)对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则a的取值范围是.(2)对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是.(3)对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a+a2的值恒大于零,则a的取值范围是.(4)对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a+a2的值恒大于零,则x的取值范围是.解决问题的基本方法应该是利用二次函数的判别式,根与系数的关系和对称性,通过对其图像位置的讨论得到参数满足的关系式.例如题(1):函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的对称轴为x=-a-24=42-a.①当42-a<-1,即a>6时,f(x)的值恒大于零,等价于f(-1)=1+(a-4)×(-1)+4-2a>0,解得a<3,故有a∈.②当-1≤4-2a≤1,即2≤a...     

对策六招代数式求值方法

正在近年来的中考和竞赛中,求代数式的值仍不时现身,现将代数式求值的一些技巧和方法,做如下表述,供学习和教学参考.一、巧用和为零或积为零的性质例1(2013年湖南永州)已知(x-y+3)2+2槡x+y=0,则x+y的值为A.0 B.-1 C.1 D.5解析因为2x+y≥0,(x-y+3)2≥0,而(x-y+3)2+2槡x+y=0,所以x-y+3=0,2x+y=0,解得x=-1,y=2,所以x+y=1.选C.评注此类试题根据"若干个非负数的和为零,则每一个非负数均为零"的性质,求出已知式中各字母的值,再求代数     

分式

基础篇 课时一分式的概念诊断练习一、填空题1.当x 时,分式(2x-1)/(-x2)有意义.2.当x= 时,分式(x-1)/(x2+1)的值为零.3.当x 时,分式(x+2)/(x2+2)的值为非负数.4.若x/(|x|)=-1,则x.二、选择题1.分式(-x-3)/(y2-2)变形后,正确的是()     

分式问题的考点分析

一、考查基本概念例 1 .(1 )当式子 |x|- 5x2 - 4 x- 5的值为零时 ,x的值是 (　 )A.5;　 B.- 5;　 C.- 1或 5;　 D.- 5和 5。(2 )当 x=时 ,分式 2x- 1 无意义。 (2 0 0 0年江苏省杨州市、徐州市中考题 )分析 :一般地 ,中考试题主要考查分式 NM在什么情况下有意义、无意义和值为零的问题 ,当 M≠ 0时 ,分式 NM有意义 ;当 M=0时 ,分式 NM无意义 ;当 N=0且 M≠ 0时 ,分式 NM=0 ,据此可得 :(1 ) x=- 5,(2 ) x=1。二、考查基本性质例 2 .不改变分式2 x- 52 y23x y的值 ,把分子、分母中各项系数化成整数 ,那么结果是 (　　 )A.2 x- 1 5y4x …     

历届《高等数学》(二)考点分析及应试方法(上)

考点一、函数定义域的求法。定义域的求法主要理解和掌握如下几个问题:1 .分式中的分母不能为零。2 .偶次方根的表达式不能为负数。3.对数的真数必须大于零。4.取反正弦、反余弦的值的绝对值必须小于等于1。5 .如果求解的是两个或两个以上的不等式,则取各个不等式的交集。例1　求函数y=ln( x+ 1 )x- 1 的定义域( 2 0 0 0年选择题1 )。解　对数的真数必须大于零,所以x+ 1 >0 ,偶次方根的表达式不能为负数以及分式中的分母不能为零,所以x- 1 >0 ,我们得到不等式方程组:x+ 1 >0x- 1 >0 ,　解得　x>- 1x>1 ,取解集的交得x>1 ,即函数y=ln( x+ 1 )…     

学习分式的20个注意点

一、要注意分母的值不能为零例1(1997年山西省中考题)当x=时,分式(x-|3x)|(-x1+1)的值为零·解:由|x|-1=0,得x=1或x=-1;当x=-1时,分母(x-3)(x+1)=0,所以x=1时,上述分式的值为零·二、要注意不要盲目通分例2(1997年西宁市中考题)当a=3,b=2时,求代数式a+ba2+2ab+b2-ba22--abb2的值解:待求式=a+b(a+b)2+(a+b(ba)(-ab)-b)=a1+b+a+bb=a1++bb=33+2=3(2-3)·三、要注意运用换元技巧例3(1997年云南省中考题)1x2+3x+2+1x2+5x+6+x2+41x+3·解:因为原式=(x+1)1(x+2)+1(x+2)(x+3)+(x+3)1(x+1),所以设x+1=a,x+2=b,x+3=c,则原式=a1b+b1c+c1a=a+abbc+c=(x+1…     

关于一个代数定理的证明

由代数基本定理知:“n次复系数方程一定有n个根”.与之对应的一个定理:“如果一个n次有理整函数有多于n个的值使它为零,那么各项系数必定都是零”.它的证明如下,设f(x)表示这个函数,且为f(x)=p0xn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn,并设x为a1,a2,…,an时,f(x)为零,则f(x)=p0(x-a1)(x-a2)…(x-an),令c是使f(x)为零的而不同于ai(i=1,2,…,n)的值,由于f(c)=0,而有p0(c-a1)(c-a2)…(c-an)=0.但是,由假设c不等于ai(i=1,2,…,n),所以,c-ai≠0(i=1,2,…,n).因而,p0=0.于是原函数变为g(x)=p1xn-1+p2xn-2+…+pn.根据归纳假设,用同样的方法可以求得g(x)=p1(x-a1)(x…     

“零”的惩罚

<正>"零"在数学中居有特殊的地位.但不少同学在解题中常忽视"零"的存在,因而受到"零"的惩罚,造成失误.这类错误归纳起来大致有如下几个方面.一、忽视零不能作为分母而造成解题错误例1当x为何值时,分式1-2|x|2x2-3x-2的值为零?错解1-2|x|=0,x=±12时,原分式     

函数y=x＋p／x（p≠0）的单调性及其简单应用

1函数y一x 吏(p护0)的单调性 1.lp<0时,y=x 吏在区间(一co,0)与 工(0,十co)内均是增函数. 证明:因为函数y二二在(一co, co)内是增函数,当,<0日寸,,一;在‘一,0)与(“, oo)内均是增函数,所以函数y一x十吏(P<0)时在(一co,0)与(0, co)内均是增函数. 1 .2P>0时,设xl相似文献   

初二数学期中自测题及解答

一、填空题 (每题2分,共20分) 1.直接写出下列各式因式分解的结果: 3(x-2)-x(2-x)=____; 4a~2-4=____ 2.x~2 x ____=(____)~2; (x-1/x)~2 _____=(x 1/x)~2. 3.若a~3 1/8m=(a-b)(a~2-nab b~2),则m=____,n=____,n=_____ 4.当x____时,分式(2x-1)/(3x 4)有意义;当x_____时,分式(x~2-4)/(3x-6)的值为零, 5.不改变分式的值,(1)使(1/3x-1)/(x 1/2)分子与分母各项系数都化为整数,得_____;     

《分式》考点例析？

本文以近年来的中考题为例,分类说明有关分式的考点.一、考查分式的有关概念确定字母的值,使分式有意义、无意义、值为零是常见的考点之一,这一考点的考题形式通常是填空或选择题.解答的关键是利用下面关系:分母≠0#分式有意义:分母=0#分式无意义;分子=0,且分母≠0#分式的值为0.例1:如果分式｜x｜-1x2-3x 2的值为零,那么x等于()A.-1B.1C.-1或1D.1或2(黑龙江省2002年)解析:依题意,需｜x｜-1=0①x2-3x 2≠0$②由①得x=1或-1;由②得x≠1且x≠2,故x=-1,选A.练习:1.当x时,分式x 1x-1有意义.2.当x=时,分式x2-9x2-4x 3的值为0.答案:1.≠12.-3二、…     

函数零点三注意

1 基础知识 1.1注意函数的零点与方程的根的关系 一般地,对于函数y=f(x)(x∈D)我们称方程f(x)=0的实数根x也叫做函数的零点,即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y=f(x)-g(x)的零点.     

巧拆项妙分解三次式

在因式分解时 ,有时可用拆补项为分组分解创造条件 ,但拆补项的方法很多 ,对一个具体题目 ,究竟如何分法 ,却一时不易看出 ,而对于用 1或 - 1代式中未知数时 ,其值为零的多项式 ,可以找出一个如何拆补项的规律 .例　分解因式 :( 1 ) x3 - 3 x2 4;( 2 ) 3 x3 2 x - 5.解 :(     

1999年初中总复习质量检测题(数学)

一、填空题(共36分,每小题3分) 1.-0.5的相反数的倒数是______. 2.若分式(x~2-1)/(2x 2)的值为零,则x=______________. 3.在实数范围内分解因式:x~2-2(2x)~(1/2)-6     

忽视隐含条件的错例分析

正确运用题目中的隐含条件解题 ,对初中同学来讲是个难点 .本文就初中数学解题中学生容易忽视隐含条件而产生的错误 ,谈谈隐含条件的挖掘和利用 .　　 1 .忽视分式中分母不为零的隐含条件例 1　当x为何值时 ,分式 |x| - 2x2 +x- 6 的值为零 .错解 :令　 |x| - 2 =0 ,得x =± 2时分式的值为零 .分析 :这里忽视了分母不为零的隐含条件 .正解 :令　 |x| - 2 =0 ,得x =± 2 .但当x =2时 ,分母x2 +x - 6 =0 ,分式无意义 ,所以只有当x =- 2时 ,分式的值为零 .　　 2 .忽视偶次根式的被开方数为非负数的隐含条件例 2　当b <0时 ,化简aab3+ba3b .错…     

能取等号吗?

函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实     

数学奥林匹克高中训练题(76)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知函数f(x) =- 2x3-x .若x1、x2 、x3∈R且x1 x2 >0 ,x2 x3>0 ,x3 x1>0 .则f(x1) f(x2 ) f(x3) (　　 ) .(A)大于零　 (B)小于零　 (C)等于零(D)大于零或小于零2 .在△ABC中 ,a2 b2 =7c2 .则(cotA cotB)tanC =(　　 ) .(A) 1     

值得重视的中考数学参数题

含参数的一元二次方程或二次函数题是中考常见的一类题型,由于参数值的不确定,它往往有较强的迷惑性,一不小心即掉入“陷阱”.下面略举数例,以引起同学们的重视和注意.例1关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为().(A)1(B)-1(C)1或-1(D)12解:选(B).评注:若只考虑题中的明显条件“一根为零”,而忽视了“二次项系数不能为零”这一隐含条件,则会误选(C).例2已知x1、x2是关于x的方程x2-x+a=0的两个实数根,且1x12+1x22=3,求a的值.解∵x1、x2是方程的根,∴x1+x2=1,x1x2=a,∴1x12+1x22=x12+x22x12x22=(x1+x2)2-2x1x2(x1x2)2=…     

《分式》中考题型扫描

解读近两年各地数学中考试题,可归纳《分式》的主要题型有: 一、概念性质型例1 如果分式|x|-x/x2-3x 2的值为零。那么x 等于( ) A.-1 B.1 C.-1或1 D.1或2 例2 下列各式从左到右变形正确的是( )